学年人教版八年级数学下册课后训练正方形 课后练习及详解.docx

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学年人教版八年级数学下册课后训练正方形课后练习及详解

正方形课后练习

主讲教师：

傲德

题一：

下列判断中正确的是（　　）

A．四边相等的四边形是正方形

B．四角相等的四边形是正方形

C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

题二：

正方形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）一定是（　　）

A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形

题三：

如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：

①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=

AD．其中正确的有（　　）

A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④

题四：

如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF．下列四个结论：

①CE=CB；②AE=

OE；③OF=

CG．其中正确的结论只有（　　）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

题五：

如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，B、C、G三点在一条直线上，且正方形ABCD与正方形ECGF的边长分别为2和3，在BG上截取GP=2，连接AP、PF．

（1）观察猜想AP与PF之间的大小关系，并说明理由；

（2）图中是否存在通过旋转、平移、反射等变换能够互相重合的两个三角形？

若存在，请说明变换过程；若不存在，请说明理由；

（3）若把这个图形沿着PA、PF剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积．

题六：

如图，正方形ABCD的对角线AC和

BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F．

题七：

（1）求证：

△AOE≌△BOF；

题八：

（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？

为什么？

题九：

如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F．求证：

BF=CE．

题一十：

如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥D

G于E，CF∥AE交DG于F．求证：

AE=FC+EF．

题一十一：

如图1，四边形ABHC，ADEF都是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G，设BG交AC于点M，求证：

BD⊥CF．

题一十二：

两个边长不定的正方形ABCD与正方形AEFG如图1摆放，将正方形AEFG绕点A逆时

针旋转一定角度．

（1）若点E落在BC边上（如图2），试探究线段CF与AC的位置关系并证明；

（2）若点E落在BC的延长线上时（如图3），

（1）中结论是否仍然成立？

若不成立，请说明理由；若成立，加以证明．

题一十三：

如图所示，四边形ABCD是正方形，M是

AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．

（1）如图1所示，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是_________；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是_________；

③请证明你的上述两个猜想；

（2）如图2所示，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．

题一十四：

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．AE的中点是M．

（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：

FM=MH，FM⊥MH；

（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：

△FMH是等腰直角三角形；

（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？

（不必说明理由）

正方形

课后练习参考答案

题一：

D．

详解：

A错误，四边相等的四边形是菱形；

B错误，四角相等的四边形是矩形；

C错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

D正确，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

故选D．

题二：

C．

详解：

如图，连接AC、BD，交于O，∵正方形ABCD，∴AC=BD，AC⊥BD，

∵E是AD的中点，H是CD的中点，F是AB的中点，G是BC的中点，

∴EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD，EF=

BD，EH=

AC，

∴EF=EH，EF⊥EH，四边形EFGH是平行四边形，

∴平行四边形EFGH是正方形．故选C．

题三：

D．

详解：

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，

∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB=∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF，故①正确；

