一线性空间的同构基本概念.docx

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一线性空间的同构基本概念

习题课

'集合二

映射二

＞线性空间的维数，基，坐标，

＞线性空间的基变换（过度矩阵）与坐标变换

'子空间与子空间的运算：

并,和,直和

＞线性空间的同构

一.线性空间的同构（基本概念）

同构映射、同构映射的六个性质，两个线性空间同构

二.习题举例

n（n-1）

2

n（n1）

2

例1求线性空间的维数

1）数域P上所有反对称矩阵组成的线性空间。

2）数域P上所有上三角形矩阵组成的线性空间

例2:

证明：

Pn的任意一个真子空间都是若干个

n-1维子空间的交

证明：

设V是P的任意一个真子空间,不仿设V=L（:

“2,：

r）,（r:

：

：

n）

它是线性方程组丿

61X1+02X2+…+dnXn=0,

b21X1+曲2+…+b2nXn=°,的解空间

■…■…口J用牛空1间,

b（n_r）1X1**b（n-p）nXn-0,

记Wk为线性方程组bki%bk2X2“曲=0,k=1,2,…,n-r的解向

量空间，显然是Pn的n-1维子空间，且V恰好是这n-r个n-1维子空间的交。

例3设宀,：

・2,…打是n维线性空间V中的n个向量，V中的每个向量都可以由它们线性给出，求证：

〉1,〉2「"是V的一组基。

证明：

只须证明n线性无关，事实上，如果〉r1「r2,rk是

，…〉n的一个极大线性无关组，则：

r1,〉r2,rk是V的一组基，所

以k=n，向量组:

-r1/-r2^:

-rk就是向量组r,—，…：

n，是线性无关。

-4x22x3-2x43x5=0，

2x2-x3x4-2x5=0

的解空间的维数与一组基。

0-1,

<10丿J

A的全体实系数多项式f（A）组成的空间V=」f（A）|A=

复数域C作为实数域R上的线性空间V—｛a・bi|a,b.R｝同构

证明：

注意到Ak=」A：

k奇数，则f（A）=aE+bA;a,bwR,

工，当k偶数

建立V到V•的映射：

匚：

z=a・bi）f（A^aEbA,a,bR，是同构映

射；所以V与V•同构。

练习：

1.复数域C作为实数域R上的线性空间，与R2同构。

2.f:

V>W是同构映射，Vi是V的子空间。

证明：

f（VJ是W的子空

间。

3.证明：

线性空间F[x]可以与它的一个真子空间同构。

证明：

令V二｛f（x）u（x）If（x）F（x）｝，二:

F[x]》V：

-f（x）》f（x）u（x）

Xj+x2十x3+X4+X5=0

4.在R5中求齐次线性方程组：

严+2x2+x3+x4—3x5=0

5xr+4x2+3x3+3x4_x5=0

、x2+2x3+2x4+6X5=0

的解空间的维数和一组基。

（1-2,1,0,0）,

答：

解空间的维数是3,一组基是'-2=（1厂2,0,1,0）

P^（5-6,0,0,1）

5.已知QC2）是有理数域Q添加2,所得的数域，试求QC、2）作为Q上的线性空间的维数及一个基。

解：

W二｛ai1a2、.2|ai，a2Q｝:

可证Q（2-i）=W

维数是2:

—个基是｛1,.2｝。

1.设Pn为数域P上n维向量的全体构成的线性空间，证明：

（1）存在子空间Vi,其中每一个非零向量的分量都不为零：

（2）若子空间V2每个非零向量的分量都不为零，则V2必为一维子空间。

2.设WU是线性空间V的两个子空间；

（1）试问W+1与W一U是否相等？

举例说明。

（2）证明WU=WU的充分必要条件是WU,或UW解答：

（!

）不一定。

V是直角坐标平面，WU分别是x,y轴，则x,轴上的非零向量与y轴上的非零向量的和属于W+U旦不属于wu。

（2）充分性：

若WU，则WU二U,W•U7,从而有WUU,同样可证明当uW时等式也成立。

必要性：

若WUU，但W二U，即存在—W,但:

U，任取-U，贝y」'『■三WU，可证□+B艺U，且口+0^W，即a^W，故U^W。

总结练习

、填空1.线性空间V的两个子空间W与U的和是直和，则

W-U=；

线性空间R3中，由基；1=（1,0,0,0）,；2=（0,1,0,0）,；3=（0,01,0）,；4=（0,0,01）到基：

1=（1,1,1,1）,：

2=（1,2,1,1）,：

3=（1,1,2,1）,：

4=（1,3,2,3）;的过度矩阵是—；

3.设线性空间V=L（〉1,〉2「3）维数是3,则V的所有子空间的个数

是；由〉1,〉2,〉3生成的子空间的个数是；

4.写出线性空间R3中的向量：

一（6,2,-7）在基

:

