勾股定理的应用.docx

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勾股定理的应用

“勾股定理的应用”

　　篇一：

勾股定理的应用举例练习题

　　勾股定理的应用举例练习题

　　1、如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（）

　　A．6B．3C．D．

　　2、如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C1点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为（）

　　A．B．C．

　　D．

　　3、小明家与学校的距离仅有500m，但需要拐一个直角弯才能到达，已知拐弯处到学校有400m，则家门口到拐弯处有（）

　　A．300mB．350mC．400mD．450m

　　4、小颖家在学校正东600米，小丽家在学校正北800米，小颖和小丽家的直线距离为（）

　　A．600米B．800米C．1000米D．不能确定

　　5、如图一个圆桶儿，底面直径为12cm，高为8cm，则桶内能容下的最长的木棒为（）

　　A．8cmB．10cmC．4cmD．20cm

　　6、如图，现要把阶梯形楼梯铺上地毯，所需地毯长度为（）

　　A．米B．4米C．8米D．（4+）米

　　7、如图，一场大风后，一棵与地面垂直的树在离地面1m处的A点折断，树尖B点触地，经测量BC=3m，那么树高是（）

　　+3）mA．4mB．

　　mC．（+1）mD．（

　　8、

　　放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）

　　A．600米B．800米C．1000米D．不能确定

　　9、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

　　A．6B．5C．4D．3

　　10、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长60cm，则荷花处水深OA为（）

　　A．120cmB．60cmC．60cmD．20cm

　　11、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（）

　　A．0.6米B．0.7米C．0.8米D．0.9米

　　12、小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）

　　A．2mB．2.5mC．2.25mD．3m

　　13、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端向右滑动的距离d米，那么d满足（）

　　A．d=1B．d＜1C．1＜d＜1.1D．1.1＜d＜1.2

　　14、一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分，又沿南北马路向南走了19.2分到家，则他的家离公司距离为（）米．

　　A．100B．500C．1240D．1000

　　15、如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？

（）

　　A．35海里B．50海里C．60海里D．40海里

　　16、如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为（）

　　A．11B．15C．10D．22

　　17、如图，花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

　　A．6步B．5步C．4步D．2步

　　18、一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是（）

　　A．3尺B．4尺C．5尺D．6尺

　　19、如图?

?

在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（）

　　A．13mB．17mC．18mD．25m

　　20、如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面距离为5米，现将梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墙根C距离为3m，同时梯子顶端B下降至B′，那么BB′（）

　　A．等于1米B．小于1米C．大于1米D．以上都不对21、连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部端5米，则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（）

　　A．3?

?

B．4米C．12米D．13米

　　22、如图，长方体的长、宽、高分别为3、4、5，则图中在表面上A到B的最短距离为．

　　23、如图，有一圆椎形粮堆高为2，母线AB=4，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆椎表面去偷袭老鼠，求小猫所经过的最短路程是．

　　24、有一立方体礼盒如图所示，在底部A处有壁虎，C′处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥．若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行厘米．（用根号表示）

　　25、如图：

一个圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为cm．

　　26、如图，现有一长方体的实心木块，若有一绳子从A出发沿长方体表面到达C′处，若长方体的长AB=4米，宽BC=3米，高BB′=2米，则绳子最短是米．

　　27、如图是一块砖，其中AB=20cm，AD=10cm，AA′=6cm，E为B′C′的中点，

　　篇二：

勾股定理的应用（含详细解答）

　　勾股定理的应用（含详细解答）

　　一．解答题（共23小题）

　　1．有一块四边形地ABCD（如图），∠B=90°，AB=4m，BC=3m，CD=12m，DA=13m，求该四边形地ABCD的面积？

　　2．有一个传感器控制的灯，安装在门上方离地高4.5米的墙上，人只要移至5米以内（包括5米），灯就回自动打开，一个高1.5米的学生要到离门多远的地方，灯刚好打开？

　　3．学过《勾股定理》后，八年级某班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1m（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为8m，（如图2）．于是，他们很快算出了旗杆的高度，请你也来试一试．

　　4．如图，已知：

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D、E两点（D、E不与B、A重合）．

（1）试说明：

MD=ME；

（2）求四边形MDCE的面积．

　　5．暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？

　　6．（2014?

凉山州）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为．

　　7．（2013?

盐城模拟）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B（B为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？

如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？

　　8．如图是一个桌子，它的长为1.5m，宽为1m，高为0.75m，桌子的中央点B处有一块糖，在桌脚A处有一只小蚂蚁要找到这块糖，则它所行走的路线最短是多少？

　　9．如图，圆柱的高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离是多少cm？

（π取3）．

　　?

