直线和圆知识点总结.docx

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直线和圆知识点总结

练习一（直线和圆部分）

知识梳理

1．直线的倾斜角

的范围是

；求直线斜率的两种方法：

①定义：

k

（

2

）；

②斜率公式：

k

y2

y1

（x1

x2）．答案0,180

x2

x1

2．直线方程的几种形式：

①点斜式

，适用范围：

不含直线x

x0；

特例：

斜截式

，适用范围：

不含垂直于x轴的直线；

②两点式

，适用范围：

不含直线xx（x

x）和直线y

y（y

y

）；

1

1

2

1

1

2

特例：

截距式

，适用范围：

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

；

③一般式

，适用范围：

平面直角坐标系内的直线都适用

．

3．求过P（1x1,y1），P2（x2,y2）的直线方程时：

（1）若x1

x2，且y1

y2时，直线垂直于

x轴，方程为x

x1；

（2）若x1

x2，且y1

y2时，直线垂直于

y轴，方程为y

y1；

（3）若x1

x2

0，且y1

y2时，直线即为

y轴，方程为

x

0；

（4）若x1

x2，且y1

y2

0时，直线即为

x轴，方程为

y

0。

4．已知直线l1：

y

k1xb1，直线l2：

yk2xb2，则

①l1与l2相交

；

②l1与l2平行

；

③l1与l2重合

；

④l1与l2垂直

．

5．已知直线l1：

A1x

B1y

C1

0，直线l2：

A2xB2y

C2

0，则

①l1与l2相交

；

②l1与l2平行

；

③l1与l2重合

；

④l1与l2垂直

．

6．两点P（1x1,y1），P2（x2,y2）之间的距离PP12

=

；

点P（x,y）到直线l：

Ax

By

C

0的距离d

；

两平行直线l

：

Ax

By

C

0与l

：

Ax

ByC

2

0之间的距离d

．

1

1

2

7．圆的标准方程为

（x

a）2

（y

b）2

r2（r

0），其中

为圆心，

为半径；

1

圆的一般方程为

x2

y2

DxEyF

0表示圆的充要条件是D2

E2

4F

0，

其中圆心为

，半径为

．

8．点与圆的位置关系

圆的标准方程为（x

a）2

（yb）2

r2

，点M（x,y

），

0

0

（1）点在圆上：

（x0

a）2

（y0

b）2

r2；

（2）点在圆外：

（x0

a）2

（y0

b）2

r2；

（3）点在圆内：

（x0

a）2

（y0

b）2

r2。

9．直线与圆的位置关系

判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：

（1）代数法：

直线方程和圆的方程联立方程组消去

x或y整理成一元二次方程后，

计算判别式①

b2

4ac

0

；

②

b2

4ac

0

；

③

b2

4ac

0

。

（2）几何法：

利用圆心到直线的距离

d和圆半径的大小关系

①dr

；②d

r

；dr

。

10．圆的切线方程

①若圆的方程为x2

y2

r2，点P（x0,y0）在圆上，则过

P点，且与圆x2

y2

r2相

切的切线方程为

xx0

yy0

r2；

②经过圆（x

a）2

（y

b）2

r2上的P（x0,y0）的切线方程为：

（x0a）（x

a）（y0

b）（y

b）

r2。

y

y0

k（xx0）

点P（x,y）在圆外，则可设切线方程为

yy0

k（x

x0）,利用直线与圆相切，利用

0

0

圆心到直线的距离等于半径，解出k。

11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法：

（1）几何法：

运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。

（2）代数法：

利用韦达定理及弦长公式

AB

1k2xA

xB

（1

k2）（xA

xB）2

4xAxB

12．设圆

C1：

（xx1）2

（y

y1）

