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科学网   数学的真、善、美、慧

人类生活的最高追求是什么？

无疑是追求真、善、美及其三者的统一。

而这一追求过程中也一定伴随着人类的智慧。

智慧是真、善、美的统一，是真、智、乐的会通，是知、情、意的和谐——智慧把诸多“三位一体”尽集于一身。

数学作为一种文化，其波澜壮阔的发展史已然表明，数学具有真、善、美的特征。

数学作为一种模式化的科学，“理想化的数学模式理应具备真、善、美的特点”，[①]实现数学真、善、美的统一也必然需要智慧的贯穿。

一、数学之真西方科学史上，历史学家和众多思想家都认同“理性的探索最终将把我们引向真理”这一信念，这种追求真理的信念被一代代人传承和坚守。

正如皮尔士所言，“科学追求的是永久不变的真理，而非真理的类似物；这种追求并不应被看成一个人一生的工作，而是一代接一代的无终止的努力。

”与当今的实用主义者相对照，皮尔士更像是一个柏拉图主义者，他坚信“要到达灵魂的最深处只能经由表层。

如此一来，那些永久不变的形式，正是通过数学、哲学与其他一些科学帮助我们逐步掌握的东西，将会通过慢慢地渗透逐渐到达一个人的内心，并逐渐影响到我们的生活；而且它们之所以能这样做，不是因为它们中仅仅包含了至关重要的真理，而是因为它们（本身）就是理想的永久不变的真理。

”[②]然而，科学真理观一直是科学史上争论不休的话题，科学哲学的研究已经表明，科学中所谓的绝对真理不总是有意义的，正如吴大猷先生说的，“科学的目的是寻求真理。

这个问题不存在争议，争议在于物理学中真理概念的含义。

就拿苹果落地这个简单的、基本的现象来说吧。

我不知道在牛顿之前这种现象是如何解释的，很可能其解释和真理在不同文化中是不同的。

人们普遍同意在牛顿之后的两个世纪之中，物理学家中确定无疑地认为，真理是地球重力吸引造成了物体的落地。

但是，随着爱因斯坦引力理论的提出（其预言与牛顿理论略有偏离，而实验所得的结果支持了爱因斯坦引力理论）似乎显示出真理已经改变了……由此足以说明，在物理学中和科学中，绝对真理之说并不总是有意义的。

”[③]当前，一些量子物理学家对真空中光速的降速研究与探索，似乎也在逐渐挑战爱因斯坦相对论一直以来的真理性地位。

科学史上，科学的合理性一般就是指合乎最终使我们达到真理的方法，但从托马斯·库恩开始，科学哲学家们主张弱化绝对真理，强调相对真理，但是反对没有真理。

正如普特南所言，“如我们所知，真理不是一个简单的概念，那种以为真理是某个（独立于心灵和话语的）‘真正’‘存在’物的被动摹本的观念，即使仍旧深深地占据着普通人的头脑，但经过康德、维特根斯坦和其他哲学家们的批判，已经土崩瓦解了。

”[④]拉卡托斯曾批评库恩的理论为暴民心理学，他认为“科学的增长，在休谟看来是归纳的和非理性的，在卡尔纳普看来是归纳的和理性的，在波普尔看来则是非归纳的和理性的，如果再扩展一下，在库恩看来，是非归纳的和非理性的。

