小学数学知识总结之解一般应用题用得较多的技巧.docx
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小学数学知识总结之解一般应用题用得较多的技巧
解一般题用得较多的技巧
【巧换角度】从多种角度去思考、分析复合应用题,不仅可找到多种解题方法,而且还可找到比较巧妙的解法。
例如:
“挖一段56米长的水沟,每天挖7米,已经挖了5天。
照这样计算,剩下的还要挖几天?
”
按一般思考角度,可先求剩下的长度,再求要挖的天数。
如果能换一个角度,先求共要挖的天数,再求还要挖的天数,那么解答起来就既简便,又巧妙了:
56÷7-5=8-5
=3(天)
了多少名女队员?
”
如按一般的思考角度,应抓住“女队员人数”去寻找解法和答案。
可是这在小学的知识范围内,显然有一定困难,题目似乎是无法可解的。
但是,只要转换一个角度,从“男队员人数”方面去思考、分析,前景就“柳暗花明了”:
所以男队员人数是
在有的男女队员总数便是
于是,转进来的女队员人数便是
250-240=10(名)
【巧妙替换】有些应用题,已给的条件常出现两种或更多种不同属性的量,并且在不同量之间存在有换算关系。
这时,暂用其中的一种量去替换另一种量,有时候往往会给题目的解答,带来不少方便。
例如
“工地用5辆大车和4辆小车一次共运来水泥42.5吨,已知每辆大车比每辆小车多运4吨,每辆大车和每辆小车各运来水泥多少吨?
”
题目中有两个未知数,解答起来有一定困难。
但运用替换方法,把4辆小车换成大车,题目的解答就变得比较容易:
设每辆小车都多运4吨,那么小车运的吨数就和大车同样多了(也就是将小车都转换为大车了)。
这时,4辆小车就会共增加运量
4×4=16(吨)
总共运的吨数就会增加到
42.5+16=58.5(吨)。
这58.5吨便是(5+4)辆大车运的水泥数,所以,每辆大车运来的水泥便是
58.5÷(5+4)=58.5÷9
=6.5(吨)
每辆小车运来的水泥便是
6.5-4=2.5(吨)
显然,将大车转换为小车(即将小车去替换大车解题),也是可以的。
又如,“买3千克奶糖的钱与买4.8千克水果糖的价钱相等。
买4千克巧克力的钱与买6千克奶糖的钱相等。
那么,买9千克巧克力的钱可买水果糖多少千克?
”
题目的条件中没有具体的钱数,可用替换方法去解。
但巧克力与水果糖不能直接替换,需要通过奶糖这一中间的“媒介”去进行替换。
解题方法可以是:
(1)6千克奶糖是3千克奶糖的多少倍?
6÷3=2(倍)
(2)6千克奶糖可换多少水果糖?
4.8×2=9.6(千克)
(3)1千克巧克力的钱可买多少水果糖?
9.6÷4=2.4(千克)
(4)9千克巧克力的钱可以买多少水果糖?
2.4×9=21.6(千克)
列成综合算式便是
4.8×(6÷3)÷4×9=4.8×2÷4×9
=9.6÷4×9
=21.6(千克)(答略)
【巧用等量关系】有些应用题已知条件间的关系比较复杂。
但是,如果能从这些复杂的关系中,找到一种合适的等量关系,则常常可使问题较简捷地解答出来。
这是一种力求寻找和巧用最佳等量关系的解题方法。
例如
“甲乙二人需要做同样多的零件数,甲比乙每天多做5个,乙因病中途休息了3天,所以8天后甲做的零件数刚好是乙做的零件数的2倍。
求这时甲乙二人各做的零件个数。
”
由题中的条件,可以得到两组等量关系:
甲每天做的个数-乙每天做的个数=5………①
甲8在做的个数=乙8天后做的个数×2………②
设甲每天做x个,则乙每天做(x-5)个;
设乙每天做x个,则甲每天做(x+5)个。
设元列方程以后,若使用等量关系①,很明显,方程的解答是比较繁琐的,因为分数需要通分。
于是,我们便选择等量关系②来列方程解题:
设乙每天做零件x个,则甲每天做零件(x+5)个。
于是,有方程
(x+5)×8=2×(8-3)x
进而可知,甲每天做的是20+5=25(个)
8天后甲做的是25×8=200(个),
8天后乙做的是20×(8-3)=100(个)
(答略)
36名学生到乙校学习,则甲乙两校学生人数相等。
甲乙两校原来各有学生多少?
