三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质 三角形中心矢量.docx
- 文档编号:8640488
- 上传时间:2023-02-01
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:473.87KB
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质 三角形中心矢量.docx
《三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质 三角形中心矢量.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质 三角形中心矢量.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质三角形中心矢量
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结
1.O是ABC的重心二OAOBOC=0;
2.0是AABC的垂心二OAOB=OBOC=OCOA
若O是ABC(非直角三角形)的垂心,则Sboc:
saoc:
SAOB二tanA:
tanB:
tanC
故tanAOAtanBOBtanCOC=0
222
3.O是ABC的外心二|OA|=|OB|=|OC|(或OA=OB=OC)
若O是ABC的外心则Sboc:
Saoc:
SAo^sinBOC:
sinAOC:
sinAOB=sin2A:
sin2B:
sin2C
故sin2AOAsin2BOBsin2COC=0
ABAC——BABC——CACB
r、£*DC/l/l?
aTTTT々-白OA(5~—~)—OB・(r—r)—OC・(=~—5~)=0
4.O是内心ABC的充要条件是|AB|AC|BA||BC||CA||CB|
引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记AB,BC,CA的单位向量为ei,e2,e3,则刚才O是
ABC内心的充要条件可以写成OA(eie3)=OB(eie2)=OCge3)=0,o是
ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcO^00若O是ABC的内心,则
Sboc:
Saoc:
Saob=a:
b:
c
故aOAbOBcOC-0或sinAOAsinBOBsinCOC=0;
|AB|PC|BC|PA|CA|PB=0=P是ABC的内心;
向量■(冉-A^)r-0)所在直线过-ABC的内心(是.BAC的角平|AB||AC|
分线所在直线);
范例
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
例1.O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
ABACI
OP=OA•■(),'■则P点的轨迹一定通过ABC的()
HlACl
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
解析:
因为-AB是向量aB的单位向量设aB与AC方向上的单位向量分别为e2,又
网_
OP—OA=Ap,则原式可化为AP「(qe2),由菱形的基本性质知AP平分.BAC,那么在MBC中,AP平分NBAC,则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
由HAHB=HB
例2.H是厶ABC所在平面内任一点,HAHB=HB'HC=HCHA二点H是厶ABC的垂心.
■m■m卡甲、甲甲■
HCHB(HC_HA)=0=HBAC=0=HB_AC,
同理HC_AB,HA_BC.故H是厶ABC的垂心.(反之亦然(证略))
例3.(湖南)P是厶ABC所在平面上一点,若PAP^PBP^PCPA,贝UP是厶ABC的(D)
A.外心B.内心C.重心D.垂心
解析:
由PAPB二PBPC得PAPB—PBPC=0.即卩PB(PA-PC)=0,即PBCA=0
则PB_CA,同理PA_BC,PC_AB所以P为ABC的垂心.故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4.G是厶ABC所在平面内一点,GAgb・GC=0=点G是厶ABC的
重心.
证明作图如右,图中GB,GC二GE
连结BE和CE,贝UCE=GB,BE=GC=BGCE为平行四边形=D是BC的中点,AD为BC边上的中线•
将GBGC=GE代入GAGBGC=0,
得GAEG=0=GA=:
~GE=-2GD,故G是厶ABC的重心.(反之亦然(证略))
例5.P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心=P^-(PAPBPC).3
证明PG=PAAG二PBBG二PCCG二3PG二(AGBGCG)(PAPBPC)
•/G是厶ABC的重心IGAGBGC=0=AGBGCG=0,即卩3PG二PAPBPC
由此可得PG=-(PAPBPC).(反之亦然(证略))
例6若O为厶ABC内一点,
,则O是ABC的(
OAOBOC=0
3
解析:
由O?