按照库恩的观点，不可能有什么逻辑，而只有发现的心理学——因而按库恩的说法，科学革命是非理性的，是暴民心理学。

”[⑤]拉卡托斯发展了科学哲学中的“经验”真理观，同时他也提出了“拟经验主义”的数学真理观。

数学的真理性地位从古希腊开始一直保持至非欧几何的诞生，数学本身也一直被誉为科学真理的典范。

柏拉图认为“数的性质似乎能导向对真理的理解。

……学习几何能把灵魂引向真理，能使哲学家的心灵转向上方。

”[⑥]而在亚里士多德《形而上学》中“所谓真和假，不是在事物中，而是在理智中”。

到了中世纪，托马斯·阿奎那在《神学大全》中指出，上帝的真理是第一的、最高的和最完美的真理。

数学是上帝构建宇宙体系最完美的工具。

数学真理观一直发展到康德那里，成为一种先天综合判断，他认为“数学给我们一个光辉的榜样，它告诉我们，独立于经验，在先天知识方面能往前走多么远。

”[⑦]但是，非欧几何的诞生将数学从真理的神坛上拉了下来，人类认识到“我们不能先天地决定欧式几何的公理——或者任何其他几何的公理——是真理”。

[⑧]随着哥德尔不完备定理彻底粉碎希尔伯特关于数学形式化的追求，数学作为一种“经验真理”的观念逐渐被确立。

现代抽象数学的真理性，就其直接表现形式而言，是一种“模式真理”（PatternTruth），也就是一种由“关系结构的形式模型”表现出来的真理，[⑨]有的学者认为数学真理具有“逻辑合理性、模式真理性和现实真理性”三个层次结构。

数学的真理性涉及数学实在性问题，庞加莱曾指出，“人类的理智在自然界中所发现的和谐存在于这种理智之外吗？

不能！

毫无疑问，一个完全独立于想象它、看见它或感觉到它的心智之外的实在是不可能的。

作为外在的世界即使存在着，我们永远也达不到。

我们称之为客观实在的东西，归根结底对大多数思维者是共同的，而且对所有思维者也应该是共同的；我们将看到，这种共同的部分只能是数学定律所表示的和谐而已。

正是这种和谐，才是唯一的客观实在，才是我们所能得到的唯一真理。

”[⑩]如庞加莱所说，数学的研究对象有可能超越个体而获得更为普遍的意义，也即成为一种“文化实在”。

正如著名数学家波莱尔（A.Borel）所指出的：

“凡属文明或文化上的所有事物，我们往往假定了它们的存在，因为它们是我们和别人共有的东西，我们可以就它们互相交流思想。

有些东西，只要我们相信在别人的头脑里和在我们的头脑里都是以同样的形式存在的，我们可以一起来考虑和讨论，那么它就成为客观事物（而不是‘主观’事物）了。

”[11]数学研究的那些抽象的对象是不存在的，所有符号、法则等抽象的东西不过是“数学家共同体”共同思维着的一种文化实在，一个新的数学知识在真理层次上的逻辑合理性、模式真理性和现实真理性，需要得到数学家共同体的一致认同才能成为一定限度内的“经验或拟经验的真理”。

二、数学之善善是人类社会中所称颂、尊敬、赞成、欲求、乐于接受的一种内在价值或固有价值，也是一种理念、信念或行为，是对个人和群体的物质生活和精神生活有趣的或有益的东西，是有助于个体生命全面发展和人类社会趋向完美的东西；善是意志的理想，是令人神往的，是值得人终生追求的；善是本然的、自在的，它因为其自身的缘故本身就是目的，而不是手段；善分为形而上之善与形而下之善：

