中考压轴题之中点问题与答案.docx
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中考压轴题之中点问题与答案
中考压轴题之中点问题
解题思路:
几何问题一般是添加辅助线构造全等三角形。
涉及到中点问题通常有以下三种思路:
(1)找中点使之成为中位线构造全等三角形。
(2)倍长中线法构造全等三角形。
(3)直角三角形中取斜边中点,斜边中线为斜边的一半。
总之核心就是能构造出全等三角形,则思路正确。
2012丰台二模
1、在△ABC中,D为BC边的中点,在三角形部取一点P,使得∠ABP=∠ACP.过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F.
(1)如图1,当AB=AC时,判断的DE与DF的数量关系,直接写出你的结论;
(2)如图2,当ABAC,其它条件不变时,
(1)中的结论是否发生改变?
请说明理由.
图1图2
2012二模
2、如图,D是△ABC中AB边的中点,△BCE和△ACF都是等边三角形,M、N分别是CE、CF的中点.
(1)求证:
△DMN是等边三角形;
(2)连接EF,Q是EF中点,CP⊥EF于点P.
求证:
DP=DQ.
同学们,如果你觉得解决本题有困难,可以阅读下面
两位同学的解题思路作为参考:
小聪同学发现此题条件中有较多的中点,因此考虑构造
三角形的中位线,添加出了一些辅助线;小慧同学想到要
证明线段相等,可通过证明三角形全等,如何构造出相应的三角形呢?
她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置,由此猜想到了所需构造的三角形的位置.
2012海淀二模
3、在矩形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中
点,点E在直线CF上(点E、C不重合).
(1)如图1,若AB=BC,点M、A重合,E为CF的中点,试探究BN与NE的位置关系
及的值,并证明你的结论;
(2)如图2,且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE,你在
(1)中得到的两个结论是否
成立,若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若点M、A不重合,BN=NE,你在
(1)中得到的结论两个是否成立,请
直接写出你的结论.
F
A
(
M
)
D
N
D
A
C
E
D
N
M
B
F
E
C
B
F
N
M
E
C
B
A
图1图2图3
2012海淀一模
2012西城一模
已知:
在如图1所示的锐角三角形ABC中,CH⊥AB于点H,点B关于直线CH的对称点为D,AC边上一点E满足∠EDA=∠A,直线DE交直线CH于点F.
(1)求证:
BF∥AC;
(2)若AC边的中点为M,求证:
;
(3)当AB=BC时(如图2),在未添加辅助线和其它字母的条件下,找出图2中所有与BE相等的线段,并证明你的结论.
图1图2
2012丰台一模
已知:
△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,联结EC,取EC的中点M,联结BM和DM.
(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系与位置关系是;
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
2009中考
问题:
如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结.若,探究与的位置关系及的值.
小聪同学的思路是:
延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值;
(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
(3)若图1中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示).
解:
(1)线段与的位置关系是;.
(2)
2012昌平二模
8、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,过点B作BD⊥AC于D,BE平分∠DBC,交AC于E,过点A作AF⊥BE于G,交BC于F,交BD于H.
(1)若∠BAC=45°,求证:
①AF平分∠BAC;②FC=2HD.
(2)若∠BAC=30°,请直接写出FC与HD的等量关系.
9.(2012石景山一模)
(1)如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,M是AB的中点.直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系;
(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,AB=2BC,M是AB的中点,过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E.
①若∠A为锐角,则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系,并证明你的结论;
②当时,上述结论成立;
当时,上述结论不成立.
图1图2
10(2012顺义一模)
11(2011一模)
已知:
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,点M是CE的中点,连接BM.
(1)如图①,点D在AB上,连接DM,并延长DM交BC于点N,可探究得出BD与BM的数量关系为;
(2)如图②,点D不在AB上,
(1)中的结论还成立吗?
如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
图②
图①
中考压轴题之中点问题答案
2012丰台二模
2012二模
2012海淀二模
2012海淀一模
2012西城一模
2012丰台一模
(1)BM=DM且BM⊥DM.………2分
(2)成立.……………3分
理由如下:
延长DM至点F,使MF=MD,联结CF、BF、BD.
易证△EMD≌△CMF.………4分
∴ED=CF,∠DEM=∠1.
∵AB=BC,AD=DE,且∠ADE=∠ABC=90°,
∴∠2=∠3=45°,∠4=∠5=45°.
∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6.
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1,∠7=180°-∠6-∠9,
∴∠8=360°-45°-(180°-∠6-∠9)-(∠3+∠9)
=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6.
∴∠8=∠BAD.………5分
又AD=CF.∴△ABD≌△CBF.
∴BD=BF,∠ABD=∠CBF.………6分
∴∠DBF=∠ABC=90°.
∵MF=MD,
∴BM=DM且BM⊥DM..…………7分
2009中考
.解:
(1)线段与的位置关系是;
.2分
(2)猜想:
(1)中的结论没有发生变化.
证明:
如图,延长交于点,连结.
是线段的中点,
.
D
C
G
P
A
B
E
F
H
由题意可知.
.
,
.
,.
四边形是菱形,
,.
由,且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,
可得.
.
四边形是菱形,
.
.
.
,.
.
即.
,,
,.
.6分
(3).8分
2012昌平二模
2012石景山一模
(1)∠BMD=3∠ADM…………2分
(2)联结CM,取CE的中点F,联结MF,交DC于N
∵M是AB的中点,∴MF∥AE∥BC,
∴∠AEM=∠1,∠2=∠4,………3分
∵AB=2BC,∴BM=BC,∴∠3=∠4.
∵CE⊥AE,∴MF⊥EC,又∵F是EC的中点,
∴ME=MC,∴∠1=∠2.……….4分
∴∠1=∠2=∠3.
∴∠BME=3∠AEM.……….5分
(3)当0°<∠A<120°时,结论成立;
当时,结论不成立.…………7分
2012顺义一模
2011一模
.
(1)BD=BM.……………………………………………………………………………2分
(2)结论成立.
证明:
连接DM,过点C作CF∥ED,与DM的延长线交于点F,连接BF,
可证得△MDE≌△MFC.…………………………………3分
∴DM=FM,DE=FC.
∴AD=ED=FC.
作AN⊥EC于点N.
由已知∠ADE=90°,∠ABC=90°,
可证得∠1=∠2,∠3=∠4.……………………………4分
∵CF∥ED,∴∠1=∠FCM.
∴∠BCF=∠4+∠FCM=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.
∴△BCF≌△BAD.…………………………………………………………………………5分
∴BF=BD,∠5=∠6.
∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°.
∴△DBF是等腰直角三角形.………………………………………………………………6分
∵点M是DF的中点,
则△BMD是等腰直角三角形.
∴BD=BM.………………………………………………………………………………7分
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