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教案
数学模型A教案
朱宁编
2015年3月
目录
第一讲曲线拟合与机翼加工…………………………1
1.1实验目的……………………………………………………1
1.2实验要求……………………………………………………1
1.3函数作图的基本命令………………………………………1
1.4曲线拟合……………………………………………………2
1.5实例………………………………………………………7
1.6本次实验……………………………………………………8
1.7练习…………………………………………………………8
第二讲线性规划与有价证券投资…………………10
2.1线性代数基础知识……………………………………10
2.2多元线性方程组、超越函数方程、常微分方程的解……11
2.3线性规划…………………………………………………12
2.4本次实验…………………………………………13
2.5练习………………………………………………14
第三讲积分与国土面积……………………………16
3.1函数极限、导数、定积分、重积分的计算……16
3.2三维图形…………………………………………16
3.3举例………………………………………………17
3.4本次实验…………………………………………18
3.5练习………………………………………………19
第一讲曲线拟和与机翼加工
1.实验目的
1.1学习Mathematic的绘图语言及任选项;
1.2从图形上认识一元函数,并会观察函数的基本特性(即:
奇偶性、单调性、有界性、周期性)。
1.3会用Mathematic进行曲线拟合,并解决实际问题。
2.实验要求
2.1理解函数,基本初等函数与初等函数的基本概念;
2.2会分析函数的基本特性;
2.3会用已知参数方程绘制曲线图;
2.4会用初等函数绘制曲线图形;
2.5理解曲线拟合的基本原理,并能用曲线拟合的方法解决实际问题。
3.函数作图的基本命令
3.1函数作图的基本命令
Plot[f,{x,xmin,xmax},option->value]绘制形如
的函数的图形;
Plot[{f1,f2,f3,…},{x,xmin,xmax},option->>value]将多个图形绘制在同一坐标平面上;
Plot[Evaluzte[Table[f,…],{x,xmin,xmax}]产生一个函数集合并画图;
4.曲线拟合
4.1曲线拟合基本原理
已知一组二维数据(即平面上的若干个点),确定一个一元函数(即曲线),使这些已知点与函数曲线总体来说尽可能地接近,这就是曲线拟合。
4.2曲线拟合的基本方法
已知坐标平面上一组点
,用最小二乘法做曲线拟合。
最小二乘法的原理是:
求
,使误差
达到最小,拟合时需要取定拟合曲线的形式。
最常见的有多项式函数拟合。
4.3曲线拟合的基本命令
Fit[{点集},Table[xk,{k,k1,k2}],x]。
4.4曲线拟合步骤:
(1)观察给出的点集,分析与其形状大致相似的函数图形(必要时可将函数分段);
(2)选择模拟函数的类型,其中可以有待定的参数;
(3)确定模拟函数(即根据期限光滑的特点,确定参数),画出模拟函数的图形;
(4)将模拟函数的图形与已给图形进行比较,进行模拟函数的调整(必要时重新选择模拟函数)。
5.实例
【例1】基本初等函数的图形
Plot[1/x,{x,-20,20}]
【例2】多个图形绘制在同一坐标平面上
Plot[{ArcSin[x],ArcCos[x]},{x,-1,1}]
【例3】产生一个函数集合并画图
Clear[a,y,x]
v=200;g=9.8;
y[a_,x_]:
=Tan[a]*x-g*x^2*Sec[a]^2/(2v^2)
Plot[Evaluate[Table[y[i,x],{i,Pi/12,5Pi/12,Pi/12}]],{x,0,4000}]
注:
Option为选项,每个选项都有一个确定的名字,以“选项名->选项值”的形式放在Plot中的最右边位置,一次可设置多个选项,选项依次排列,用逗号隔开,也可以不设置选项,采用系统的默认值。
如:
选项
说明
默认值
AspectRatio
图形的高、宽比
1/0.618
AxesLabel
给坐标轴加上名字
不加
PlotLabel
给图形加上标题
不加
PlotRange
指定函数因变量的区间
计算的结果
PlotStyle
用什么样方式作图
值是一个表(颜色,粗细等)
PlotPoint
画图时计算的点数
25
【例4】用不同颜色区分多个函数图形
Plot[{ArcSin[x],ArcCos[x]},{x,-1,1},PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.01]},{RGBColor[0,1,0],Dashing[{0.05,0.05}]}}]
【例5】如果要标注坐标名称x轴为“Time”,y轴为“Height”:
f[x_]:
=Sin[x^2]/(x+1);
Plot[f[x],{x,0,2Pi},AxesLabel->{“time”,“hight”},PlotLabel->Sin[x^2]/(x+1)]
【例6】比较下面的两个图形
Plot[Tan[x],{x,-10,10}]
Plot[Tan[x],{x,-10,10},PlotRange->{-5,5}]
【例7】ListPlot[List],用于绘制散点图
注意,List的形式应为:
例:
在同一坐标系下绘制下列两组散点图