2

r12

，圆C2：

（x

x2）2

（yy2）2

r22

，则有两圆

①相离

C1C2

；②外切

C1C2

；③内切

C1C2

；

2

④相交C1C2；⑤内含C1C2．

13．对称问题

①点关于点的对称：

利用中点坐标公式。

②直线关于点对称：

利用取特殊点法或转移法。

③点关于直线对称：

利用垂直和平分。

④直线关于直线对称：

转化为点关于直线对称问题解决。

如果是平行直线，还可以利用

平行直线之间距离。

如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。

常用的对称关系：

点（a,b）

点（a,b）关于原点的对称点

（-a,-b）,

点（a,b）关于点（a0,b0）的对称点的坐标为

（2a0a,2b0a）

点（a,b）关于x轴的对称点（a,-b），

点（a,b）关于y轴的对称点为（-a,b），

点（a,b）关于直线y=x的对称点为（b,a），

点（a,b）关于直线y=-x的对称点（-b,-a），

点（a,b）关于直线

y=x+m的对称点为（b-m,a+m）,

点（a,b）关于直线

y=

-x+m

的对称点

（m-b,m-a）.

练习题（第一部分）

1．直线的倾斜角为

若sin

3

，则此直线的斜率是（

）

5

A．3

B．4

C．

3

D．

4

4

3

2x垂直，则

4

3

2.直线

过点（-1，2）且与直线y

的方程是

3

A．3x2y10

B.

3x2y70

C.

2x3y50

D.

2x3y80

3．已知两条直线

y

ax

2和y

（a

2）x1互相垂直，则

a等于（

）

A．2

B．1

C．0

D．1

解析：

两条直线y

ax2和y

（a

2）x

1互相垂直，则

a（a

2）

1，∴a=－1，选D.

点评：

直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，

同时兼顾到斜率为零和不存

在两种情况

4

A（2,3）

、

B（

3,

2）

，直线

l过

P（1,1）

且与线段

AB

有交点，设直线l的斜率为k，

．已知

则k的取值范围（

）

3或

．

3或k

4

．

3k

3

C

．

k

k

1

D

．

3

Ak

B

4

4

4

k4

4

4

解析：

过点B（3,

2）、P（1,1）的直线斜为k1

1

（

2）

3，过点A（2,

3）、P（1,1）的直

1

（

3）

4

线斜率为k2

1

（

3）

4

，画图可看出过点

P（1,1）的直线与线段

AB有公共点可

1

2

3

看作直线绕点

P（1,1）从PB旋转至PA的全过程。

5．直线l经过点P（2,1）

，且与两坐标轴围成的三角形的面积为

S，如果符合条件的直线

l能

作且只能作三条，则

S

（

）

A．3

B．4

C．5

D．8

解析：

设直线方程为

x

y

2

1

2

1

2

，

a

b

1，则有

1，当a,b

0时，

1

2

a

b

a

b

ab

得ab8，即l与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为

4，显然与两坐标

轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为

4，共可作且只可作三条符合条件的

直线l。

6．已知直线l：

x

y

1

0，l1：

2x

y20，若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程

为（

）

A．x2y10

B．x2y10

C．xy10

D．x2y10

解析：

在l1上取两点（0,

2）,（1,0），则它关于直线

l的对称点为（1,

1）,（1,0），所以l2的方

程为x2y

1

0。

7．已知点M（0,1）

，点N在直线xy

10上，若直线MN垂直于直线x

2y

3

0，

则点N的坐标是（

）

A．（2,1）

B．

（2,3）

C．（2,1）

D．（2,1）

二、填空题

8．过点（1，2）且与直线x2y10平行的直线方程是_x2y50_.

