193正方形与一次函数反比例函数综合题专训有答案.docx
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193正方形与一次函数反比例函数综合题专训有答案
华师大版八年级下册19.3正方形与一次函数反比例函数综合题专训
一、利用正方形的性质求解一次函数与反比例函数问题
试题1、(2015春监利县期末)如图,点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上,点A、D是x轴上两点,已知四边形ABCD是正方形,则k值为 .
【分析】设正方形的边长为a,根据正方形的性质分别表示出B,C两点的坐标,再将C的坐标代入函数中从而可求得k的值.
【解答】解:
设正方形的边长为a,则B的纵坐标是a,把点B代入直线y=2x的解析式,则设点B的坐标为(,a),
则点C的坐标为(+a,a),
把点C的坐标代入y=kx中得,a=k(+a),解得,k=.
故答案为:
.
【点评】本题考查正方形的性质及正比例函数的综合运用,建立起关系,灵活运用性质是解题的关键.
试题2(2015阆中市模拟)如图,点B是反比例函数上一点,矩形OABC的周长是20,正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68,则反比例函数的解析式是( )
A.B.C.D.
【解答】解:
设B点坐标为(x,y),
根据题意得x2+y2=68,x+y=10,
∴(x+y)2=100,
∴x2+2xy+y2=100,即68+2xy=100,
∴xy=16,
∴反比例函数的解析式为y=.
故选D.
试题3、(2015衡南县自主招生)已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如:
如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.
(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;
(2)若某函数是反比例函数,它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式.
【解答】解:
(1)如图1,当点A在x轴正半轴,点B在y轴负半轴上时,
∵OC=0D=1,
∴正方形ABCD的边长CD=;
∵当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,
∴设正方形的边长为a,
∴3a=CD=.
∴a=,
∴正方形边长为,
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为或;
(2)如图2,作DE,CF分别垂直于x、y轴,
∵AB=AD=BC,∠DAE=∠OBA=∠FCB,
∴△ADE≌△BAO≌△CBF.
∵m<2,
∴DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2﹣m,
∴OF=BF+OB=2,
∴C点坐标为(2﹣m,2),
设反比例函数的解析式为:
,
∵D(2,m),C(2﹣m,2)
∴,
∴由②得:
k=2m③,
∴把k=2m代入①得:
2m=2(2﹣m),
∴解得m=1,k=2,
∴反比例函数的解析式为y=.
试题4、(2015韶关模拟)如图,点A(2,2)在双曲线y1=(x>0)上,点C在双曲线y2=﹣(x<0)上,分别过A、C向x轴作垂线,垂足分别为F、E,以A、C为顶点作正方形ABCD,且使点B在x轴上,点D在y轴的正半轴上.
(1)求k的值;
(2)求证:
△BCE≌△ABF;
(3)求直线BD的解析式.
【解答】
(1)解:
把点A(2,2)代入y1=,
得:
2=,
∴k=4;
(2)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=AB,∠ABC=90°,BD=AC,
∴∠EBC+∠ABF=90°,
∵CE⊥x轴,AF⊥x轴,
∴∠CEB=∠BFA=90°,
∴∠BCE+∠EBC=90°,
∴∠BCE=∠ABF,
在△BCE和△ABF中,
,
∴△BCE≌△ABF(AAS);
(3)解:
连接AC,作AG⊥CE于G,如图所示:
则∠AGC=90°,AG=EF,GE=AF=2,
由
(2)得:
△BCE≌△ABF,
∴BE=AF=2,CE=BF,
设OB=x,则OE=x+2,CE=BF=x+2,
∴OE=CE,
∴点C的坐标为:
(﹣x﹣2,x+2),
代入双曲线y2=﹣(x<0)得:
﹣(x+2)2=﹣9,
解得:
x=1,或x=﹣5(不合题意,舍去),
∴OB=1,BF=3,CE=OE=3,
∴EF=2+3=5,CG=1=OB,B(﹣1,0),AG=5,
在Rt△BOD和Rt△CGA中,
,
∴Rt△BOD≌Rt△CGA(HL),
∴OD=AG=5,
∴D(0,5),
设直线BD的解析式为:
y=kx+b,
把B(﹣1,0),D(0,5)代入得:
,
解得:
k=5,b=5.
∴直线BD的解析式为:
y=5x+5.
试题5、(2015春四川校级期中)如图,正方形OABC的面积为16,点O为坐标原点,点B在双曲线y=(x>0)上,点P(m,n)是双曲线上任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F,并设矩形OEPF在正方形OABC之外部分的面积为S.
(1)求B点坐标和k的值;
(2)当S=8时,求点P的坐标;
(3)写出S与m的函数关系式.
