全国中考数学《全等三角形》专项训练含答案.docx
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全国中考数学《全等三角形》专项训练含答案
《全等三角形》中考题专项训练
【陈老师的话】
“全等三角形”在考试中是个重要的知识内容,在历年的《广州市初中毕业生学习考试指导书》中的目标要求有两点:
1、理解全等三角形的概念;2、掌握两个三角形全等的条件。
其中在2005-2012年的广州中考数学试卷中,分别在2006,2011,2012年的18题作为独立题目出现,一般难度不大,相信大家都能直取这9分。
而在其他年份的试题中,“全等三角形”这个知识内容充当一种“工具”,灵活地运用到其他综合性题目解答中去。
可见“全等三角形”的重要性,那我们下面就开始练练手吧!
【主要知识点】
1.
全等三角形的性质:
全等三角形对应角相等,对应边相等。
练习:
已知△OBC≌△OAC,∠A=40°,∠ACO=25°,OA=3cm,
则∠B=,∠BOC=°,OB=.
2.全等三角形的识别方法:
【真题特训】
1、(2012贵州贵阳,4,3分)如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是()
A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EF D.∠A=∠EDF
2、(2012山东省聊城,8,3分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BC上.如果点F是边AD上的点,那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是()
A.DF=BEB.AF=CEC.CF=AED.CF//AE
3、(2012山东省临沂市,18,3分)在Rt△ABC中,∠ACB=900,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AB=_____cm.
4、(2012广州市,18,9分)如图6,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C。
求证:
BE=CD。
5、(2011广州市,18,9分)如图,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF。
求证:
△ACE≌△ACF
(提示:
AC是菱形ABCD的对角线,则AC平分∠BAD和∠BCD)
6、(2006广州市,18,9分)
7、(2012湖北随州,19,8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上。
求证:
(1)△ABD≌△ACD;
(2)BE=CE。
8、(2012浙江省绍兴,18,8分)如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于
EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.
(1)若∠ACD=114°,求∠MAB的度数;
(2)若CN⊥AM,垂足为N,求证:
△CAN≌△MCN.
9、(2012重庆,18,6分)已知:
如图,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E。
求证:
BC=ED。
10、(2012福州,17,每小题7分,共14分)
(1)如图,点E、F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF。
求证:
△ABF≌△CDE。
11、(2012浙江省义乌市,18,6分)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连结CE、BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是(不添加辅助线).
12、(2012贵州铜仁,20,10分)如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF,AE=CF,BE=DF.求证:
ΔADE≌ΔCBF.
参考答案
1、(2012贵州贵阳,4,3分)如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是()
A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EF D.∠A=∠EDF
解析:
根据SSS,可以添加条件AC=DF(或AD=CF),根据SAS,可以添加条件∠B=∠E.故B正确.
解答:
选B.
点评:
本题考查了三角形全等的条件,解题的关键是列出已知条件,然后联想三角形全等的判定定理寻找缺少的条件,即得还需要添加的条件,但要注意这类题目往往要求只添加一个条件.
2、(2012山东省聊城,8,3分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BC上.如果点F是边AD上的点,那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是()
A.DF=BEB.AF=CEC.CF=AED.CF//AE
解析:
结合平行四边形性质,如果DF=BE,则与∠B=∠D,AB=CD,恰好满足(SAS)全等条件,即△CDF≌△ABE;如果AF=CE,因为AD=CB,所以DF=BE,结合选项A,能够判断△CDF≌△ABE;如果CF=AE,判断两三角形条件不具备;如果CF//AE,则四边形AECF是平行四边形,则有AE=CF,CE=AF,于是BE=DF,而AB=CD.所以具备全等三角形条件SSS.
答案:
C
点评:
本题借助平行四边形为背景,判断三角形全等.判断两三角形全等一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS.条件中三要素必须对应具备.
3、(2012山东省临沂市,18,3分)在Rt△ABC中,∠ACB=900,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AB=cm.
【解析】根据图形,Rt△ABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,EC=BC,
可得,∠A=∠F,∴△ABC≌△FCE,∴AE=AC-EC,又∵BC=2,∴AE=5-2=3.
【答案】3
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握,此题难度不大,属于基础题.
4、(2012广州市,18,9分)(本小题满分9分)如图6,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C。
求证:
BE=CD。
【解析】证明两三角形全等即可得到两线段相等。
用ASA证明。
【答案】证明:
在△ABE和△ACD中。
∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD。
【点评】注意证明两三角形全等时公共角的应用。
5、(2011广州市,18,9分)如图,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF.
求证:
△ACE≌△ACF.
考点:
菱形的性质;全等三角形的判定。
专题:
证明题。
分析:
根据菱形对角线的性质,可知一条对角线平分一组对角,即∠FAC=∠EAC,再根据边角边即可证明△ACE≌△ACF.
解答:
解:
证明:
∵AC是菱形ABCD的对角线,
∴∠FAC=∠EAC,
∵AC=AC,AE=AF,
∴△ACE≌△ACF.
