中考二次函数分类讨论存在性问题平行四边形.docx
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中考二次函数分类讨论存在性问题平行四边形
1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B.点C的坐标是(﹣1,0),抛物线y=ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D.点P为x轴上一点,过点P作x轴的垂线交直线AB于点M,交抛物线于点Q,连结DQ,设点P的横坐标为m(m≠0).
(1)求点A的坐标.
(2)求抛物线的表达式.
(3)当以B、D、Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求m的值.
【分析】
(1)令y=﹣x+2=0,解得:
x=4,即可求解;
(2)把点A、C坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(3)以B、D、Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,利用|MQ|=BD即可求解.
【解答】解:
(1)令y=﹣x+2=0,解得:
x=4,y=0,则x=2,
即:
点A坐标为:
(4,0),
B点坐标为:
(0,2);
(2)把点A、C坐标代入二次函数表达式,
解得:
b=﹣,c=﹣2,
故:
二次函数表达式为:
y=﹣x2﹣x﹣2;
(3)设点M(m,﹣m+2),则Q(m,﹣m2﹣m﹣2),
以B、D、Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,
则:
|MQ|=±(﹣m2﹣m﹣2)=BD=4,
解得:
m=8,m=0(舍去);
∴m=1,
故:
m=8或1或1﹣.
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.
2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,﹣1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),点P是抛物线上的一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥y轴,交AC于点D.
(1)求该抛物线的函数关系式及A、B两点的坐标;
(2)求点P在运动的过程中,线段PD的最大值;
(3)若点P与点Q重合,点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A,P,E,F为顶点的平行四边形?
若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)由抛物线的顶点坐标,可得出抛物线的顶点式,代入点C的坐标可求出a的值,进而可得出抛物线的函数关系式,再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B的坐标;
(2)由点A,C的坐标,利用待定系数法可求出直线AC的函数关系式,设点P的坐标为(x,x2﹣4x+3)(0≤x<3),则点D的坐标为(x,﹣x+3),进而可得出PD=﹣x2+3x,再利用二次函数的性质即可解决最值问题;
(3)分AP为边及AP为对角线两种情况考虑:
①以AP为边构造平行四边形,平移直线AP交x轴于点E,交抛物线于点F,由点A的坐标可设点F的坐标为(x,1),利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值,进而可得出点F的坐标;②以AP为对角线进行构造平行四边形,由点A,E的纵坐标为0,可得出点F的纵坐标为﹣1,此时点P,F重合,进而可得出不存在这种情况,舍去.综上,此题得解.
【解答】解:
(1)∵抛物线的顶点为Q(2,﹣1),
∴抛物线的函数关系式为y=a(x﹣2)2﹣1,
将C(0,3)代入y=a(x﹣2)2﹣1,得:
3=a(0﹣2)2﹣1,
解得:
a=1,
∴抛物线的函数关系式为y=(x﹣2)2﹣1,即y=x2﹣4x+3.
当y=0时,有x2﹣4x+3=0,即(x﹣1)(x﹣3)=0,
解得:
x1=1,x2=3,
又∵抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),
∴点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(1,0).
(2)设直线AC的函数关系式为y=mx+n(m≠0),
将A(3,0),C(0,3)代入y=mx+n,得:
,
解得:
,
∴直线AC的函数关系式为y=﹣x+3.
设点P的坐标为(x,x2﹣4x+3)(0≤x<3),则点D的坐标为(x,﹣x+3),
∴PD=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+,
∵﹣1<0,
∴当x=时,PD取得最大值,最大值为.
(3)分两种情况考虑:
①以AP为边构造平行四边形,平移直线AP交x轴于点E,交抛物线于点F,
∵点P的坐标为(2,﹣1),
∴设点F的坐标为(x,1),
∴x2﹣4x+3=1,解得:
x1=2﹣,x2=2+,
∴点F的坐标为(2﹣,1)和(2+,1);
②以AP为对角线进行构造平行四边形,
∵点A,E的纵坐标为0,
∴点F的纵坐标为﹣1,此时点P,F重合,
∴不存在这种情况,舍去.
综上所述,符合条件的F点有两个,即(2﹣,1)和(2+,1).
【点评】本题考查了二次函数的三种形式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的性质,解题的关键是:
(1)根据点C的坐标,利用待定系数法求出抛物线的函数关系式;
(2)由点P,D的坐标,找出PD=﹣x2+3x;(3)分AP为边及AP为对角线两种情况找出点F的坐标.
3.如图,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴是直线x=1,与x轴相交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点F是第四象限内抛物线上一点,过点F作FD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当OD=4FE时,求四边形FOBE的面积;
(3)在
(2)的条件下,若点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点B,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)根据待定系数法求得即可;
(2)求得B、C点的坐标,即可求得直线BC的解析式,设点F的坐标为(x,﹣x2+x+2),则E(x,﹣x+2),D(x,0),根据OD=4FE,列出关于x的方程,解方程即可求得D、F、E的坐标,然后根据S四边形FOBE=S△ODF﹣S△BDE求得即可;
(3)设点N的坐标为(1,n),分三种情况讨论求得即可.