+O^+O3=0得品+O^=—OA,如图以oboc为相邻两边构作平行四边形,则OB+OC=OD,由平行四边形性质知贰彌,OA=2OE,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选Do
(四)将平面向量与三角形外心结合考查
例7若O为ABC内一点,OA=OB=OC,则O是ABC的()
A.内心B.外心C.垂心D.重心
解析:
由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。
故O是ABC的外心,选B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8.已知向量OR,OP2,OP3满足条件OR+OP2+OP3=0,|OR|=|OP2|=|OP31=1,
反之,若点o是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有旳+匝+匝=0且|^|=|OP2i=|Op3|.
即O是厶ABC所在平面内一点,
OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3匸点O是正△P1P2P3的中心.
例9.在△ABC中,已知QGH分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证:
QGH三点共线,且QG:
GH=1:
2
【证明】:
以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系
C(x2,y2),DE、F分别为ABBCAC的中点,则有:
D(今,0)、E(笃字乎)、F(乎普)由题设可设Q(
X1X2
G(_v
2
xx
AH=(x2,y4),QF=(亍-寸
X1
2
设A(0,0)、B(X1,0)、
BC弋2-X1』2)
AH*BC=x2(x2_xjy2y4=0.„_X2(X2—X1)
y4
y2
-T,―*
’QF—AC
QF*AC"(X2今)」2(¥-丫3)"
222
X2(X2—X1)丄y2
y3
o
”3)
求证△P1P2P3是正三角形•(《数学》第一册(下),复习参考题五B组第6题)
「•IRP2FIP2P3FIP3P1|='、3,从而△P1P2P3是正三角形.
NX?
2x2%
2__
3X2(X2-xjyz)
—石2—~~2)
QH
0H=0AOB0C.
证明若厶ABC的垂心为H,外心为0,如图.
连B0并延长交外接圆于D,连结AD,CD.
•••AD_AB,CD_BC.又垂心为H,AH_BC,CH_AB,•••AH//CD,CH//AD,
•四边形AHCD为平行四边形,
AH=DC=D0-+OC,故OH=OA+AH=0A+0B+0C.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系:
(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”;
(2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外一一垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题.
例ii.设0、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证OG
3
证明按重心定理G是厶ABC的重心:
=OG=*(0A0B0C)
按垂心定理OH=0AOBOC由此可得OG二丄OH.
3
补充练习
i•已知A、B、C是平面上不共线的三点,0是三角形ABC的重心,动点P满足
0P=(0A+—0B+20C),则点P一定为三角形ABC的(B)
322
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.重心D.AB边的中点
—-—-—-ii—-i—h
i.B取AB边的中点M,贝UOA0B=20M,由OP=(0A+—0B+20C)可得
———322
30P=30M-2MC,•MP=ZMC,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且
3
点P不过重心,故选B.
为三角形的(B)
A
外心
B
内心
C
重心
D
垂心
6.
在三角形
ABC
中,动点
P
满足:
—-2
CA二
2
zCB-2AB・CP,贝UP点轨迹一定通过厶ABC的
(
B)
A
外心
B
内心
C
重心
D
垂心
7.已知非零向量Ab与AC满足("AB+AC)•Bc=o且"AB•AC£,则厶abc为()
|AB||AC||AB||AC|2
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形
TT
解析:
非零向量与满足()=0,即角A的平分线垂直于BC,.・.AB=AC,又
|AB||AC|
8.ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH二m(OAOBOC),则实数m=_」
9.点O是ABC所在平面内的一点,满足OAOB=OBOC=OCOA,则点O是ABC的(B)
(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点
(C)三条中线的交点(D)三条高的交点
10.如图1,已知点G是ABC的重心,过G乍直线与ABAC两边分别交于MN两点,且市二xAB,
AN二yAC,贝u——=3o
xy
证点G是MBC的重心,知GAGBGC=Q
得-AG(AB-AG)(AC-AG)=o,有AG二1(AB^C)。
又MN,G三点共线(A不在直线MN3
上),
于是存在■,使得AG=■AM:
!
