山西五校届高三数学第一次联考试题理科含答案.docx
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山西五校届高三数学第一次联考试题理科含答案
山西五校2018届高三数学第一次联考试题(理科含答案)
2017-2018年度高三名校联合摸底考试第一次五校联考
数学试卷(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数()的虚部为2,则()
A.B.C.D.
2.已知集合,,则()
A.B.C.D.
3.设等比数列的前项和为,且,则()
A.4B.5C.8D.9
4.的展开式中常数项为()
A.-30B.30C.-25D.25
5.榫卯(sǔnmǎo)是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:
北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图所示是一种榫卯构件中榫的三视图,其表面积为()
A.B.C.D.
6.已知函数(,,)的最大值为3,的图象的相邻两条轴间的距离为2,与轴的交点的纵坐标为1,则()
A.1B.-1C.D.0
7.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的()
A.80B.84C.88D.92
8.设满足约束条件,则的最大值为()
A.1B.3C.5D.6
9.在长方体中,,,,点在平面内运动,则线段的最小值为()
A.B.C.D.3
10.某次夏令营中途休息期间,3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断:
甲说胡老师不是上海人,是福州人;
乙说胡老师不是福州人,是南昌人;
丙说胡老师既不是福州人,也不是广州人.
听完以上3人的判断后,胡老师笑着说,你们3人中有1人说的全对,有1人说对了一半,另1人说的全不对,由此可推测胡老师()
A.一定是南昌人B.一定是广州人C.一定是福州人D.可能是上海人
11.设双曲线的左、右焦点分别为,,过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为,已知,,点是双曲线右支上的动点,且恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
12.已知,若对任意的,不等式恒成立,则的最大值为()
A.B.3C.D.
第Ⅱ卷
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量,,且,则.
14.在三个盒子中各有编号分别为1,2,3的3个乒乓球,现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球,那么至少有一个编号是奇数的概率为.
15.在等差数列中,,且,,成等比数列,则公差.
16.已知为曲线上任意一点,,,则的最大值是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.的内角所对的边分别为,已知.
(1)求;
(2)若的面积为,,,求.
18.某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估,为了解某学校师生对学校教学管理的满意度,分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生,进行评分(满分100分),绘制如下频率分布直方图(分组区间为,,,,,,并将分数从低到高分为四个等级:
满意度评分
满意度等级不满意基本满意满意非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人.
(1)求表中的值及不满意的人数;
(2)在等级为不满意的师生中,老师占,现从该等级师生中按分层抽样抽取12人了解不满意的原因,并从中抽取3人担任整改督导员,记为老师整改督导员的人数,求的分布列及数学期望.
19.如图,在多面体中,四边形是正方形,在等腰梯形中,,,,平面平面.
(1)证明:
;
(2)求二面角的余弦值.
20.已知圆,某抛物线的顶点为原点,焦点为圆心,经过点的直线交圆于两点,交此抛物线于两点,其中在第一象限,在第二象限.
(1)求该抛物线的方程;
(2)是否存在直线,使是与的等差中项?
若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
21.已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若存在,满足,求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为标准方程);
(2)设直线与曲线交于两点,求.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数().
(1)证明:
;
(2)若,求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
ADBCB6-10:
DACCD11、12:
BA
二、填空题
13.14.15.316.8
三、解答题
17.解:
(1)由已知
结合正弦定理得
所以
即,亦即
因为,所以.
(2)由,,得,即,
又,得
所以,又,∴
18.解:
(1)由频率分布直方图可知:
设不满意的人数为,
则
解得.
(2)按分层抽样,12人中老师有4人,学生有8人,
则的可能取值为0,1,2,3
,
,
则的分布列为
0123
故.
19.
(1)证明:
如图,取的中点,连接,因为,,
所以四边形为平行四边形,
又,所以四边形为菱形,从而,
同理可证,因此.
由于四边形为正方形,且平面平面,平面平面,
故平面,从而,
又,故平面,即.
(2)解:
由
(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
故,,设为平面的一个法向量,
故,即,故可取
又,,故可取.
又,,设为平面的一个法向量,
故,即,故可取
故.
易知二面角为锐角,则二面角的余弦值为.
20.解:
(1)可化为,
根据已知抛物线的方程为().
∵圆心的坐标为,∴,解得.
∴抛物线的方程为.
(2)∵是与的等差中项,圆的半径为2,∴.
∴.
由题知,直线的斜率存在,故可设直线的方程为,
设,,
由,得,,
故,.
∵
∴
由,解得.
∴存在满足要求的直线,其方程为或
21.解:
(1)由,得.
所以,,则,故所求切线方程为
即.
(2),即,
所以问题转化为在上有解.
令,,
则
因为,
所以,,
从而,,
所以,即函数在上递减,
因此,.
要使在上有解,必须有,即
所以的取值范围为
22.解:
(1)直线的普通方程是即,
曲线的直角坐标方程是
即.
(2)直线的极坐标方程是(),代入曲线的极坐标方程得:
,所以,,
不妨设,则
所以
23.
(1)证明:
因为,
又,所以
所以.
(2)解:
可化为,
因为,所以(*)
①当时,不等式(*)无解.
②当时,不等式(*)可化为,
即,解得,
综上所述,
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