中线倍长法和截长补短法学.docx

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中线倍长法和截长补短法学

几何证明-常用辅助线

（一）中线倍长法:

例1、求证：

三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：

如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：

AD﹤

（AB+AC）

分析：

要证明AD﹤

（AB+AC），就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。

待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。

证明：

延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。

在△ADB和△EDC中，

∴△ADB≌△EDC（SAS）

∴AB=CE

又在△ACE中，

AC+CE＞AE

∴AC+AB＞2AD，即AD﹤

（AB+AC）

小结：

（1）涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:

中，AD是

的平分线，且BD=CD，求证AB=AC

例2:

中线一倍辅助线作法

△ABC中方式1：

延长AD到E，

AD是BC边中线使DE=AD，

连接BE

方式2：

间接倍长

作CF⊥AD于F，延长MD到N，

作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，

连接BE连接CD

例3：

△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例4：

已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：

BD=CE

课堂练习：

已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：

AF=EF

例5：

已知：

如图，在

中，

，D、E在BC上，且DE=EC，过D作

交AE于点F，DF=AC.

求证：

AE平分

课堂练习：

已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：

∠C=∠BAE

作业：

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

2、已知：

如图，DABC中，ÐC=90°，CM^AB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：

CT=BE.

3：

已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：

AF=EF

4：

已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：

∠C=∠BAE

5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

（二）截长补短法

例1.

已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

求证：

∠BAD+∠BCD=180°.

分析：

因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.

证明：

过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，

在Rt△ADE与Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）,∴∠DAE=∠DCF.

又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，

即∠BAD+∠BCD=180°

例2.如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.

求证：

CD=AD+BC.

例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.

求证：

∠BAP+∠BCP=180°.

例4.已知：

如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.

求证：

AB=AC+CD.

作业：

1、已知：

如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：

BE+DF=AE.

2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：

AD平分∠CDE

（三）其它几种常见的形式：

1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

例：

如图1：

已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：

BE＋CF＞EF。

2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例：

：

如图2：

AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：

BE＋CF＞EF

练习：

已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF＝2AD。

3、延长已知边构造三角形：

例如：

如图6：

已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，

求证：

AD＝BC

4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：

如图7：

AB∥CD，AD∥BC求证：

AB=CD。

5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：

如图8：

在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。

求证：

BD＝2CE

6连接已知点，构造全等三角形。

例如：

已知：

如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：

∠A＝∠D。

九、取线段中点构造全等三有形。

例如：

如图10：

AB＝DC，∠A＝∠D求证：

∠ABC＝∠DCB。