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　　10．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？

　　11．如图，是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点．则此蚂蚁爬行的最短距离为多少？

　　12．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？

已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．

　　13．如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B到点C的距离是5厘米，自A至B在长方体表面的连线距离最短是多少？

　　14．如图所示，在一圆柱体的下底边沿A处，不走直线而绕着圆柱侧面，沿一条螺旋形路线绕到B处的最短路线是什么？

　　?

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　　15．（2014?

梅州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE，则：

（1）∠ADE=_________°；

（2）AE_________EC；（填“=”“＞”或“＜”）

　　（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=_________．

　　16．（2014?

顺义区一模）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边．当a+b=c时，△ABC是直角三角形；

　　222222当a+b≠c时，利用代数式a+b和c的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．

（1）请你通过画图探究并判断：

当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为_________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为_________三角形．

　　222222

（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：

“当a+b＞c时，△ABC为锐角三角形；当a+b＜c时，△ABC为

　　钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：

　　当a=2，b=4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？

　　17．（2009?

自贡）如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中点，求证：

CE⊥BE．

　　222

　　18．若△ABC三边长a，b，c，满足|a﹣41|+|b﹣9|+|c﹣40|=0，试说明△ABC是直角三角形．

　　19．如图，在四边形ABCD中，AB=12cm，BC=3cm，CD=4cm，∠C=90°．

（1）求BD的长；

（2）当AD为多少时，∠ABD=90°？

　　20．已知：

a、b、c为△ABC的三边，且满足ac﹣bc=a﹣b，试判断△ABC的形状．

　　222244解：

∵ac﹣bc=a﹣b，①

　　2222222∴c（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）．②

　　222∴c=a+b．③

　　∴△ABC是直角三角形．

　　问：

（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？

请写出该步的代号：

_________；

（2）错误的原因为_________；

　　?

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　　（3）本题正确的解题过程：

　　21．已知：

如图，有一块四边形土地ABCD，∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m，AB=26m，BC=24m，求这块土地的面积S．

　　22．如图、AB⊥CB于B，AD=24，AB=20，BC=15，CD=7，求四边形ABCD的面积．

　　23．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识

（1）求△ABC的面积．

（2）判断△ABC是什么形状？

并说明理由．

　　?

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　　篇三：

勾股定理应用难题

　　勾股定理的应用

　　常见题型：

求值（求边长或面积、线段间的平方关系、折叠后求值）；判断垂直；几何体表面上两点间距离。

　　一、求值问题

　　●例题：

　　1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为（）

　　A.4B.6C.16D.55

　　2.如图，直角三角形ABC,∠ACB=90°,AC=BC=6，DE⊥AB，DE:

DB=1:

5，则AE=_______。

　　AB

　　D

　　E

　　图1图

　　图3CBCPAM

　　2223.如图，如图，直角三角形ABC,∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB与P，求证：

BP=AP+BC。

　　4.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=25/8π，S2=2π，则S3=_______。

　　图4图5图6图7

　　5.如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD的面积。

　　6.如图，△BDE是将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后得到的，若AB＝4，BC＝8，则重叠部分的面积为_______。

　　7.如图，正方形ABCD中，AB边上一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP最短，则EP+BP的最短长度为_______。

　　8.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米。

（1）此辆卡车能否通过此桥洞？

说明你的理由。

（2）为了适应车流量增加的需要，想把桥洞改为双行道，

　　并要使宽1.2米，高2.8米的卡车能安全通过，那

　　么此桥洞的宽至少应增加到多少米？

　　●知识总结与拓展：

　　题目1题型总结：

　　三直角模型，全等必出现

　　题目2拓展知识：

　　等腰直角三角形三边比，直角边：

直角边：

斜边=1:

1：

√2（根号）

　　题目3题型总结：

　　该类题型是在合适的直角三角形中用勾股定理，进行边的等量关系代换，导出题目所要结果。

加强练习：

　　222如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，

（1）求PC?

PB+PA的值；

（2）求证AB－AP=PB×PC.

　　PC

　　题目4题型总结：

　　以直角三角形的三边1）为直径向外作半圆；2）为斜边向外作等腰直角三角形；3）为边作等边三角形；

　　4）向外作正方形，则有以两直角边所做图形面积的和等于以斜边所做图形的面积。

　　题目5拓展知识：

　　有一个角是30°的直角三角形三边比，30°所对直角边：

斜边：

另一边直角边=1:

2：

√3（根号）

　　题目6题型总结：

　　常见的折叠图形有以下四种，折叠后求边长的问题，关键在于找到折叠后的相等条件（边和角）。

　　然后在合适的直角三角形中，利用勾股定理求值。

　　总结：

1）折叠后对应点连线所得线段被对称轴垂直平分；

　　2）折叠后与折叠前对应的两个三角形全等。