《挑战中考数学压轴题轻松入门篇.docx
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《挑战中考数学压轴题轻松入门篇
2014《挑战中考数学压轴题,轻松入门篇pdf
篇一:
2014版挑战中考数学压轴题详解(115页)
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题例120XX年上海市中考第24题例220XX年苏州市中考第29题例320XX年黄冈市中考第25题例420XX年义乌市中考第24题例520XX年临沂市中考第26题例620XX年苏州市中考第29题
1.2因动点产生的等腰三角形问题
例120XX年上海市虹口区中考模拟第25题例220XX年扬州市中考第27题例320XX年临沂市中考第26题例420XX年湖州市中考第24题例520XX年盐城市中考第28题例620XX年南通市中考第27题例720XX年江西省中考第25题
1.3因动点产生的直角三角形问题例120XX年山西省中考第26题例220XX年广州市中考第24题例320XX年杭州市中考第22题例420XX年浙江省中考第23题例520XX年北京市中考第24题例620XX年嘉兴市中考第24题例720XX年河南省中考第23题
1.4因动点产生的平行四边形问题
例120XX年上海市松江区中考模拟第24题例220XX年福州市中考第21题例320XX年烟台市中考第26题例420XX年上海市中考第24题例520XX年江西省中考第24题例620XX年山西省中考第26题例720XX年江西省中考第24题1.5因动点产生的梯形问题
例120XX年上海市松江中考模拟第24题例220XX年衢州市中考第24题例420XX年义乌市中考第24题
例520XX年杭州市中考第24题例720XX年广州市中考第25题1.6因动点产生的面积问题例120XX年苏州市中考第29题例220XX年菏泽市中考第21题例320XX年河南省中考第23题例420XX年南通市中考第28题例520XX年广州市中考第25题例620XX年扬州市中考第28题例720XX年兰州市中考第29题1.7因动点产生的相切问题
例120XX年上海市杨浦区中考模拟第25题例220XX年河北省中考第25题例320XX年无锡市中考第28题1.8因动点产生的线段和差问题例120XX年天津市中考第25题例220XX年滨州市中考第24题例320XX年山西省中考第26题
第二部分图形运动中的函数关系问题
2.1由比例线段产生的函数关系问题例120XX年宁波市中考第26题
例220XX年上海市徐汇区中考模拟第25题例320XX年连云港市中考第26题例420XX年上海市中考第25题
2.2由面积公式产生的函数关系问题例120XX年菏泽市中考第21题例220XX年广东省中考第22题例320XX年河北省中考第26题例420XX年淮安市中考第28题例520XX年山西省中考第26题例620XX年重庆市中考第26题
第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题例120XX年南京市中考第26题例220XX年南昌市中考第25题
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例120XX年上海市黄浦区中考模拟第24题例220XX年江西省中考第24题
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题
例120XX年上海市中考第24题
如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连结OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13上海24”,拖动点C在x轴上运动,可以体验到,点C在点B的右侧,有两种情况,△ABC与△AOM相似.
请打开超级画板文件名“13上海24”,拖动点C在x轴上运动,可以体验到,点C在点B的右侧,有两种情况,△ABC与△AOM相似.点击按钮的左部和中部,可到达相似的准确位置。
思路点拨
1.第
(2)题把求∠AOM的大小,转化为求∠BOM的大小.
2.因为∠BOM=∠ABO=30°,因此点C在点B的右侧时,恰好有∠ABC=∠AOM.3.根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论△ABC与△AOM相似.
满分解答
(1)如图2,过点A作AH⊥y轴,垂足为H.在Rt△AOH中,AO=2,∠AOH=30°,所以AH=1,OHA(?
1.
因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点,设y=ax(x-2),代入点A(?
1,可得
.图22所以抛物线的表达式为y?
x(x?
2)?
.
2
(2)由y?
x?
x?
1)2得抛物线的顶点M的坐标为(1,..所以tan?
BOM?
a?
所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°.(3)由A(?
1、B(2,0)、M(1,,
得tan?
ABO
,AB?
OM?
.
OA
所以∠ABO=30
°,?
OM
因此当点C在点B右侧时,∠ABC=∠AOM=150°.△ABC与△AOM相似,存在两种情况:
BAOA?
?
时,BC?
?
?
2.此时C(4,0).BCOMBCOA
②如图4
,当?
?
时,BC?
?
?
6.此时C(8,0).
BAOM
①如图3
,当
图3图4
考点伸展
在本题情境下,如果△ABC与△BOM相似,求点C的坐标.
如图5,因为△BOM是30°底角的等腰三角形,∠ABO=30°,因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形,AB=AC,根据对称性,点C的坐标为(-4,0).
图5
例220XX年苏州市中考第29题
121b
x?
(b?
1)x?