点评:
本题考查了菱形对角线的性质即一条对角线平分一组对角,以及全等三角形的判定方法,难度适中.
6、答案略
7、(2012湖北随州,19,8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上。
求证:
(1)△ABD≌△ACD;
(2)BE=CE
解析:
(1)由点D是BC的中点,得BD=CD。
则△ABD和△ACD中三条对应边分别相等,利用SSS即可判定两三角形全等。
(2)利用等腰三角形“三线合一”或全等可得∠BAD=∠CAD,从而易证⊿ABE≌⊿ACE,得到BE=CE。
答案:
证明:
(1)在⊿ABD和⊿ACD中
∵D是BC的中点,
∵
⊿ABC≌⊿ACD.(SSS)
(2)由
(1)知⊿ABD≌⊿ACD
∠BAD=∠CAD
即:
∠BAE=∠CAE
在⊿ABE和⊿ACE中,
⊿ABE≌⊿ACE(SAS)
BE=CE
(其他正确证法同样给分)
点评:
本题考查了三角形全等的性质及判定及等腰三角形的性质。
等腰三角形的“三线合一”性质的灵活应用,可以为全等三角形判定中条件的确定提供便利。
而要证明两三角形中线段的相等关系,一般可以通过证明两三角形全等,从而利用对应边相等得证。
8、(2012浙江省绍兴,18,8分)如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于
EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.
(1)若∠ACD=114°,求∠MAB的度数;
(2)若CN⊥AM,垂足为N,求证:
△CAN≌△MCN.
【解析】
(1)根据作图的步骤易证明AM是∠CAB的平分线,即可求解.
(2)根据三角形全等的判定方法“AAS”即可证明.
【答案】
(1)解:
∵AB∥CD,∴∠ACD+∠CAB=180°,
又∵∠ACD=114°,∴∠CAB=66°.
由作法知,AM是∠CAB的平分线,
∴∠MAB=
∠CAB=33°.
(2)证明:
由作法知,AM平分∠CAB,∴∠CAM=∠MAB.
∵AB∥CD,∴∠MAB=∠CMA,
∴∠CAM=∠CMA,
又∵CN⊥AD,CN=CN,
∴△AC≌△MCN.
【点评】本题综合运用了平行线、角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质.
9、(2012重庆,18,6分)已知:
如图,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E。
求证:
BC=ED。
解析:
由∠1=∠2可得∠DAE=∠CAB,根据ASA可证△ABC≌△AED
答案:
∵∠1=∠2∴∠DAE=∠CAB∵∠B=∠E,AB=AE
∴△ABC≌△ADE∴BC=DE
点评:
利用三角形全等来解决线段或角相等,是较常见的方法。
10、(2012福州,17,每小题7分,共14分)
(1)如图,点E、F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF。
求证:
△ABF≌△CDE。
解析:
欲证明△ABF≌△CDE,能直接用的条件是AB=CD,两外两个条件由AB∥CD、AE=CF来寻找,由AB∥CD,可得∠A=∠C,由AE=CF,可得AF=CE,则问题可证。
答案:
证明:
∵AB∥CD,
∴∠A=∠C
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF
即AF=CE
又∵AB=CD
∴△ABF≌△CDE
点评:
本题将平行线的性质及三角形全等的判定相结合,考查了学生逻辑推理能力,本题易出现错误的地方是将条件AE=CF直接运用。
11、(2012浙江省义乌市,18,6分)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E、F,连结CE、BF.添加一个条件,
使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是(不添加辅助线).
【解析】已知一对应边相等,一组对顶角相等,可以在添加一个条件一边或一角对应相等,用SAS或AAS判定两三角形相似.
解:
(1)添加的条件是:
DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等)
(2)证明:
(以第一种为例,添加其它条件的证法酌情给分).
∵BD=CD,∠EDC=∠FDB,DE=DF,∴△BDF≌△CDE.
【点评】此题考查了三角形全等的判定,一般三角形全等三角形的判定方法有SSS,SAS,ASA,AAS,直角三角形全等的判定方法是HL.
12、(2012贵州铜仁,20,10分)如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF,AE=CF,BE=DF.求证:
ΔADE≌ΔCBF.
【分析】首先利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB,然后由BE=DF.得出DE=BF
再利用SAS即可证明三角形全等
【解析】证明:
∵AE∥CF
∴∠AED=∠CFB
∵DF=BE
∴DF+EF=BE+EF即DE=BF
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF(SAS)
【点评】本题考查了全等三角形的判定。
全等三角形的判定常见方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形)。
做题时要根据具体情况,灵活选择适合题目的判定方法,本题利用SAS得出三角形全等是解答的关键。
要准确辨认全等三角形的对应元素,掌握证明三角形全等的方法,会通过证明三角形全等来证明线段及角相等;全等三角形的判定是中考必考内容之一,是考试的热点与难点。
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