【解答】解:
(1)∵点A的坐标为(﹣2,0),对称轴是直线x=1,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为:
y=﹣x2+x+2;
(2)令y=0,得﹣x2+x+2=0,
解得,x1=﹣2,x2=4,
∴B点的坐标为(4,0),
令x=0,则y=2,
∴C点的坐标为(0,2),
可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2,
设点F的坐标为(x,﹣x2+x+2),则E(x,﹣x+2),D(x,0),
∵OD=4FE,
∴x=4[﹣+2﹣(﹣x2+x+2)],
解得x1=5,x2=0(舍去),
∴D(5,0),F(5,﹣),E(5,﹣),
∴S四边形FOBE=S△ODF﹣S△BDE=×﹣×=;
(3)设点N的坐标为(1,n),
①当NB为对角线时,点M的坐标为(0,n+),
代入y=﹣x2+x+2得,n+=2,解得n=,
此时点M的坐标为(0,2);
②当NF为对角线时,点M的坐标为(0,n﹣),
代入y=﹣x2+x+2得,n﹣=﹣1+1+2,解得n=,
此时点M的坐标为(2,2);
③当BF为对角线时,点M的坐标为(0,﹣n﹣),
代入y=﹣x2+x+2得,﹣n﹣=﹣16+4+2,解得n=,
此时点M的坐标为(8,﹣10).
【点评】本题考查了二次函数的综合题:
熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、会利用待定系数法求函数解析式,会解一元二次方程;会利用分类讨论的思想解决数学问题.
4.抛物线y=ax2+bx+5的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B(点E在点B的左侧),点P为拋物线上一点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,当点P在AC上方时,作PD平行于y轴交AB于点D,求使四边形APCD的面积最大时点P的坐标;
(3)设N为x轴上一点,当以A、E、N、P为顶点,AE为一边的四边形是平行四边形时,求点P的坐标.
【分析】
(1)根据顶点式设出抛物线解析式,用待定系数法求解即可;
(2)先求出直线AB解析式,设出点P坐标(x,﹣x2+4x+5),建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x,根据二次函数求出极值;
(3)分三种情况:
①当P在x轴上方时,以AE为边时,如图2,根据P的纵坐标为5列方程可得P的坐标;
②当P在x轴的下方时,以AE为边,如图3,同理可得P的纵坐标为﹣5,列方程可得P的坐标;
③以AE为对角线时,如图4,同理可知:
P(4,5).
【解答】解:
(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+9,
∵抛物线与y轴交于点A(0,5),
∴4a+9=5,
∴a=﹣1,
y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5,
(2)如图1,当y=0时,﹣x2+4x+5=0,
∴x1=﹣1,x2=5,
∴E(﹣1,0),B(5,0),
设直线AB的解析式为y=mx+n,
∵A(0,5),B(5,0),
∴m=﹣1,n=5,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5;
设P(x,﹣x2+4x+5),
∵点P在AC上方,
∴0<x<4,
∴D(x,﹣x+5),
∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x,
∵AC=4,
∴S四边形APCD=S△APD+S△PCD=PD•AH+=PD•AC=×4(﹣x2+5x)=﹣2x2+10x=﹣2(x﹣)2+,
∵﹣2<0
∴当x=时,
即:
使四边形APCD的面积最大时点P的坐标为(,).
(3)分三种情况:
①当P在x轴上方时,以AE为边时,如图2,
∵N在x轴上,四边形AENP是平行四边形,
∴AP∥EN,
∵A(0,5),
∴P的纵坐标为5,
当y=5时,﹣x2+4x+5=5,
解得:
x1=0,x2=4,
∴P(4,5);
②当P在x轴的下方时,以AE为边,如图3,同理可得P的纵坐标为﹣5,
当y=﹣5时,﹣x2+4x+5=﹣5,
解得:
x=2±,
∴P(2+,﹣5)或(2﹣,﹣5);
③以AE为对角线时,如图4,同理可知:
P(4,5);
综上所述,点P的坐标(4,5)或(2+,﹣5)或(2﹣,﹣5).
【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数关系式,函数极值确定方法,平行四边形的性质和判定,解本题的关键是建立函数关系式求极值和建立方程求坐标.
5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交A(﹣1,0),B两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的顶点为点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,当点P运动到点E时,求△PCD的面积;
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在x轴上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,B为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出点M的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)由点A,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,利用配方法可求出顶点E的坐标,由点B,C的坐标,利用待定系数法可求出直线BC的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标,再利用三角形的面积公式即可求出当点P运动到点E时△PCD的面积;
(3)设点M的坐标为(m,0),点N的坐标为(1,n),分四边形CBMN为平行四边形、四边形CMNB为平行四边形及四边形CMBN为平行四边形三种情况,利用平行四边形的性质找出关于m的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:
(1)将A(﹣1,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c,得:
,解得:
,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
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