”
在题目中,可以找到三组等量关系:
甲校原来人数-乙校后来人数=36…………①
甲校原来人数-36=乙校原来人数+36…………②
经过比较,利用等量关系①列方程解题,显然比较简便:
设两校共有x人,可得方程为
乙校原有720-396=324(人)(答略)
在利用等量关系解题时,有时候通过“单位1”,可以找到最巧妙的解法。
比方下面的这一道工程问题:
“一项工程,甲独做24天完成,丙独做40天完成,甲、乙、丙三人合做,10天可以完成。
这项工程如果由乙来独做,多少天可以完成?
”
在题目条件中,我们可以得到下面的两组等量关系:
乙工效=三人工效和-(甲+乙)的工效…………①
乙工效×工时=工作总量…………………………②
然后,通过巧用“单位1”,还可找到更好的办法:
设乙独做,x天可以完成。
若把整个工程看作“单位1”,那么乙每天
所以,其解答就比较简便、快速而巧妙了:
设乙单独做,x天可以完成,则有
即乙独做30天可以完成。
(答略)
【巧用直觉思维】有些题目的条件和结构比较特殊,常常不需要把全部条件用于计算解题,而只要根据其特殊性,经过一次或两次计算,就能将题目解答出来。
这是“巧用直觉思维”的解法。
例如
“从同一个地点步行到火车站,甲要40分钟,乙要30分钟。
甲比乙先走5分钟,乙出发后,要走多少分钟才能追上甲?
”
若巧用直觉思维解答,可以这样去思考、解答:
甲先走5分钟,他比乙会晚到火车站5分钟。
那么,追及时,应是乙在路程的中心点追上,故可直接用30÷2=15(分钟),求得题目的答案。
(答略)
又如,“工厂运来一批煤,计划每天烧3吨,可以烧12天。
实际上每天比原计划节约0.6吨,实际上比原计划可多烧多少天?
”
巧用直觉思维,可以这样思考:
实际每天节约煤0.6吨,相当于实际每
再如,“有一只底面半径为30厘米的圆柱形水桶,桶中有一段半径为10厘米的圆柱形钢材浸没在水中。
当钢材从水桶中取出时,桶里的水下降了5厘米。
这段钢材有多长?
”
按一般方法解,必须先求钢材的体积(即下降的水的体积),再求钢材底面积,然后求钢材的长。
这是很麻烦、很费时的。
若用直觉思维思考、解答,可以设想一下钢材底面积同水面积的关系,再找出钢材长与水面下降部分的关系,便可不用求积,而直接求出钢材的长度:
根据水面半径30厘米和钢材底面半径10厘米,可知它们的关系是:
钢
妙的解答方法:
5×9=45(厘米)(答略)
【巧妙放缩】有些应用题,由于条件和问题的特殊情况,从直接给出的已知条件中不容易找到简捷的解题途径。
这时,我们不妨把某一个已知条件扩大或缩小一定的倍数,促使其他条件相应地发生变化,由此往往能找到简单的解法。
例如
“5千克大米的价钱相当于0.8千克食油的价钱,如果2元钱可买2.5千克大米,那么8元钱可买多少千克食油?
”
按一般方法解答,需要先求出5千克大米的价钱是多少,再求出0.8千克食油的价钱,然后求出每千克食油的价钱,进而才可求出8元钱可买的食油的数量。
若采用“放缩方法”,可把其中一个条件放大几倍来思考:
将2元钱买2.5千克大米这一条件放大4倍,可知8元钱可买10千克大米。
因为5千克大米的价钱相当于0.8千克食油的价钱,所以,10千克大米的价钱可买食油0.8×2=1.6(千克),即8元钱可买食油1.6千克。
(答略)
有些典型应用题,也可以用“放缩方法”去解答,从而较快、较巧妙地找出它的答案。
例如
“鸡兔同笼,共头48个,共足114只。
问:
鸡兔各有多少只?