p1={{0,0},{0,45},{5.3,89.6},{22.6,131.2}};
p2={{0,0},{2.68,44.8},{12.57,88.28},{27,130.3}};
mathematica程序:
g1=ListPlot[p1,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];
g2=ListPlot[p2,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];
Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction];%PlotJoinde->True,将点用实线连起来。
【例8】Fit[{点集},Table[x^i,{i,n1,n2}],x]用多项式函数拟合曲线
例:
某次实验得到生物的浓度与时间的关系如下表,求浓度与时间关系的拟合曲线。
T(分)
1
2
3
4
5
6
7
8
Y
4
6.4
8.0
8.4
9.28
9.5
9.7
9.86
T(分)
9
10
11
12
13
14
15
16
Y
10
10.2
10.32
10.42
10.5
10.55
10.5
10.6
Clear[a,b,c1,c2,d]
a={{1,4},{2,6.4},{3,8.4},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{14,10.55},{15,10.5},
{16,10.6}};
b=ListPlot[a,PlotStyle->{RGBColor[0.5,0,0.5],PointSize[0.05]}];
c1=Fit[a,Table[x^i,{i,0,1}],x];
c2=Fit[a,Table[x^i,{i,0,4}],x];
d=Plot[{c1,c2},{x,0,16},PlotRange->{2,11},
PlotStyle->{{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]},
{RGBColor[0,1,0],Dashing[{0.05,0.05}]}}];
Show[b,d];
【例9】用于绘制形如{x=fx(t),y=fy(t)}的参数方程图形
ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}。
例如:
f[t_]:
=2Cos[3t];
ParametricPlot[{f[t]Cos[t],f[t]Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic];
【例10】用作图法判断方程的根
试判断方程x7-3x6+2x5+1=0有几个正根?
求最小正根,误差不超过0.01。
解:
Plot[x7-3x6+2x5+1,{x,0,5}]
Plot[x7-3x6+2x5+1,{x,1,2},PlotRange{-2,2}];
Plot[x7-3x6+2x5+1,{x,1.3,1.36},PlotRange{-2,2}];
Plot[x7-3x6+2x5+1,{x,1.344,1.35},PlotRange{-0.1,0.1}]
【例11】曲线拟合
某次实验得到生物的浓度与时间的关系(见下面的集合阿a),求浓度与时间的关系的拟合曲线。
Clear[A,B,c1,c2,d]
A={{1,4},{2,6.4},{3,8.4},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{8,9.86},{9,10},{10,10.2},{11,10.32},{12,10.42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.5},{16,10.6}};
B=ListPlot[A,PlotStyle->{RGBColor[0.5,0,0.5],PointSize[0.05]}];
C1=Fit[A,Table[x
{i=0,1}],x];
C2=Fit[A,Table[x
{i=0,4}],x];
D=Plot[{c1,c2},{x,0,16},PlotRange->{2,11},PlotStyle->{{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]},{RGBColor[0,1,0],Dashing[{0.05,0.05}]}}];
Show[B,D];
6.[本次实验]机翼加工
待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据(x,y)给出(在平面直角坐标系下),用程控铣床加工时,每一刀只能沿x轴方向和y轴方向走向非常小的一步,这就需要从已知数据出发得到加工所要求的步长很小的(x,y)坐标。
表1给出的(x,y)数据位于机翼断面的下轮廓线上。
假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标。
试完成加工所需数据,画出曲线,并求出x=0处的曲线斜率和13<=x<=15范围内y的最小值。
[表1]机翼断面下轮廓线上的部分数据
x
0
3
5
7
9
11
12
13
14
15
y
0
1.2
1.7
2.0
2.1
2.0
1.8
1.2
1.0
1.6
7.练习
1.用作图法判断方程
有几个正根和极值?