9．已知两条直线l1:

ax3y

3

0,l2:

4x

6y

10.若l1//l2，则

a

____.

解：

两条直线l1:

ax

3y

3

0,l2:

4x

6y

1

0.若l1//l2

a

2

，则a

2．

，

3

3

10．若过点P（1

a,1

a）和Q（3,2a）的直线的倾斜角为钝角，那么实数

a的取值范围是

.

a

（2,1）

11．如果ab0,直线ax

by

c

0的倾斜角为

且sin

1

sin

1

sin,则

___________.

2

直线的斜率为

解析：

由sin

1

sin

1

sin

sin

cos

sin

cos

，

2

2

2

2

2

4

因为ab

0,直线axby

c

0的倾斜角为

所以tan

a

，

0，又0,

b

所以

（

），

2

（

），所以0

cos

sin

，

2

4

2

2

2

所以sin

（sin

cos

）

（sin

cos

）2cos

，

2

2

2

2

2

2

所以tan

2，k

tan

2tan

2

4。

2

1

tan

2

3

2

三、解答题

12.已知直线

l经过直线

3x

4y

2

0与直线

2x

y

2

0的交点P，且垂直于直线

x2y

1

0

.

（Ⅰ）求直线l

的方程；

（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积

S.

解：

（Ⅰ）由

3x

4y20,

解得

x

2,

2x

y

2

0.

y

2.

由于点P的坐标是（

2，2）.

则所求直线l与直线x2y

1

0垂直，

可设直线l的方程为

2x

y

C

0.

把点P的坐标代入得

2

2

2

C

0

，即C

2.

所求直线l的方程为

2x

y

2

0.

（Ⅱ）由直线l

的方程知它在

x轴、y轴上的截距分别是

1、

2，

所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积

S

1

2

1.

1

2

13.求经过直线l1：

3x4y50与直线l2：

2x3y80的交点M，且满足下列条件

①经过原点；②与直线l3：

2xy50平行；③与直线l4：

2xy50垂直的直

线方程。

答案：

x2y50

14.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴

的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使

A点落在线段DC上，若折痕所在

的直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程。

y

D

C

O

5（A）BX

解：

（1）当k

0时，A、D重合，折痕所在直线方程为

y

1

2

（2）当k

0时，设折叠后

A落在线段上的点为

G（a,1），

所以A与G关于折痕所在直线对称。

kAG

k

1，可得a

k,

从而G（

k,1），线段OG之中点为M（

k,1），

2

2

折痕所在直线方程为

y

1

k（x

k），化简得y

kx

k2

1

。

2

2

2

2

练习题（第二部分）

1．直线y

3x与圆（x

1）2

y2

1的位置关系是（

）

3

A．相交但直线不过圆心

B.相切

C.相离

D.相交且直线过圆心

．与圆

C:

x

2

y

2

2x

35

0

同圆心，且面积为圆

C面积的一半的圆的方程为（

）

2

A.（x1）2

y2

18

B.（x1）2

y2

9

C.

（x

1）2

y2

6

D.

（x

1）2

y2

3

3．圆心为C1,3的圆与直线l:

x2y30交于P、Q两点，O为坐标原点，且满

2

足OPOQ0，则圆C的方程为（）

A．（x

1）2

（y3）2

5

B．

2

2

C．（x

1）2

（y3）2

25

D．

2

4

（x

1）2

（y

3）2

5

2

2

（x

1）2

（y

3）2

25

2

4

4．P（x,y）是曲线

x

1cos

2）2

（y

4）2的最大值为（

y

sin.

上任意一点，则（x

）

A．36

B．26

C．25

D．6

5．两个圆C1：

x2

y2

2x2y

20与C2：

x2

y2

4x

2y

10的公切线有且仅

有（

）

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

6

解析：

因为r1

r2

0,r1

r2

4,O1O2

13，所以r1

r2

O1O2

r1r2，所以两圆相

交，故两圆公切线有

2条。

6．从圆x2

2x

y2

2y

1

0外一点P

3,2

向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余

弦值为（

）

1

B．

3

C．

3

D．0

A．

5

2

2

解析：

圆x2

2x

y2

2y1

0的圆心为

M（1，1），半径为

1，从外一点P（3,2）向这个

圆