前者是先验的或超验的，但是可以通过直觉和理性把握；后者是由前者派生的或统摄的，可以通过经验加以证明。

[12]那么，人为什么必须向善？

中国古代的先哲孟子说这是“人生而有之的天性——人性本善”，根本无需论证。

古希腊先哲从苏格拉底开始他就相信，在事实世界的后面，在事物之中，存在着一个我们可以发现的秩序。

这使得他在哲学中引入了一种考察宇宙万物的方法，即对事物的一种目的论的概念——他认为每个事物都有一个功能或目标，都朝向善。

[13]苏格拉底的名言是“最大的善是知识，而最大的恶是无知。

”他开启的是一条伦理学的路子，跟中国传统哲学倒是很相像。

但他之后西方哲学走的不再是伦理学的路子，而是理性主义的本体论路子，这便是自柏拉图以降的欧洲大陆理性主义传统。

柏拉图在《理想国》中提出哲学王将面临着最大的学习就是对于“善”理念的学习，善理念是最大的知识。

但他并没有给出明确的回答，而是借助苏格拉底之口说明了把握善理念的难度。

[14]亚里士多德则说，要发现一个人应该朝向的善，我们就必须发现人类本性的各种功能。

一个善的人就是这样的一个人——他实现了他作为一个人的功能。

一个行善于一时一地，并不成其为一个善人。

善人必须终其一生都是善的。

人类的终极目的是追求幸福，幸福就是善的代名词，“幸福……就是灵魂按照美德或德性活动。

”[15]西方的善理念发展到康德那里，他认为至善是“绝对命令”使然，无需解释。

正如汤因比指出的：

“因为我是人，我具有人的意识……作为人的良心，在命令我要行善而不作恶。

”这在在他看来也是无需论证和解释的。

运用人类的理性在行善这样的问题上进行论证，往往会陷入窘境，因为同样也可以论证人为何会行恶。

就像中世纪神学家用数学论证上帝的存在一样，也可以证明其不存在。

总之如歌德所言：

“尽善尽美是上天的尺度，而要达到尽善尽美的这种愿望则是人类的尺度。

”科学家们一直在思考科学知识本身是否是善的呢？

科学家追求科学知识的活动是否是善的呢？

默顿认为“基础的科学知识是一种自足的善。

”莫尔认为“真正的知识是善的和美的。

”[16]但科学史研究已然表明，作为知识体系的科学或科学知识基本上是价值中性的，也就是说，它在道德上和评价上是中性的。

因此，就知识本身而言，无所谓善或恶。

这就像老子所说的“天地不仁，以万物为刍狗；圣人不仁，以百姓为刍狗”的现代诠释一样———自然及其规律无所谓善恶，关于自然及其规律真相的表述即科学知识亦无所谓善恶。

顺理成章的是，科学家力图发现这些规律也无所谓善恶。

但作为一个整体的科学知识，就其能够愉悦创造者（科学家）的心灵而言，就其能够满足大众心智的欲求（就像人的肠胃的饥渴需要用食物填充一样，人的心智的空虚则需要用知识填补）而言，就其直接的精神价值或精神功能而言，应该说是善的，有益于社会进步和人的自我完善的。

正如斯诺所指出：

“科学活动既美妙又真实。

我无法加以证明，但是我深信不疑，因为科学家无法离开自己的知识，他们也不想回避自己本性向善。

”[17]当然，科学知识转化而成的技术应用则有善恶之分。

也就是说，科学在形而上之善或纯粹善或目的善的意义上，是善；在形而下之善或实践善或手段善的意义上，需要针对具体问题具体分析。

至于作为研究活动的科学和作为社会建制的科学则包含多一些的价值，它必须在社会的法律框架和人类的道德规范之内运行，否则就会有意或无意地做出非善之举来，从而有可能贻害于社会和人类———当然，以此为理由为科学设置禁区，不仅于事无补，而且会损害人类的长远利益。

不过，作为科学主体的科学家，应该对自己的社会责任和道德责任有清醒的认识，按照科学伦理的规范行事，始终把人类的福祉放在第一位。

这样一来，科学也就会在总体上是善的。

[18]“善”作为对外部现实性的要求，通常表现为一定的合理性。

所谓数学的善，通常指数学的研究成果能广泛的影响和推动人类文明的进步，推动和影响自然科学、社会科学和人文学科的发展。

数学之善、数学对于人类文明的特殊意义正如M·克莱因指出的，“讨论这种人类理性的成就，在一定程度上能增强我们对文明的信心，这种文明在今天面临着就毁灭的危险，燃眉之急可能是政治上和经济上的。