(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交444
于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
如图1,已知抛物线y?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”,拖动点B在x轴的正半轴上运动,可以体验到,点P到两坐标轴的距离相等,存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻.双击按钮“第(3)题”,拖动点B,可以体验到,存在∠OQA=∠B的时刻,也存在∠OQ′A=∠B的时刻.
思路点拨
1.第
(2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等.
2.联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b的式子表示.
3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.
满分解答
b).4
(2)如图2,过点P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,那么△PDB≌△PEC.因此PD=PE.设点P的坐标为(x,x).如图3,联结OP.
1b15
所以S四边形PCOB=S△PCO+S△PBO=?
?
x?
?
b?
x?
bx=2b.
2428
161616
解得x?
.所以点P的坐标为(,).
555
(1)B的坐标为(b,0),点C的坐标为(0,
图2图3
篇二:
2014挑战中考数学压轴题
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题
例120XX年上海市中考第24题
如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连结OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
图1
.
考点伸展
在本题情境下,如果△ABC与△BOM相似,求点C的坐标.
如图5,因为△BOM是30°底角的等腰三角形,∠ABO=30°,因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形,AB=AC,根据对称性,点C的坐标为(-4,0).
图5
例220XX年苏州市中考第29题
121b
x?
(b?
1)x?
(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交444
于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
如图1,已知抛物线y?
图1
.
考点伸展
第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而∠QOA与∠QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.
这样,先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置.
如图中,圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?
如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB=4OC矛盾.
例320XX年黄冈市中考模拟第25题
如图1,已知抛物线的方程C1:
y?
?
1
(x?
2)(x?
m)(m>0)与x轴交于点B、C,与ym
轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;
(2)在
(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在
(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?
若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
图1
考点伸展
第(4)题也可以这样求BF的长:
在求得点F′、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长.
如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直
线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
图1图2
考点伸展
第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?
如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.
如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
图1
考点伸展
第(3)题也可以这样解:
如图6,过D点构造矩形OAMN,那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积.
设点D的横坐标为(m,n)(1?
m?
4),那么
111
(2n?
2)?
4?
m(n?
2)?
n(4?
m)?
?
m?
2n?
4.2221252
由于n?
?
m?
m?
2,所以S?
?
m?
4m.
22
S?
篇三:
挑战中考数学压轴题(2015版)
挑战中考数学压轴题(第八版精选)(2015版)
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题1.2因动点产生的等腰三角形问题例120XX年武汉市中考第24题例120XX年长沙市中考第第26题
例220XX年上海市中考第24题例220XX年上海市虹口区中考模拟第25题例320XX年黄冈市中考第25题例320XX年扬州市中考第27题
1.3因动点产生的直角三角形问题1.4因动点产生的平行四边形问题例120XX年苏州市中考第29题例120XX年陕西省中考第24题
例220XX年山西省中考第26题例220XX年上海市松江区中考模拟第24题例320XX年广州市中考第24题例320XX年福州市中考第21题
1.5因动点产生的梯形问题1.6因动点产生的面积问题例120XX年上海市金山区中考模拟第24题例120XX年昆明市中考第23题例220XX年上海市松江中考模拟第24题例220XX年苏州市中考第29题例320XX年衢州市中考第24题例320XX年菏泽市中考第21题
1.7因动点产生的相切问题
例题20XX年上海市徐汇区中考模拟第25题
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题
例120XX年武汉市中考第24题
如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)如图2,连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值;(3)试证明:
PQ的中点在△ABC的一条中位线上.
图1图2图3图4
满分解答
(1)Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10.△BPQ与△ABC相似,存在两种情况:
BPBABPBC325t105t8
?
?
①如果,那么,那么.?
.解得t=1.②如果?
.解得t?
BQBCBQBA418?
4t88?
4t10
4
,所以BD=
BPcosB=4t,PD=3t.5
ACCD768?
4t
?
当AQ⊥CP时,△ACQ∽△CDP.所以,即?
.解得t?
.QCPD84t3t
(2)作PD⊥BC,垂足为D.在Rt△BPD中,BP=5t,cosB
=
图5图6
(3)如图4,过PQ的中点H作BC的垂线,垂足为F,交AB于E.
由于H是PQ的中点,HF//PD,所以F是QD的中点.又因为BD=CQ=4t,所以BF=CF.因此F是BC的中点,E是AB的中点.所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上.
例220XX年上海市中考第24题
如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连结OM,求∠AOM的大小;(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
图1图2
满分解答
(1)如图2,过点A作AH⊥y轴,垂足为H.
在Rt△AOH中,AO=2,∠AOH=30°,所以AH=1,OHA(?
1.因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点,设y=ax(x-2),代入点A(?
1,可得a?
x(x?
2)?
2
(2)由y?
x?
x?
1)2所以抛物线的表达式为y?
(3)由A(?
1、B(2,0)、M(1,?
所以∠ABO=30°,
2xx.
得抛物线的顶点M的坐标为(1,所以tan?
BOM?
