大学物理机械波习题思考题及答案.docx
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大学物理机械波习题思考题及答案
习题8
8-1.沿一平面简谐波的波线上,有相距
2.0m的两质点A与B,B点振动相位
比A点落后
,已知振动周期为2.0s,求波长和波速。
6
解:
根据题意,对于
A、B两点,
21
,x2m,
2
6
而
x
24m,u
12m/s
T
8-2.已知一平面波沿
x轴正向传播,距坐标原点
O为x1处P点的振动式为
yAcos(t),波速为u,求:
(1)平面波的波动式;
(2)若波沿x轴负向传播,波动式又如何?
解:
(1)设平面波的波动式为yAcos[
(t
x)0],则P点的振动式为:
u
yP
Acos[(t
x1)
0],与题设P点的振动式yP
Acos(
t
)比较,
x1
u
x
x1
有:
0
,∴平面波的波动式为:
y
Acos[
(t
)
]
;
u
u
(2)若波沿x轴负向传播,同理,设平面波的波动式为:
y
Acos[
(t
x)
0],则P点的振动式为:
u
yP
Acos[(t
x1)
0],与题设P点的振动式yP
Acos(
t
)比较,
x1
u
x
x1)
有:
0
,∴平面波的波动式为:
yAcos[
(t
u
]。
u
8-3.一平面简谐波在空间传播,如图所示,已知A点的振动规律为
y
Acos(2
t
),试写出:
(1)该平面简谐波的表达式;
(2)B点的振动表达式(
B点位于A点右方d处)。
解:
(1)仿照上题的思路,根据题意,设以
O点为原
点平面简谐波的表达式为:
y
Acos[2
(t
x)
0],则A点的振动式:
u
yAAcos[2(t
l)
0]
u
题设A点的振动式y
Acos(2
t
)比较,有:
2
l
0
,
l
x)
u
∴该平面简谐波的表达式为:
y
Acos[2
(t
]
u
u
(2)B点的振动表达式可直接将坐标
xd
l,代入波动方程:
l
d
l
]
Acos[2
(t
d
yAcos[2(t
u
)
)]
u
u
8-4.已知一沿x正方向传播的平面余弦波,
t
1s时的波形如图所示,
且周期T
3
为2s。
(1)写出O点的振动表达式;
(2)写出该波的波动表达式;
(3)写出A点的振动表达式;
(4)写出A点离O点的距离。
解:
由图可知:
A0.1m
,
0.4m,而T
2s,则:
u
/T
0.2m/s,
2
2
y
0.1cos(t
5
x0)
,k
5
,∴波动方程为:
T
y
0.1cos(
t
)
O点的振动方程可写成:
0
O
由图形可知:
t
1s时:
yO
0.05,有:
0.05
0.1cos(
0)
考虑到此时dyO
3
5
3
0,∴
0
,
(舍去)
dt
3
3
那么:
(1)O点的振动表达式:
yO
0.1cos(
t
);
3
(2)波动方程为:
y
0.1cos(t
5
x
);
3
(3)设A点的振动表达式为:
yA
0.1cos(
t
A)
由图形可知:
t
1s时:
yA
0,有:
cos(
A)0
3
3
考虑到此时dyA
0,∴
A
5
(或A
7
)
dt
6
6
∴A点的振动表达式:
yA
0.1cos(t
5),或yA
0.1cos(t
7);
6
6
(4)将A点的坐标代入波动方程,可得到
A的振动方程为:
yA
0.1cos(
t
5xA
),与(3)求得的A点的振动表达式比较,有:
5
3
7
t
5
xA
,所以:
xA
t
3
0.233m
。
6
30
8-5.一平面简谐波以速度
u
0.8m/s沿x轴负方向传播。
已知原点的振动曲线如图所示。
试写出:
(1)原点的振动表达式;
(2)波动表达式;
(3)同一时刻相距1m的两点之间的位相差。
解:
这是一个振动图像!