在这些领域中，至今还没有充分的证据表明人类的力量能克服自身的困难，进而建设一个合理的世界。

通过研究人类最伟大和最富于理性的艺术——数学，则使得我们坚信，人类的力量足以解决自身的问题，而且到现在为止人类所能利用的最成功的方法是能够找到。

”[19]纵观数学发展史，数学的真理性和经验性发展符合人类普遍的实践要求和现实性。

数学广泛的应用性表明数学是有益于人类的实践活动，善是数学的价值和终极目标。

著名数学家怀特海从数学的模式性论述了数学的善的意义。

数学作为一种模式化的科学，是模式真理的抽象表达形式，数学模式的普适性正是数学善的价值体现。

怀特海指出，模式具有重要性的见解和文明一样古老……社会组织的结合力也依附于行动模式的保持；文明的提高也侥幸地依附于这些行动模式的变更。

数学的本质特征就是，在从模式化的个性作抽象的过程中对模式进行研究。

他的主要目的在于阐明数学对于探求“理想”的意义，也即数学与善的联系，因此，他从数学成长发展的具体考察中，从有限（有限的识别力、有限的知识）与无限（无限的宇宙）的关联中，历史地、唯物辩证地着重论述了在数学活动、数学知识与现实背景，也即理想与经验之间所存在的相互制约关系，揭示了人类知识的局限性和片面性。

怀特海指出，认识和知识都是一种不断成长、发展着的、永不完结的过程，理想是现实经验的终极，现实经验要向理想发展。

怀特海用“模式”这个名词架起了有限与无限、知识与宇宙、经验与理想、数学与善之间的桥梁。

在他看来，理性不能认识一切，但它可以通过抽象思维的产物——“模式”这种有限的东西认识无限。

所谓善，乃是一种理想的东西，具有无限的性质，数学正是通过有限的模式而实现善的理想的；所谓善，既是指模式研究在认识论上的积极意义，特别是指这种研究促进了人类对整个宇宙的认识。

[20]所以M·克莱因才说“数学是一种理想，尽管我们也许永远不会达到”，但它能让我们认识到该选择什么方向才能获取真理、臻于至善。

三、数学之美柏拉图的《大希庇阿斯篇》中苏格拉底和希庇阿斯两人之间争论“美是什么”的问题开启了西方美学研究的历史，但“当人们依照柏拉图的思路去寻找真正的美时，却找不到美！