”
如果把鸡和兔的足数缩小2倍,则鸡的足数和头数相等,兔的足数为头数的2倍。
这时,鸡和兔的总足数与总头数(总只数)的差数,就是兔子的只数,故可这样解答:
114÷2-48=9(只)……………兔数
48-9=39(只)…………………鸡数(答略)
上面两例,是单纯用放大,或单纯用缩小的办法解答的。
但有些较复杂的应用题,就既要用“放大法”,又需用“缩小法”,才能使问题正确而快速地解答出来。
例如
“甲乙两个商店去年平均每月的利润,甲店比乙店多5万元。
已知甲店
元?
”
根据这一新条件解题,还难很快发现其数量关系,这时不妨把这个条件再缩小2倍,于是得到
这样得到的新条件中,就可以清楚地看出,甲店比乙店每月多的5万元,也就是甲店比乙店多的那个
于是,甲店每月的利润数便是
乙店每月的利润数便是
6.25-5=1.25(万元)(答略)
还有比这更复杂一些的问题,可结合其他解法来运用“放缩方法”,使问题得到解答。
例如下面的这道英国名题——“第三牧场的牛数问题(实际上也是个牛顿问题)”:
“有三个牧场,场上的牧草长得同样的茂盛和同样的快,它的面积分别
二牧场饲养21头牛,可维持9个星期。
假若第三牧场饲养的牛,在该场要维持18个星期,那么,这牧场应养牛多少头?
”(注:
草料是边吃边生长的。
)
按照“牛顿问题”的解法来死套,是很难找到解法的。
不过,当我们运用“放缩法”,假定三个牧场面积同样大,这一道在三个牧场牧牛群的复杂题目,就会变成在同一牧场牧牛群的简单题目了。
这是因为题目中已交代:
三牧场牧草同样的茂盛,并且长得同样的快。
倍数),则
第一牧场可以有牛
第二牧场可以有牛
21×(120÷10)=252(头)(仍是9个星期可以吃完)
那么,第三牧场是多少头牛18个星期可以吃完呢?
这一道用放大了的假定数据编成的题目,还可以改编成一道与它同解的应用题:
“有一个牧场,养牛432头,4个星期可以吃完全部草料。
若养牛252头,则9个星期可以吃完全部草料。
如果要在18个星期内吃完这牧场里的全部草料,那么,它应该养牛多少头呢?
(草料是边吃边生长的)”
这是一道简单点的“牛顿问题”,可用“牛顿问题”的解法解答如下:
因为432头牛4星期吃的草料,等于432×4=1728(头牛一星期吃的草料)
252头牛9星期吃的草料,等于
252×9=2268(头牛一星期吃的草料)
而4星期吃完与9星期吃完,要相差
2268-1728=540(头牛一星期吃的草料)
显然,这多出的草料,是
9-4=5(个星期)
之内新长出的草料。
所以,牧场一个星期长出的草料是
540÷5=108(头牛一星期吃的草料)
因此,这牧场最初有的草料是
(432-108)×4=1296(头牛吃一星期的草料)
现在,这1296头牛吃一星期的草料,要求能维持18个月,则能饲养的牛数就只能是
1296÷18=72(头)
但这牧场的草料是不断生长的,还必须用108头牛来吃掉每个星期新长出的草料,所以,能饲养的牛数总共是
72+108=180(头)
不过,这还只是假定这牧场为120英亩所得的结果。
实际上第三牧场面积只有24英亩,比假定数缩小了
120÷24=5(倍)
故第三牧场饲养的牛数,也应比这180头缩小5倍。
于是可知,第三牧场饲养的牛数便是
180÷5=36(头)(答略)
这道题的解答,显然是得益于“放缩方法”,将复杂题转化为基本题以后,才找到其解答的。
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