由图可知
A=0.5cm,设原点处的振动方程为:
yO
5
103cos(
t0)。
(1)当t
0时,yO
t0
2.5
10
3,考虑到:
dyO
t0
0
,有:
0
,
dt
3
当t1时,yOt1
0
dyO
0,有:
,
5
,考虑到:
dt
t1
3
2
,
6
∴原点的振动表达式:
yO
5
103cos(5
t
);
6
3
(2)沿x轴负方向传播,设波动表达式:
y
5
103cos(5
t
kx
)
6
3
而k
5
1
24
,∴y
5
10
3cos(5
t
24
x
3
);
u
6
0.8
25
6
25
(3)位相差:
2
x
x
25
3.27rad
。
k
24
8-6.一正弦形式空气波沿直径为
14cm的圆柱形管行进,波的平均强度为
9.0103J/(sm),频率为300Hz,波速为300m/s。
问波中的平均能量密度
和最大能量密度各是多少?
每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量?
解:
(1)已知波的平均强度为:
I9.0103J/(sm),由Iwu
有:
I
9.0
10
3
10
5
3
w
300
3
J/m
u
wmax
2w
6
105J/m3;
(2)由W
wV,∴Ww1d2
w1d2u
4
4
3
105J/m3
4
(0.14m)21m4.62107J。
8-7.一弹性波在媒质中传播的速度
u
103m/s,振幅A
1.0
104m,频率
103Hz。
若该媒质的密度为
800kg/m3,求:
(1)该波的平均能流密度;
(2)
1分钟内垂直通过面积
S4.0
104m2
的总能量。
解:
(1)由:
I
1u
A2
2
,有:
1
2
I
10
3
800(10
4
2
10
3
2
10
5
2
2
)(2
)1.58
W/m;
104m2的总能量为:
(2)1分钟为
60秒,通过面积S
4.0
W
ISt
1.58
105
4
104603.79103J。
8-8
.
与
S2
为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源,
它们的间距为d
5
/4,
S1
S2质点的振动比
S1超前
2,设S1的振动方程为
y10
2
t,且媒质无
Acos
T
吸收,
(1)写出S1与S2之间的合成波动方程;
(2)分别写出S1与S2左、右侧的
合成波动方程。
解:
(1)如图,以S1为原点,有振动方程:
S1
S2
x
2
y10
Acos
t,
T
Acos(2
2
则波源S1在右侧产生的行波方程为:
y1
t
x),
T
由于S2质点的振动比S1超前
2,∴S2
的振动方程为
y20
Acos(2
t
),
设以S1为原点,波源
S2在其左侧产生的行波方程为:
T
2
y2
Acos(
2
2
x
),由于波源S2的坐标为
5
/4,代入可得振动方程:
T
t
y20
Acos(2
t
2
5
),与y20
Acos(2
t
)比较,有:
2。
T
4
T
2
∴y2
Acos(2
t
2
x
2
)
Acos(2
t
2
x)。
T
T
可见,在S1与S2
之间的任一点
x处,相当于两列沿相反方向传播的波的叠加,
合成波为:
y
y1
y2
2Acos2
xcos2
t,为驻波;
T
Acos(2t
2
(2)∵波源S1在左侧产生的行波方程为:
y1'
x),
2
2
T
(2
2
与y2
Acos(
t
x)叠加,有:
y左
y1'
y2
);
T
2Acos
T
t
x
(3)设波源S2在其右侧产生的行波方程为:
y2
'
Acos(2
t
2
x
'),
T
代入波源S2的坐标为
5
/4
,可得振动方程:
y20
'
Acos(2
t
2
5
'),
Acos(2
T
4
与y20'
y20
t
2
)比较,有:
'
3
。
T
∴y2'
Acos(2
t
2
x
3
)
Acos(2
t
2
x
)。
T
T
与y1
Acos(2
t
2
x)叠加,有:
y右
y1
y2'
0。
T
0。
表明两列波正好是完全反相的状态,所以合成之后为
8-9.设S1与S2为两个相干波源,相距
1
波长,S1比S2的位相超前
。
若两波
4
2
在在S1、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化,问
S1、S2连线上在S1外
侧各点的合成波的强度如何?