《大希庇阿斯篇》暴露了西方文化建立美学时就预含的悖论”。

[21]《大希庇阿斯篇》是古希腊哲学发展到柏拉图时代，对“什么是美”问题的第一次专门性讨论，借由苏格拉底的辩证法，柏拉图对什么是美作了清晰的提问和辩驳：

从美本身去把握美才是真正的美。

《大希庇阿斯篇》与柏拉图整个哲学思想，与形而上学和美学都有着奠基性的关联，从此美的问题成为永恒的司芬克斯之谜。

西方古典美学肇始于古希腊哲学，而古希腊的哲学则与古希腊科学（自然科学）融为一体，古希腊哲学是作为“物理学之后”的“形而上学”。

如中国古言“形而上者谓之道，形而下者谓之器”所形容，物理学（自然科学）是关于“器”的学问，“物理学之后”（哲学）则是对于“道”的思考。

古希腊美学要回答的，是关于“美”这个课题的最根本的问题，即美的本质和美的规律（道）。

和西方古典美学一样，中国古典美学一开始也含于哲学，而且也是对于“道”的思考。

不同之处在于，古希腊哲学源自科学（自然科学），是“物理学之后”；中国先秦哲学则源自社会政治学，是“伦理学之后”。

汤一介先生认为中国传统中的“真、善、美”观点集中体现在“天人合一”、“知行合一”和“情景合一”三个命题之中。

[22]比较中西古典美学我们可以发现，西方数学形成的信仰式的理性精神在其美学中发挥了重要的作用。

数的和谐、形式逻辑的演绎，形成一种有确定性、逻辑性、结构性的研究目标和方式都体现在西方美学研究之中。

这其中重要的原因是西方美学从属于西方哲学，而西方哲学恰恰处处表现出数学的理性精神。

相比之下，中国古典美学中没有西方文化传统中那种数学理性精神的内核。

中国传统文化的内核是群体意识，它通过人与人的关系来实现人与物的关系。

于是要用“礼乐”调整人与人之间的关系。

“礼是人与人之间的行为规范，乐是人与人之间的情感交流。

礼即伦理，它同时也是善；乐即艺术，它同时也是美。

在礼乐制度和礼乐文化的创立者看来。

不受道德规范的美非‘真美’，没有情感体验的善是‘伪善’。

故无善则不美，无美则不善。

美善既然合一。

则伦理学就是艺术学，艺术学就是伦理学，它们也都是美学。

”[23]科学史上，科学真理的“美学标准”甚至是“数学美学标准”从毕达哥拉斯的天体音乐到爱因斯坦的广义相对论都有体现。

科学理论发现及其真理性判断中审美标准的作用已引发许多科学家的有价值的研究。

科学理论应该在形式上简单、一致，内容上和谐、自洽。

这不仅仅是出自科学家本身的审美要求，更重要的是因为其符合研究对象总的特点和基本规律。

作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术的所共有的特点，即数学在内容结构和方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。

一般来说，简洁性、统一性、对称性、整齐性、奇异性、思辨性等是数学美的主要特征。

[24]卡尔丁通过对科学美与数学美的比较，阐述了科学美的特征。

他指出，科学美是一种和谐、统一中的多样性，这刻画了它的特征，并且决定了它的美的变体。

它与纯数学的美不同。

数学的统一仅仅由于逻辑的严格性：

它是命题的统一，命题可靠地推导而不管它们与事实的一致。

但是科学的统一不只是由于理论解释的逻辑严格性；它也包括与逻辑系统统一的实验观察，从该系统演绎出的东西与观察一致。

科学中的美的作品是完全的和完整的工作，其中事实都做某些概括或是理论的例证。

科学中的统一不像数学中的统一那样完美地实现，但是就它包含进一步的和谐类型而言，它是更丰富的统一，即一组逻辑上相关的命题和一组独立的观察材料之间的和谐。

数学美与科学美的差异是数学美不需要与实在的新接触，不需要与观察和实验资料和谐一致。

[25]由于西方文化中数学与哲学的关系，哲学与美学的关系，数学美学得到了高度的重视。

罗素认为“数学不仅具有真理，而且具有至高无上的美——冷峻的和简朴的美，像雕塑之美一样。

”哈代认为美是首要的标准，不美的数学在世界上是找不到永久的容身之地的；“现在也许难以找到一个受过教育的人对数学美的魅力全然无动于衷。

”[26]冯·诺依曼认为“数学家无论是选择题材还是判断成功的标准主要都是美学的”，“数学家成功与否和他的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的，不受（或近乎不受）经验的影响”。

[27]法国著名数学家阿达玛指出，“我们所必须遵循的准则就是科学的审美感……除了美感以外，就看不出任何东西能够帮助我们去作预见了。

”[28]彭加莱认为“数学的美感、数和形的和谐感、几何的雅致感，这是一切真正的数学家都知道的审美感……正是这种特殊的审美感，起着我已经说过的微妙的筛选作用。

……缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创作者。

”[29]麦克斯韦指出，自己总是把数学看作是获得事物的最佳形态和维度的方法；这不仅是指最实用的和最经济的，更主要是指最和谐的和最美的。

狄拉克认为“理论物理学家把数学美的要求当做信仰的行为。

它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。

例如，相对论得到如此普遍的承认，其主要原因就在于它的数学美。

”[30]“这种对美的欣赏支配着我们的全部工作。

这是我们的一种信条，相信描述自然界基本规律的方程必定有显著的数学美，这对我们就是一种宗教。

奉行这种宗教是很有益的，可以把它看成是我们许多成功的基础。

”[31]从古希腊毕达哥拉斯的万物皆数，直到后来的奥卡姆剃刀，简单性尤其是数学上的简单性一直被作为科学臻美的追求，哥白尼就是在追求理论上的数学简单性才建立了日心说体系。