..所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°.
,AB?
OM?
.,得tan?
ABO?
333
OA
?
C在点B右侧时,∠ABC=∠AOM=150°.OM
△ABC与△AOM相似,存在两种情况:
BAOA?
?
时,BC?
?
?
2.此时C(4,0).BCOMBCOA
②如图4,当?
?
时,BC?
?
?
6.此时C(8,0).
BAOM
①如图3,当
图3图4
例320XX年黄冈市中考模拟第25题
如图1,已知抛物线的方程C1:
y?
?
1
(x?
2)(x?
m)(m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在m
点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;
(2)在
(1)的条件下,求△BCE的面积;(3)在
(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?
若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
满分解答
11
(x?
2)(x?
m),得2?
?
?
4(2?
m).解得m=4.mm111
(2)当m=4时,y?
?
(x?
2)(x?
4)?
?
x2?
x?
2.所以C(4,0),E(0,2).
442
11
所以S△BCE=BC?
OE?
?
6?
2?
6.
22
(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
HPEO
设对称轴与x轴的交点为P,那么.?
CPCO
HP233因此?
.解得HP?
.所以点H的坐标为(1,).
3422
(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.
CEBC
由于∠BCE=∠FBC,所以当,即BC2?
CE?
BF时,△BCE∽△FBC.?
CBBF
1
(x?
2)(x?
m)
1FF'EO2设点F的坐标为(x,?
(x?
2)(x?
m)),由,得?
?
.mBF'COx?
2m
解得x=m+2.所以F′(m+2,0).
(1)将M(2,2)代入y?
?
COBF'm?
4由.所以BF?
.?
?
CEBFBF
由BC?
CE?
BF,得(m?
2)?
整理,得0=16.此方程无解.
2
2
图1图2图3图4
②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,
BEBC
由于∠EBC=∠CBF,所以,即BC2?
BE?
BF时,△BCE∽△BFC.?
BCBF
1
(x?
2)(x?
m)?
x?
2.m
解得x=2m.所以F′(2m,0).所以BF′=2m+2
,BF?
m?
2).
在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得
由BC2?
BE?
BF,得(m?
2)2?
m?
2).解得m?
2?
综合①、②,符合题意的m
为2?
1.2因动点产生的等腰三角形问题
例120XX年长沙市中考第26题
如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)
和1
)两点,点P16
在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2).
(1)求a、b、c的值;
(2)求证:
在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;
(3)设⊙P与x轴相交于M(x1,0)、N(x2,0)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.
图1图4图5
动感体验
请打开几何画板文件名“14长沙26”,拖动圆心P在抛物线上运动,可以体验到,圆与x轴总是相交的,等腰三角形AMN存在三种情况.
思路点拨
1.不算不知道,一算真奇妙,原来⊙P在x轴上截得的弦长MN=4是定值.
2.等腰三角形AMN存在三种情况,其中MA=MN和NA=NM两种情况时,点P的纵坐标是相等的.
满分解答
(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以y=ax2.所以b=0,c=0.
111
将)代入y=ax2,得?
a2.解得a?
(舍去了负值).
16164
11
(2)抛物线的解析式为y?
x2,设点P的坐标为(x,x2).
441
x2.已知A(0,2)
,所以PA?
41
而圆心P到x轴的距离为x2,所以半径PA>圆心P到x轴的距离.
4
所以在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交.
(3)如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN.
111
在Rt△PMH中,PM2?
PA2?
x4?
4,PH2?
(x)2?
x4,所以MH2=4.
16416
所以MH=2.因此MN=4,为定值.等腰△AMN存在三种情况:
①如图3,当AM=AN时,点P为原点O重合,此时点P的纵坐标为0.
图1图2图3
②如图4,当MA=MN时,在Rt△AOM中,OA=2,AM=4,所以OM=
11
此时x=OH=
2.所以点P
的纵坐标为x2?
2)2?
1)2?
4?
44
③如图5,当NA=NM时,点P
的纵坐标为也为4?
例220XX年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P
为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.
(1)求ED、EC的长;
(2)若BP=2,求CQ的长;
(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1备用图图5图6
满分解答
(1)在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,所以BC=10.在Rt△CDE中,CD=5,所以ED?
CD?
tan?
C?
5?
25315
,EC?
.?
444
(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是△ABC的两条中位线,
DM=4,DN=3.
由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.因此△PDM∽△QDN.
34PMDM4
所以?
?
.所以QN?
PM,PM?
QN.
43QNDN3
图2图3图4
①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.此时QN?
33319
PM?
.所以CQ?
CN?
QN?
4?
?
.44443151531
②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.此时QN?
PM?
.所以CQ?
CN?
QN?
4?
?
.
4444
QDDN3
(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,tan?
QPD?
?
?
.
PDDM4
BA3
在Rt△ABC中,tan?
C?
所以∠QPD=∠C.由∠PDQ=
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