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全国数学
2000年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合A和B都是自然数集合N,映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素,则在映射下,象20的原象是()
(A)2
(B)3
(C)4
(D)5
(2)在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是()
(A)2
(B)
(C)
(D)3
(3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,,,这个长方体对角线的长是()
(A)2
(B)3
(C)6
(D)
(4)已知,那么下列命题成立的是()
(A)若、是第一象限角,则
(B)若、是第二象限角,则
(C)若、是第三象限角,则
(D)若、是第四象限角,则
(5)函数的部分图像是()
(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算:
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
…
…
某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、薪金所得介于()
(A)800~900元
(B)900~1200元
(C)1200~1500元
(D)1500~2800元
(7)若,P=,Q=,R=,则()
(A)RPQ
(B)PQR
(C)QPR
(D)PRQ
(8)以极坐标系中的点为圆心,1为半径的圆的方程是()
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是()
(A)
(B)
(C)
(D)
(10)过原点的直线与圆相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()
(A)
(B)
(C)
(D)
(11)过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、,则等于()
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角为()
(A)
(B)
(C)
(D)
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线.
(13)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答).
(14)椭圆的焦点为、,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是________.
(15)设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=________.
(16)如图,E、F分别为正方体的面、面的中心,则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______.(要求:
把可能的图的序号都填上)
三、解答题:
本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知函数,.
(I)当函数取得最大值时,求自变量的集合;
(II)该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
(18)(本小题满分12分)
如图,已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形,且===.
(I)证明:
⊥BD;
(II)假定CD=2,=,记面为,面CBD为,求二面角的平面角的余弦值;
(III)当的值为多少时,能使平面?
请给出证明.
(19)(本小题满分12分)
设函数,其中.
(I)解不等式;
(II)求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.
(20)(本小题满分12分)
(I)已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数;
(II)设、是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列.
(21)(本小题满分12分)
某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=;
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=;
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?
(注:
市场售价和种植成本的单位:
元/kg,时间单位:
天)
(22)(本小题满分14分)
如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围.
2000年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
一.选择题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分.
(1)C
(2)B(3)D(4)D(5)D(6)C(7)B(8)C(9)A(10)C(11)C(12)D
二.填空题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.
(13)252(14)-(15)(16)②③
三.解答题
(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质,考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)
y=cos2x+sinxcosx+1
=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+——6分
y取得最大值必须且只需
2x+=+2kπ,k∈Z,
即x=+kπ,k∈Z.
所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为
{x|x=+kπ,k∈Z}——8分
(Ⅱ)将函数y=sinx依次进行如下变换:
(i)把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y=sin(x+)的图像;
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图像;
(iv)把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像;综上得到函数y=cos2x+sinxcosx+1的图像.——12分
(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系,逻辑推理能力,满分12分.
(Ⅰ)证明:
连结A1C1、AC、AC和BD交于O,连结C1O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD=CD.
又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C=C1C,
∴△C1BC≌△C1DC
∴C1B=C1D,
∵DO=OB
∴C1O⊥BD,——2分
但AC⊥BD,AC∩C1O=O,
∴BD⊥平面AC1,
又C1C平面AC1
∴C1C⊥BD.——4分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知AC⊥BD,C1O⊥BD,
∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.
在△C1BC中,BC=2,C1C=,∠BCC1=60º,
∴C1B2=22+()2-2×2××cos60º=——6分
∵∠OCB=30º,
∴OB=BC=1.
∴C1O2=C1B2-OB2=,
∴C1O=即C1O=C1C.
作C1H⊥OC,垂足为H.
∴点H是OC的中点,且OH=,
所以cos∠C1OC==.——8分
(Ⅲ)当=1时,能使A1C⊥平面C1BD
证明一:
∵=1,
∴BC=CD=C1C,
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD,
由此可推得BD=C1B=C1D.
∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥.——10分
设A1C与C1O相交于G.
∵A1C1∥AC,且A1C1∶OC=2∶1,
∴C1G∶GO=2∶1.
又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线,
∴点G是正三角形C1BD的中心,
∴CG⊥平面C1BD.
即A1C⊥平面C1BD.——12分
证明二:
由(Ⅰ)知,BD⊥平面AC1,
∵A1C平面AC1,∴BD⊥A1C.——10分
当=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形,
同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C,
又BD⊥BC1=B,
∴A1C⊥平面C1BD.——12分
(19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识,分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)不等式f(x)≤1即
≤1+ax,
由此得1≤1+ax,即ax≥0,其中常数a>0.
所以,原不等式等价于
即——3分
所以,当0<a<1时,所给不等式的解集为{x|0};
当a≥1时,所给不等式的解集为{x|x≥0}.——6分
(Ⅱ)在区间[0,+∞]上任取x1、x2,使得x1<x2.
f(x1)-f(x2)=--a(x1-x2)
=-a(x1-x2)
=(x1-x2)(-a).——8分
(ⅰ)当a≥1时
∵<1
∴-a<0,
又x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以,当a≥1时,函数f(x)在区间上是单调递减函数.——10分
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