开普勒在阐述自己支持日心说的原因时指出，“我从灵魂的最深处证明它是真实的，我以难于相信的欢乐心情去欣赏它的美”，而这就是因为“哥白尼的体系具有更大的数学简单性与和谐的缘故。

”[32]牛顿在其《自然哲学的数学原理》中指出：

“自然不做徒劳的事，解释多了白费口舌，言简意赅才见真谛；因为自然喜欢简单性，不会响应于多余原因的侈谈。

”[33]爱因斯坦也是“到数学的简单性中去寻求真理的唯一可靠源泉”，才建立起他的相对论体系。

海森堡指出，“我相信自然规律的简单性具有一种客观的特征，它并非只是思维经济的结果。

如果自然界把我们引向极其简单而美丽的数学形式——我所说的形式是指假设、公理等等的贯彻一致的体系——引向前人所未见过的形式，我们就不得不认为这些形式是‘真’的，它们是显示出自然界的真正特征。

……我又坦白承认，我被自然界向我们显示的数学体系的简单性和美强烈地吸引住了。

你一定也有这样的感觉：

自然界突然在我们的面前展开这些关系的几乎令人震惊的简单性和完整性。

”[34]爱因斯坦对海森伯说：

“你会反对我由谈论简单性和美而引进了真理的美学标准，我坦自承认，我被自然界向我们显示的数学体系的简单性和美强烈地吸引住了。

”[35]对于数学简单美的追求也是数学家自身研究所努力的方向，正如数学家外尔说过的：

“在自然定律中，正如我后来将要更精确地确立的，简单性是本质的。

如果我们不添加在数学上受简单的定律支配的陈述，那么自然受严格定律支配的断言就缺乏一切内容。

这件事类似于化学中的倍比定律：

除非我们添加组合以相对原子量的小整数倍发生，否则它就丧失了一切内容。

莱布尼茨在他的《论方法》中已经指出，当容许任意的复杂性时，定律的概念就变成空洞的。

因此，简单性在自然科学中变成工作原则。

”[36]数学因其抽象形式简单却应用广泛而臻于大美！

四、数学之慧真、善、美作为人类的终极价值追求，三者的关系非常密切。

成中英指出：

“所谓真乃是知识上的善，美乃是知觉上的善；而善则为道德价值的真，美则为表象与知觉上的真；真可以说是知性的美，而善可以说是行为的美。

”[37]然而，必须承认“科学还未能对善（道德）、真、美、个人义务或自知作出解释……也就是说人之所以为人的核心不在科学研究的范围内。

”[38]因为与人的问题有关的科学伦理学和科学哲学不在科学本身的范畴内，而属于哲学领域。

脑科学家的研究指出，生物进化为有自我意识的存在提供了人脑这一物质基础而超越了它自己，而这个有自我意识的存在的天性是在探求爱、真、美的过程中寻求希望和意义。

[39]人生的意义是什么呢？

这又是个斯芬克斯之谜一样的谜团。

但一定与人生幸福这一终极追求有关，追求幸福的过程一定充满着智慧！

知识分子的首要任务虽然是讲述真理，但在求真、辨真、讲真的过程中一定伴随着至善、臻美和走向智慧的信念和精神，为了实现真、善、美的统一我们应该从传统的“知识哲学”观走向“智慧哲学”观，应该反省并认识到“知识哲学不能公平地对待研究的固有的理智价值，以至于它的伦理一致的追求的探究遮掩和暗中破坏了科学和学术的潜在的智力价值。