并求其最小正根和极值。
(误差不超过0.01)
2.绘制函数z=sinxsiny在[-0.3,0.3]之间的图形。
(写出命令)
3.在研究某单质分子的化学反应的速度时,已获得下列数据
反应时间(t)
3691215182124
反应物存量(y)
57.641.931.022.716.612.28.96.5
(1)试确定经验分布函数(即拟和函数)y=f(t);
(2)假定
,其中
待定。
确定
。
(通过取对数变为变为线性关系);
比较二曲线f(t)和
。
给出你的判断意见。
4.试将幂函数
绘制在一起,调整其定义域、值域使得图形既组合协调又便于区分。
5.给药方案
一种新药用于临床,在快速静脉注射的给药方式下(所谓“给药方式”是指:
每次注射计量多大,时间间隔多长),由于药物进入机体后随血液输送到全身,在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢,最终被排除体外。
药物在血液中的浓度(即单位体积血液中的药物含量)称“血药浓度”。
在最简单的一室模型中,将整个机体看作房室,称为“中心室,室内的血药浓度是均匀的。
快速静脉注射后,血药浓度迅速上升,然后逐渐下降。
当浓度太低时,达不到预期的治疗效果;血药浓度太高时,又可能导致病人药物中毒或副作用太强。
临床上,每种药物有一个最小有效浓度C1和最大治疗浓度C2。
设计给药方案时,要使血药浓度保持在C1、C2之间。
设本模型所研究药物的最小有效浓度C1=10(mug/ml),最大治疗浓度C2=25(mug/ml)。
对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血样,测得血药浓度C(mug/ml)如下表:
[表2]血药浓度C(t)的数据
t
0.25
0.5
1
1.5
2
3
4
6
8
c
19.21
18.15
15.36
14.10
12.89
9.32
7.45
5.24
3.01
试给出函数c(t)的拟合曲线。
(提示:
t=logc为近似直线)
6.某地区作物生长所需的营养素主要有氮(N)、钾(K)、磷(P)。
某作物研究所在某地区对土豆做了一定数量的实验,实验数据如表三,试分别拟合出土豆产量依赖于氮、磷、钾的施肥量的关系。
[表3]对某地区土豆的实验数据
氮肥量(kg/ha)
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量(t/ha)
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
7.曲线拟合
试选定合适的函数模拟如下曲线
12.
8.利用计算机作函数的图形时,必须注意选择好图形的显示区域。
若选择的不好,则显示的图形不能充分表示出所求作的图形的特点,甚至可能因机器误差而产生变形,得出错误的图形。
试作下例图形:
(1)y=x^3-49x显示区域分别为:
(a)(x,y)[-10,10]×[-10,10]
(b)(x,y)[-10,10]×[-100,100]
(c)(x,y)[-10,10]×[-200,200]
试对显示的图形进行比较,哪个能比较充分地反应所求作的图形的特点?
(2)Y=sin50x,显示的区域分别为:
(a)[-12,12]×[-1.5,1.5];
(b)[-9,9]×[-1.5,1.5];
(c)[-0.25,0.25]×[-1.5,1.5];
试对显示的图形进行比较,哪个显示了真实的函数图形。
9.根据中华人民共和国个人所得税法规定:
公民的个人工资,薪金应依法缴纳个人所得税,所得税的计算方法为:
在每个人的月收入中超过800元以上的部分应该纳税,这部分收入称为应纳税所得额,应纳所得额实行分段累计税率,按下列税率表计算:
个人所得税税率表(适用于工资薪金)等级全月应纳税所得额税率(%)
1不超过500元的部分5%
2超过500元不到2000元的部分10%
3超过2000元不到5000元的部分15%
4超过5000元不到20000元的部分20%
5超过20000元不到40000元的部分25%
6超过40000元不到60000元的部分30%
7超过60000元不到80000元的部分35%
8超过80000元不到100000元的部分40%
9超过100000元的部分45%
如果某人的月工资x,求他应缴纳的税款y与收入x之间的函数关系,并拟合该函数曲线。
第二讲线性规划与有价证卷投资
一、实验目的
1.利用mathematica数学软件计算代数问题;
2.了解mathematica数学软件求解各种方程及方程组的解;
3.熟悉mathematica数学软件求解微分方程组的解;
4.利用mathematica软件计算线性规划问题;
5.了解mathematica数学软件求解线性规划问题的各种方法。
二、实验要求
1.熟悉线性代数和微分方程的基本概念;
2.mathematica软件有关线性代数;
3.熟悉线性规划的基本概念;
4.用mathematica软件求解线性规划问题。
三、线性代数的基本命令
1.构造矩阵和向量
{a,b,c}
{{a,b,c},{d,e,f},{g,h,i}}或者用矩阵,并用Ctrl+Enter增加行,用Ctrl+,键增加列.
Table[f,{i,m},{j,n}]构造m×n矩阵,f是i,j的函数,给出[i,j]项值.
Array[f,{m,n}]构造m×n矩阵,[i,j]项的值是f[i,j].
DiagonalMatrix[List]生成对角线元素为List的对角矩阵.
IdentityMatrix[n]构造n阶单位阵.
