六年级奥数杂题构造与论证学生版.docx
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六年级奥数杂题构造与论证学生版
构造与论证
(1)掌握最佳安排和选择方案的组合问题.
(2)利用基本染色去解决相关图论问题.
各种探讨给定要求能否实现,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则要着眼于极端情形,或从整体把握.设计最佳安排和选择方案的组合问题,这里的最佳通常指某个量达到最大或最小.解题时,既要构造出取得最值的具体实例,又要对此方案的最优性进行论证.论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计.
组合证明题,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则需要着眼于极端情况,或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题,这里宜从特殊的点或线着手进行分析.各种以染色为内容,或通过染色求解的组合问题,基本的染色方式有相间染色与条形染色.
一、最佳安排和选择方案
【例1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列,今要将它们变为反序排列,即从第5卷到第1卷.如果每次只能调换相邻的两卷,那么最少要调换多少次?
【巩固】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009,现在将卡片的顺序打乱,让空白面朝上,并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009.然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加,再将这2009个和相乘,所得的积能否确定是奇数还是偶数?
【例2】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上,有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场.为公平起见,用以下方法记分:
开赛前每位选手各有10分作为底分,每赛一场,胜者加分,负者扣分,每胜专业选手一场加2分,每胜业余选手一场加1分;专业选手每负一场扣2分,业余选手每负一场扣1分.问:
一位业余选手最少要胜几场,才能确保他的得分比某位专业选手高?
【巩固】n支足球队进行比赛,比赛采用单循环制,即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分.如果每一队至少胜一场,并且所有各队的积分都不相同,问:
(1)n=4是否可能?
(2)n=5是否可能?
【例3】如图35-1,将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数分别填入图中的10个圆圈内,使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.
【巩固】如图,在时钟的表盘上任意作
个
的扇形,使得每一个扇形都恰好覆盖
个数,且每两个扇形覆盖的数不全相同,求证:
一定可以找到
个扇形,恰好覆盖整个表盘上的数.并举一个反例说明,作
个扇形将不能保证上述结论成立.
【例4】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮.按钮每按一次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变为不亮,或由不亮变为亮.如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?
【例5】1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数.现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队,使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积.那么,选为仪仗队的运动员最少有多少人?
【巩固】一组互不相同的自然数,其中最小的数是1,最大的数是25,除1之外,这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍,或者等于这组数中某两个数之和.问:
这组数之和的最小值是多少?
当取到最小值时,这组数是怎样构成的?
【例6】2004枚棋子,每次可以取1、3、4、7枚,最后取的获胜。
甲、乙轮流取,如果甲先取,如何才能保证赢?
【巩固】桌子上放着55根火柴,甲、乙二人轮流每次取走1~3根.规定谁取走最后一根火柴谁获胜.如果双方采用最佳方法,甲先取,那么谁将获胜?
【巩固】桌子上放着55根火柴,甲、乙二人轮流每次取走1~3根.规定谁取走最后一根火柴谁输.如果双方采用最佳方法,甲先取,那么谁将获胜?
【例7】桌上有两堆棋子,分别有12粒和28粒,甲乙两人轮流从其中的一堆里取出若干粒,不能同时在两堆中都取,也不能不取.且取出的棋子数必须是另一堆棋子数的约数.取到最后一粒者为胜.如果甲先取,____________采用正确的策略,必胜.
【巩固】有两堆火柴,一堆35根,另一堆24根.两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限,但不能不取.规定取得最后一根者为胜者.如果都采用最佳方法,那么谁将获胜?
【例8】小明的左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币,并且两衣袋中硬币的总钱数相等。
当任意从左边衣袋取出两个硬币与右边衣袋的任意两个硬币交换时,左边衣袋的钱总数要么比原来的钱数多2分,要么比原来的钱数少2分,那么两个衣袋中共有多少分钱?
【例9】在10×19方格表的每个方格内,写上0或1,然后算出每行及每列的各数之和.问最多能得到多少个不同的和数?
【例10】在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子,使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子?
【巩固】【巩固】在下图中有16个黑点,它们排成了一个4×4的方阵.用线段连接其中4点,就可以画出各种不同的正方形.现在要去掉某些点,使得其中任意4点都不能连成正方形,那么最少要去掉多少个点?