为了充分发展和使内在与科学和学术中的各个方面的理智财富变得可以达到，必不可少的是，要把智慧哲学引入实践，即以我们共有的努力观看、理解在世界和我们自己中的值得爱的东西。

”[40]何谓智慧？

仁者见仁智者见智。

亚里士多德认为“智慧由普遍认识产生，不从个别认识得来。

”“智慧就是有关某些原理与原因的知识。

”洛克指出，我对于智慧的解释和一般流行的解释是一样的，它使得一个人能干并有远见，能很好地处理他的事务，并对事务专心致志。

罗素认为“智慧主要是指人的求知好奇心和求知的能力”。

怀特海主张“智慧是掌握知识的方式。

它涉及知识的处理，确定有关问题时知识的选择，以及运用知识使我们的直觉经验更有价值。

这种对知识的掌握便是智慧，是可以获得的最本质的自由。

”智慧是人的理性智慧、价值智慧和实践智慧三者之间的协调统一。

理性智慧是智慧发生与发展的思想基础，没有理性的发展便没有智慧的成长。

价值智慧是智慧前进的方向，如果没有良好的价值，智慧就有可能迷失，甚至走向邪恶。

实践智慧是智慧发生与发展的现实基础。

实践使智慧走进生活，走进社会，走进人生。

[41]智慧是由智力、知识、方法、技巧、意向、情感、道德观念与美感等要素构成的复杂系统。

智慧育着网络式的复杂结构。

在其结构中交织着先天素质与后天努力、生理机能与心理机制、直观与思维、意向与认识、情感与认识、道德与美感、智力与非智力、显意识与潜意识等等的众多要素。

[42]长期以来，人们过多的关注科学和数学对于人类文明发展的“形而下”（器物层次）的功能，而往往忽视了其“形而上”（精神层面）的作用。

催生了泛滥的功利主义、技术理性的同时，忽略其作为一种工具、思想、方法背后所蕴含的精神气质——智慧。

正如布朗曾指出的，科学是智慧而不是知识，科学最有价值的“用处”就是获得智慧，这种智慧不仅是人们安身立命的根本，而且人种的“永存”也取决于智慧的获得。

[43]很长时间以来，我们的数学教育远离了数学文化本身的博大精深和理性智慧，越来越失却了数学的文化意蕴和精神价值，人们的数学观渐趋工具主义，数学成为思想、方法和技术的代名词，我们目睹着种种数学教育教学行为误入极端，数学教育深陷功利主义泥潭。

因此，我们要积极探索将以往的“数学知识教育”向“数学文化教育”以及“数学智慧教育”的转变，使我们的数学教育实现人文化精神的复兴，数学理性精神与人文精神的融合才能实现数学真、善、美三种品质的有效统一。

[44]智慧除了知识的积累、技能的训练、思想的熏陶，更需经验的积累。

或如哲学家指出的，需要精神的磨炼（SpiritualExercise），没有一种内在的体验，没有精神的磨炼，想要发展智慧是很困难的。

一般来讲，人们对事物的感知是一种感性，必须把感性提高到知性，这样才有了认知；然后要上升到理性，才能够发挥知识的光芒，这也是康德一直提倡的。

毫无疑问，智慧的发展是要通过这几个阶段的。

但是，还应有一个阶段，即所谓的悟性，没有悟性，不会有智慧。

悟性中一定有个人的感受，一定有精神的磨炼，一定有存在的价值，同时也一定蕴含着严格的理性。

[45]建立在理性基础上的悟性更容易让人生成智慧。

如果我们把西方文化传统用“理性”来概括的话，那么中国文化传统无疑用“悟性”概括更为恰当，这也意味着智慧的教育养成需我们要融会贯通西方文化中的理性和中国文化中的悟性。

纵观人类历史发展长河，数学的思维、方法和理性精神在构