1=（2,1,-3）,〉2=（3,2,-5）厂3=（1,-1,1）下的坐标；

5.数域P上的所有nXn的上三角形矩阵构成的线性空间的维数

二、判断对错

6.线性空间中的非零向量可以有两个负向量。

（）

7.线性子空间的维数不能大于原线性空间的维数。

（）

8设V1,V2是线性空间V的两个子空间，贝SV1V2也是V的一个线性

子空间。

9.实数集在数的加法与乘法运算下构成有理数域上的线性

空间。

（）

10.如果线性空间与它的一个非平凡子空间同构，则此线性空间是无限维空间。

三、选择题

11.复数集在数的加法与乘法运算下是实数域上的线性空间，它的维数是（）。

A.1;B.2;C.n;D.无限维。

12.R的子空间W=L（（1,-1,1,-1）,（1,1,1,1）,（1,0,1,0）,（0,1,0,1））的维数等于（）。

A.1;B.2;C.3;D.4。

（1—门

13.设A=1V是A的所有实系数多项式组成的集合，在多项

1-11丿

式矩阵的加法与数乘运算下构成R上的线性空间，则维（V）等于（）。

A.1;B.2;C.n;D.无限维。

14.下列集合对于给定运算构成实数域上线性空间的是（）。

A.全体n阶方阵的集合V,在加法：

A-B二AB-BA与通常数乘矩阵的运算；

n

B.实n维向量的集合V=｛（6^2,…，an）「a^1｝，按通常向量的加法

与数乘运算；

C.实数域R上全体对数Igx（X0）的集合V,按通常对数的加法

与数乘对数的运算；

D.平面上始点在原点终点在第一象限的全体向量集合V，按通常向

量的加法与数乘向量的运算。

15.设ViM是线性空间V的两个子空间，则ViV2=V—V2的充分必要

条件是（）。

A.VV2,或U二V；B.V-V2={0}；C.V1-V2=V；

D.V1V2=^zV2。

四、计算题

彳、44人2砧宀卓（0n10}门n（1一44

1.试讨论R的向量ar=a2=尸3=,。

4=的线性

1J1丿2J1丿3I。

1丿4J0丿

相关性。

（线性无关）

2.已知R的两组基:

e=（1,1,1）（2=（1,1,2）（3=（1,2,3）,

到基匚=（1,2,3）「2=（1,1,-1）「3=（1,-1,0）,

求

（1）由基0,62,03到j,：

2厂3的过度矩阵；

（2）求在基"匕「3下的向量：

一（1,1,-1）在基2,0下的坐标。

已知r=（1,0,1）,：

上=（2,-3,1）,十（3,-1,2）,匕=（0,1,0）,求

LCl「）•L「i「2）的维数与一组基。

4.已知：

i=（1,2,一1,一2）,：

2=（3,1,1,1）宀=（-1,0,1，-1）,

：

i=（2,5,-6,-5）「2=（-1,2,-7,3）,

求L（S〉2，〉3），L（'i,'2）的维数与一组基

Xi—2X2+X3—X4=0

5.在r4中，求由齐次线性方程组2X1X22X4=0确定的解

|3x1-x2x4=0

Xi-X3X4=0

空间的维数与一组基。

五、证明题

1.设Vi,V2是线性空间V的两个子空间，证明：

ViV2=V^V2的充要条

件是维（ViV2）二维（Vi）•维（V2）

证明：

ViV2二Vi二V2的充要条件是Vi「V2巩0}

由维数公式：

维（Vi•V2）+维（Vi、V2）=维（Vi）维M）知；v^V2={0}

的充要条件是维（ViV）=维（Vi）维M）。

2.证明：

设W是n维线性空间V的一个子空间，则存在V的子空间U使得V是W与U的直和。

证明：

设〉i」2,s是W的一组基，因为〉i「2,…，〉s线性无关，可扩

充成V的一组基〉i「2,…，〉s「si,…几，令U二LGs"d2,…「n），则

3.设Vi,V2是线性空间V的两个非平凡子空间，证明：

存在「V,且:

V1与—-V2同时成立。

证明：

由于Vi,V2是线性空间V的两个非平凡子空间，存在：

1V,但：

1Vi，>2V但〉2'V2；如果-1V2，取:

一:

1，如果'■2V1，取〉=>2，不然：

1V且〉2V，则令:

一2；就有

氐"V，且:

■V1，:

飞。

出师表

两汉：

诸葛亮

先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：

愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能”是以众议举宠为督：

愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎;陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。