-aN(且■-J=1),
有AG=xAB订二yAC=〔(ABZC),
3
■'■-1
11
得1,于是得1•丄=30
,x="yxy
I3
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标:
1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点:
灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点:
针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题
教学过程:
1、课前练习
——2——22
1.1已知0是厶ABC内的一点,若OA=OB=OC,则O是厶ABC£〔〕
A、重心B、垂心C、外心D、内心
*・'・'**■—►.▼■饥.▼°-
1.2在厶ABC中,有命题①AB-AC二BC;②ABBCCA=0;③若ABAC•AB-AC=0,
则厶ABC为等腰三角形;④若ABMC0,则厶ABC为锐角三角形,上述命题中正确的是〔〕
A、①②B、①④C、②③D、②③④
2、知识回顾
2.1三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2向量的有关性质
2.3上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC中,有代+悟*B^=0和tab*的二1,试判断△ABC的形状。
」AB||ac|丿|ab||ac|2
练习1、已知△ABC中,AB二a,BC=b,B是厶ABC中的最大角,若a*b-0,试判断厶ABC的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是厶ABC所在平面内的一点,满足|oa2・|bc2Tob「|ac2=|oc2*b|2,则
O是厶ABCM〔〕
D、内心
A、重心B、垂心C、外心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是厶ABC所在平面内的一动点,且点P满足OP=OA+扎一十一,,扎Jab|ac丿
C、外心D、内心
,A、B、C平面上不共线的三点,动点P满足
、外心D、内心
作直线与AB、AC分别相交于M、N两点,
AM二x・AB,AN二y*AC,求证:
6小结处理与三角形有关的向量问题时,要允分注意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。
7、作业
1、
已知O是厶ABC内的一点,若OAOB0^0,贝U0是厶ABC的:
〕
a*0Ab*0Bc*0C=0,贝U0是厶ABC的:
〕
、内心
A、重心B、垂心C、外心
4、已知P是厶ABC所在平面内与A不重合的一点,满足ABAC=3AP,则P是厶ABC的〔
A、重心B、垂心C、外心D、
■百—►
5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OAOBOC=0,
△ABC为正三角形。
6在厶ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AMh2,求oa(oboc)
三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小。
在高中数学“平面向量”(必修4第二章)的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。
既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感
重心”的向量风采
【命题1】G是厶ABC所在平面上的一点,
图⑵
AB,C是平面上不共线的三个点,动点
P满足
OP=OA,(ABAC),
若GAGBGC=0,则G是厶ABC的重心.如图⑴.
■(0,*),贝UP的轨迹一定通过△ABC的重心.
【解析】由题意A^=(ABAC),当…(0,:
)时,由于(ABAC)表示BC边上的中线所在
直线的向量,所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心,如图⑵.
垂心”的向量风采
【命题3】P是厶ABC所在平面上一点,若PA=PB=PCPA,贝UP是厶ABC的垂心.
【解析】由
PA品启捏,得PB点启)=。
,即7BCA=。
,所以7B丄CA.同理可证
垂直于BC的直线上,所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心,如图⑷.
三、内心”的向量风采
【命题5】已知I为△ABC所在平面上的一点,且AB=c,AC=b,BC=a.若
则由题意得(abc)IAbABcA^=0,
•••aI与/BAC平分线共线,即Al平分.BAC.
同理可证:
Bl平分.ABC,Cl平分.ACB.从而I是△ABC的内心,如图⑸.
【命题6】已知0是平面上一定点,AB,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
方向的向量,故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心,如图⑹.
四、“外心”的向量风采
【命题7】已知0是厶ABC所在平面上一点,若OA^OB^=00^,则0是厶ABC的外心.
2^^2^^2
【解析】若0A=0B=0C,则
【解析】由于¥过BC的中点,当^(0心时
ABIeosB
^AC—
ACeosC
表示垂直于BC
B
外心,如图⑺。
【命题7】已知0是平面上的一定点,AB,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
,■(0,=),则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心。
的向量(注意:
理由见二、4条解释。
),所以P在BC垂直平分线上,动点P的轨迹一定通过△ABC的外心,如图⑻。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质 三角形中心矢量 三角形 重心 外心 内心 向量 表示 及其 性质 中心 矢量