2.截取矩阵块
M[[i]]…………………………………………………………取矩阵M的第i行;
Map[#[[i]]&,M]………………………………………………取矩阵M的第i列;
M[[i,j]]……………………………………………………取矩阵M的i,j位置的元素;
M[[{i1,…,ir},{j1,…,js}]]………………矩阵M的r×s子矩阵,元素行标为ik,列标为jk;
M[[Range{i0,i1},Range{j0,j1}]]…………矩阵M的从i0到i1行,j0到j1列元素组成的子矩阵;
(3)矩阵及向量的运算
M+/-N……………………………………………………………对M、N做矩阵加/减法;
M.N…………………………………………………………………对M、N做矩阵乘法(向量内积);
M*N…………………………………………………………………将M、N的对应位置元素相乘
Dimensions[M]…………………………………………………给出矩阵M的维数
Transpose[M]……………………………………………………转置
Inverse[M]………………………………………………………求逆
Det[M]…………………………………………………………方阵M的行列式值
MatrixPower[M,n]………………………………………………n阶矩阵幂
Tr[M]或者Sum[M[[i,i]],{i,n}]………………………………矩阵的迹
Eigenvalues[M]…………………………………………………M的特征值
Eigenvectors[M]…………………………………………………M的特征向量
Eigensystem[m]…………………………………………………矩阵m的特征值与特征向量组
RowReduce[m]……………………………………………对矩阵m进行初等变换化其为最简阶梯阵。
MatrixExp[M]…………………………………………………矩阵指数
Outer[Times,M,N]……………………………………………求M、N的外积
SingularValues[m]………………………………………………矩阵的奇异值分解
3.各种方程及方程组的基本运算命令
1.Solve[{方程1,…方程n},{变量1,…变量n}]…………求非(线性)方程1,…方程n的解
2.NullSpace[m]…………………………………………………求矩阵方程mx=0的解
3.LinearSolve[m,b]]………………………………求矩阵方阵mx=b的解求矩阵方程mx=b的解
4.求函数值和数的近似值.
f[x_]:
=Sin[x]
f[Pi]
f[Pi/4]//N
N[f[20Degree],10]
5.求解微分方程的解
Dsolve[微分方程,未知函数,自变量]
6.函数的极值
1.FindMaximum[f,{x,x0}]
2.FindMinimum[f,{x,x0}]
功能:
1.求函数f在x0附近的极大值
2.求函数f在x0附近的极小值
结果:
1.{fmax,{x->xmax}}
2.{fmin,{x->xmin}}
3.ConstrainedMin[f,{inequalities},{x1,x2,...}]
4.ConstrainedMax[f,{inequalities},{x1,x2,...}]
功能:
1.求在给定约束条件inequalities下线性目标函数f极小值和对应的极小点.
2.求在给定约束条件inequalities下线性目标函数f极大值和对应的极大点.
结果:
1.{极小值,{自变量1->极小值点1,自变量2->极小值2,...}}
2.极大值,{自变量1->极大值点1,自变量2->极大值2,...}}
四、实例
【例1】求解矩阵m={{1,1/5,1/3},{5,1,3},{3,1/3,1}}的特征值和特征向量。
ClearAll[]
m={{1,1/5,1/3},{5,1,3},{3,1/3,1}};
Eigenvalues[m]//N;
Eigenvectors[m]//N;
Eigensystem[m]//N;
【例2】求解下列方程组的解
解法1:
Solve[{5x1+6x2==1,x1+5x2+6x3==0,x2+5x3+6x4==0,x3+5x4+6x5==0,x4+5x5==1},{x1,x2,x3,x4,x5}]
解法2:
m={{5,6,0,0,0},{1,5,6,0,0},{0,1,5,6,0},{0,0,1,5,6},{0,0,0,1,5}};MatrixForm[%]
b={1,0,0,0,1};
解法3:
m1=Table[Switch[i-j,-1,6,0,5,1,1,_,0],{i,5},{j,5}];MatrixForm[%];LinearSolve[m,b]
【例3】求解微分方程
的解
解法:
Dsolve[
y[x],x]
【例4】试求方程
的根
解法:
plot[
]
FindRoot[f(x)=0,{x,{1,3}}]
FindRoot[f(x)=0,{x,{3,5}}]
FindRoot[f(x)=0,{x,{5,6}}]
FindRoot[f(x)=0,{x,{6,8}}]
FindRoot[f(x)=0,{x,{8,10}}]
六、[本次实验]有价证卷投资
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券以及其信用等级,到期年限,收益如下表所示.按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需按50%的税率纳税.此处还有以下限制:
(1)政府以及代办机构的证券总共至少要购进400万元;
(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高);
(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前效益(%)
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
(1)若该经理有1000万元资金,应如何投资?
(
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