又在
S2外侧各点的强度如何?
解:
(1)如图,S1、S2
连线上在S1外侧,
S1
S2
∵
2
(r2
r1)
2
,
r1
r2
2
1
2
4
∴两波反相,合成波强度为
0;
(2)如图,S1、S2
连线上在S2外侧,
∵
2
1
2
(r2
'r1')
2
(
)
0,
S1
S2
2
r2'
4
r1'
∴两波同相,合成波的振幅为
2A,
合成波的强度为:
I(2A)2
4A2
4I0。
8-10.测定气体中声速的孔脱
(Kundt)法如下:
一细棒的中部夹住,一端有盘D
伸入玻璃管,如图所示。
管中撒有软木屑,管的另一端有活塞P,使棒纵向振动,
移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。
若已知棒中纵波的频率
,量度
相邻波节间的平均距离d,可求得管内气体中的声速u。
试证:
u
2d。
证明:
根据驻波的定义,相邻两波节(腹)间距:
x,再根据已知条件:
量度
2
相邻波节间的平均距离
d,所以:
d
,那么:
2d,
所以波速为:
u
2d。
2
8-11.图中所示为声音干涉仪,用以演示声波的干涉。
S为声源,
D为声音探测器,如耳或话筒。
路径SBD的长度可以变化,但路径SAD是固定的。
干涉仪内有空气,且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位,而渐增至B距第一位置为1.65cm的第二位置时,有极大值900单位。
求:
(1)声源发出的声波频率;
(2)抵达探测器的两波的振幅之比。
解:
根据驻波的定义,相邻两波节
(腹)间距:
x
2
,
相邻波节与波腹的间距:
x
,可得:
4
x
6.6cm。
4
u
340
(1)声音的速度在空气中约为
340m/s,所以:
()。
6.6
102
5151Hz
(2)∵I
A2,I
min
(A
A)2,I
max
(A
A)2,依题意有:
1
2
1
2
(A1
A2)2
100
A1
20
A1
2
。
A2)2
,那么
(A1
900
A2
10
A2
1
8-12.绳索上的波以波速v25m/s传播,若绳的两端固定,相距2m,在绳上
形成驻波,且除端点外其间有3个波节。
设驻波振幅为0.1m,t0时绳上各点
均经过平衡位置。
试写出:
(1)驻波的表示式;
(2)形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。
解:
根据驻波的定义,相邻两波节(腹)间距:
x,如果绳的两端固定,那么
2
两个端点上都是波节,根据题意除端点外其间还有
3个波节,可见两端点之间有
四个半波长的距离,
x4
2
2,则:
d4
2,波长:
1m,又
2
∵波速u25m/s,∴
2
u
50
又已知驻波振幅为0.1m
,t0
(Hz)。
时绳上各点均经过平衡位置,
说明它们的初始相位为
,
2
关于时间部分的余弦函
数应为cos50
t
2
),所以驻波方程为:
y0.1cos2xcos(50
t
2);
(
(2)由合成波的形式为:
y
y1
y2
2Acos2xcos2
t,
可推出合成该驻波的两列波的波动方程为:
y1
0.05cos(50
t
2
x)
y2
0.05cos(50
t
2
x
)。
8-13.如图所示,三个频率相同,振动方向相同(垂直纸面)
的简谐波,在传播过程中在
O点相遇;若三个简谐波各自单
O
1
独在S1、S2和S3的振动方程分别为
y1
Acos(t
),
2
y2
Acos
t和y3
2Acos(t
1
);且S2O
4
,
S1
S2
S3
2
S1O
S3O
5
(
为波长),求O点的合振动方程(设传播过程中各波振幅不
变)
解:
每一波传播的距离都是波长的整数倍,所以三个波在O点的振动方程可写成
y1A1cos(t
1)
A2
2
A1
y2
A2cos
t
O
/4
1
y
y3
A3cos(t
π)
2A
A3
2
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