【例11】用数字0和1组成的88个数围成一圈,使得其中任意连续的32个数中最多有9个1。
求证:
这88个数中至多有24个1。
二、染色与赋值问题
【例12】某学校的学生中,没有一个学生读过学校图书馆的所有图书,又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过.问:
能否找到两个学生甲、乙和三本书4、B、C,使得甲读过A、B,没读过C,乙读过B、C,没读过A?
说明判断过程.
【巩固】4个人聚会,每人各带2件礼品,分赠给其余3个人中的2人.试证明:
至少有2对人,每对人是互赠过礼品的.
【例13】有9位数学家,每人至多能讲3种语言,每3个人中至少有2个人有共通的语言.求证:
在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈。
【例14】将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形.证明:
无论怎样分法.分得的长方形中必有两个是完全相同的.
【巩固】将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色.证明:
至少可以找到两行,这两行中某一种颜色的格数相同.
【例15】在一个6×6的方格棋盘中,将若干个1×1的小方格染成红色.如果随意划掉3行3列,在剩下的小方格中必定有一个是红色的.那么最少要涂多少个方格?
【巩固】如图,把正方体的6个表面剖分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝3种颜色去染这些小正方形,要求有公共边的正方形所染的颜色不同.那么染成红色的正方形的个数最多是多少个?
【例16】试着把边长为
的这99个小正方形不重叠地放入1个边长为l的正方形内。
能做到就画出一种放法,不能,请说明理由。
【例17】有10个整数克的砝码(允许砝码重量相同),将其中一个或几个放在天平的右边,待称的物品放在天平的左边,能称出1,2,3,…,200的所有整数克的物品来;那么,这10个砝码中第二重的砝码最少是______克.
【例18】小明和8个好朋友去李老师家玩.李老师给每人发了一顶帽子,并在每个人的帽子上写了一个两位数,这9个两位数互不相同,且每个小朋友只能看见别人帽子上的数.老师在纸上又写了一个数A,问这9位同学:
“你知不知道自己帽子上的数能否被A整除?
知道的请举手.”结果有4人举手.老师又问:
“现在你知不知道自己帽子上的数能否被24整除?
知道的请举手.”结果有6人举手.已知小明两次都举手了,并且这9个小朋友都足够聪明且从不说谎,那么小明看到的别人帽子上的8个两位数的总和是 .
【随练1】在黑板上写上
、
、
、
、……、
,按下列规定进行“操怍”:
每次擦去其中的任意两个数
和
,然后写上它们的差(大数减小数),直到黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的数是奇数还是偶数?
为什么?
【随练2】在平面上有7个点,其中任意3个点都不在同一条直线上.如果在这7个点之字连结18条线段,那么这些线段最多能构成多少个三角形?
【随练3】证明:
在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×l×4的小长方体,这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行.
家庭作业
【作业1】将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上,然后把圆周上连续三个数之和写下来,则可以得到六个数
、
、
、
、
、
,将这六个数中最大的记为
.请问在所有填写方式中,
的最小值是什么?
【作业2】吝啬的卖酒老板老钱招聘卖酒伙计,他只给伙计两个分别为5升和3升的盛酒杯,要求满足所有顾客的买酒需求(当然顾客只需要整数升的酒),这下难倒了很多前来应聘的人,可是有一个聪明的放牛娃娃却做到了,你知道放牛娃娃是怎么样卖出一升酒的吗?
【作业3】黑板上写着一排相连的自然数1,2,3,…,51.甲、乙两人轮流划掉连续的3个数.规定在谁划过之后另一人再也划不成了,谁就算取胜.问:
甲有必胜的策略吗?
【作业4】1111个空格排成一行,最左端空格中放有一枚棋子,甲先乙后轮流向右移动棋子,每次移动1~7个格.规定将棋子移到最后一格者输.甲为了获胜,第一步必须向右移多少格?
【作业5】售货员把29个乒乓球分装在5个盒子里,使得只要顾客所买的乒乓个数小于30,他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出,而不必拆盒。
问这5个盒子里分别装着多少个乒乓球?
【作业6】如图,圆周上顺序排列着1,2,3,……,12这12个数。
我们规定:
把圆周上某相邻4个数的顺序颠倒过来,称为一次变换,例如1,2,3,4可变为4,3,2,1,而11,12,1,2可变为2,1,12,11。
问能否经过有限变换,将12个数的顺序变为如图10-4所示的9,1,2,3,……,8,10,11,12?
【作业7】一城镇共有5000户居民,每户居民的小孩都不超过两个。
其中一部分家庭每户有一个小孩,余下家庭的一半每户有两个小孩,则此城镇共有个小孩。
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