在Rt△CGD中，H是CD边的中点，∴HG=

CD=

AD，故④正确；

连接AH，同理可得：

AH⊥DF，∵HG=HD=

CD，∴DK=GK，

∴AH垂直平分DG，∴AG=AD，故②正确；

∴∠DAG=2∠DAH，同理：

△ADH≌△DCF，∴∠DAH=∠CDF，

∵GH=DH，∴∠HDG=∠HGD，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，

∴∠CHG=∠DAG，故③正确；故正确的结论有①②③④．故选D．

题四：

D．

详解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC,BD⊥AC，

∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=

∠ABO=22.5°，∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，

在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB；故①正确；

∵OA=OB，AE=BG，∴OE=OG，

∵∠AOB=90°，∴△OEG是等腰直角三角形，∴EG=

OE，

∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，∴△ECG≌△BCG，

∴BG=EG，∴AE=EG=

OE；故②正确；

∵∠AOB=90°，EF=BF，∵BE=CG，∴OF=

BE=

CG．故③正确；

故正确的结论有①②③．故选D．

题五：

见详解．

详解：

（1）猜想PA=PF；

理由：

∵正方形ABCD、正方形ECGF，

∴AB=BC=2，CG=FG=3，∠B=∠G=90°，

∵PG=2，∴BP=2+3-2=3=FG，AB=PG，

∴△ABP≌△PGF，∴PA=PF．

（2）存在，是△ABP和△PGF，

变换过程：

把△ABP先向右平移5个单位，使AB在GF边上，B与G重合，

再绕G点逆时针旋转90度，就可与△PGF重合．

（3）如图，S大正方形=S正方形ABCD+S正方形ECGF=4+9=13．

题六：

见详解．

详解：

（1）证明：

在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，

∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF．

在△AOE和△BOF中，∠OAE=∠OBF，OA=OB，∠AOE=∠BOF，

∴△AOE≌△BOF；

（2）两个正方形重叠部分面积等于

a2，因为△AOE≌△BOF，

所以S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=

S正方形ABCD=

a2．

题七：

见详解．

详解：

在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90°，DA=AB=BC，

∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90°．

又∵∠EAB+∠DAG=90°，∴∠FDA=∠EAB．

在Rt△DAF与Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB，

∴Rt△DAF≌

Rt△ABE．∴AF=BE．

∵AB=BC，∴BF=CE．

题八：

见详解．

详解：

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，

又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，

∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，

∴△AED≌△DFC（AAS），∴AE=DF，ED=FC，

∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF．

题九：

见详解．

详解：

（1）BD=CF成立，

理由是：

∵四边形ABHC和四边形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB和△FAC中，AB=AC，∠DAB=∠FAC，AD=AF，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴BD=CF．

（2）∵△DAB≌△FAC，∴∠FCA=∠DBA，

∵∠CMG=∠BMA，∠CAB=90°，

∴∠CMG+∠FCA=∠DBA+∠BMA=180°-∠CAB=90°，

∴在△CGM中，∠CGM=180°-90°=90°，

∴BD⊥CF．

题一十：

见详解．

详解：

（1）如图2，过E作EM⊥CB于E交AC与M，而AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，∴∠AEM+∠MEF=∠CEF+∠MEF，∴∠AEM=∠CEF，

又∵AC是正方形的对角线，∴∠ACE=45°，∴CE=ME，

∵AE=EF，∴△AEM≌△FEC，∴∠CFE=∠CAE，而∠ANE=∠CNF，

∴∠ACF=∠AEF=90°，即CF⊥AC；

（2）若点E落在BC的延长线上时（如图③），

（1）中结论是否仍然成立

．

过F作FH⊥BC，交BC的延长线于H，∵四边形ABCD、四边形AEFG是正方形，

∴∠AEF=∠B=∠EHF=90°，AE=EF，∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEH=90°，

∴∠BAE=∠FEH，∴△FEH≌△EAB，∴EH=AB，FH=BE，

即EH=AB=BC，FH=BE=BC+CE，

∴FH=EH+CE=CH，即∠FCH=45°，而∠ACB=45°，

∴AC⊥CF．

题一十一：

见详解．

详解：

（1）①DE=EF；②NE=BF；

③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，

∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=

AD，AE=EB=

AB，

∴DN=BE，AN=AE，

∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，

又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，

又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，

又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，

又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，

∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．

（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），

连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．

证明方法同

（1），证△DNE≌△EBF．

题一十二：

见详解．

详解：

（1）证明：

∵四边形

BCGF为正方形，∴BF=BM=MN，∠FBM=90°，

∵四边形CDHN为正方形，∴DM=DH=MN，∠HDM=90°，

∵BF=BM=MN，DM=DH=MN，∴BF=BM=DM=DH，

∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM，∴△FBM≌△HDM，∴FM=MH，

∵∠FMB=∠DMH=45°，∴∠FMH=90°，∴FM⊥HM．

（2）证明：

连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．

∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，

∴MD∥

BC，且MD=

AC=BC=BF；MB∥CD，且MB=

CE=CD=DH，

∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM=∠CDM，

又∵∠FBP=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH，∴△FBM≌△MDH，

∴FM=MH，且∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD．∴∠FMB+∠HMD=180°-∠FBM，

∵BM∥CE，∴∠AMB=∠E，

同理：

∠DME=∠A．∴∠

AMB+∠DME=∠A+∠AMB=∠CBM．

由已知可得：

BM=

CE=AB=BF，∴∠A=∠BMA，∠BMF=∠BFM，

∴∠FMH=180°-（∠FMB+∠HMD）-（∠AMB+∠DME）

=180°-（180°-∠FBM）-∠CBM=∠FBM-∠CBM=∠FBC=90°．

∴△FMH是等腰直角三角形．

（3）解：

△FMH还是等腰直角三角形．