【解答】解:
(1)∵正方形OABC的面积为16,
∴OA=OC=4,
∴B(4,4),
又∵点B(4,4)在函数的图象上,
∴k=16;
故点B的坐标是(4,4),k=16;
(2)分两种情况:
①当点P在点B的左侧时,
∵P(m,n)在函数y=上,
∴mn=16,
∴S=m(n﹣4)=mn﹣4m=8,
解得m=2,
∴n=8,
∴点P的坐标是P(2,8);
②当点P在点B的右侧时,
∵P(m,n)在函数y=上,
∴mn=16,
∴S=4(4﹣n)=16﹣4n=8,
解得n=2,
∴=2,
解得m=8,
∴点P的坐标是P(8,2),
综上所述:
P(2,8),(8,2).
(3)当0<m<4时,点P在点B的左边,此时S=16﹣4m,
当m≥4时,点P在点B的右边,此时S=16﹣4n=16﹣4×=16﹣.
试题6、(2014本溪)如图,边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上,顶点D在反比例函数y=(x>0)的图象上,已知点B的坐标是(,),则k的值为( )
A.4B.6C.8D.10
【分析】过点B作BE⊥y轴于E,过点D作DF⊥y轴于F,根据正方形的性质可得AB=AD,∠BAD=90°,再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF,然后利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=BE,DF=AE,再求出OF,然后写出点D的坐标,再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k.
【解答】解:
如图,过点B作BE⊥y轴于E,过点D作DF⊥y轴于F,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,
∴∠BAE+∠DAF=90°,
∵∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠BAE=∠ADF,
在△ABE和△DAF中,
,
∴△ABE≌△DAF(AAS),
∴AF=BE,DF=AE,
∵正方形的边长为2,B(,),
∴BE=,AE==,
∴OF=OE+AE+AF=++=5,
∴点D的坐标为(,5),
∵顶点D在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴k=xy=×5=8.
故选:
C.
【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,反比例函数图象上的点的坐标特征,作辅助线构造出全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键.
试题7、(2012北仑区校级模拟)在平面直角坐标系中,如图,点A的坐标是(2,0),点D在y轴的正半轴上,以线段AD为边向外作正方形ABCD如图所示,该正方形的中心M(3,3),那么点D的坐标为 (0,4) ,直线BC的解析式是 y=﹣2x+14 .
【分析】连接MA、MD,过点M作ME⊥x轴于E,作MF⊥y轴于F,根据点M的坐标判断出四边形OEMF是正方形,然后求出ME=MF,再利用“HL”证明Rt△AEM和Rt△DFM全等,根据全等三角形对应边相等可得DF=AE,再根据点A的坐标求出OA,然后求出AE,再求出OD,写出点D的坐标即可;
过点B作BG⊥x轴于G,求出∠ADO=∠BAG,然后利用“角角边”证明△AOD和△BAG全等,根据全等三角形对应边相等可得AG=OD,BG=OA,从而写出点B的坐标,过点C作CH⊥y轴于H,同理可得CH=OD,DH=OA,然后求出点C的坐标,设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),利用待定系数法求一次函数解析式解答即可.
【解答】解:
如图,连接MA、MD,过点M作ME⊥x轴于E,作MF⊥y轴于F,
∵正方形ABCD的中心是M(3,3),
∴AM=DM,四边形OEMF是正方形,
∴ME=MF=3,
在Rt△AEM和Rt△DFM中,,
∴Rt△AEM≌Rt△DFM(HL),
∴DF=AE,
∵A(2,0),
∴OA=2,
∴AE=OE﹣OA=3﹣2=1,
∴OD=OF+DF=OF+AE=3+1=4,
∴点D的坐标为(0,4);
过点B作BG⊥x轴于G,
∵∠ADO+∠OAD=90°,∠BAG+∠OAD=90°,
∴∠ADO=∠BAG,
在△AOD和△BAG中,,
∴△AOD≌△BAG(AAS),
∴AG=OD=4,BG=OA=2,
∴OG=OA+AG=2+4=6,
∴点B的坐标为(6,2),
过点C作CH⊥y轴于H,
同理可得CH=OD=4,DH=OA=2,
∴OH=OD+DH=4+2=6,
∴点C的坐标为(4,6),
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则,
解得,
∴设直线BC的解析式为y=﹣2x+14.
故答案为:
(0,4);y=﹣2x+14.
【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,待定系数法求一次函数解析式,难点在于作辅助线构造出全等三角形以及以点O、M为顶点的正方形.
二、利用一次函数与反比例函数的性质求解正方形问题
试题1、(2015凉山州)以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,双曲线y=经过点D,则正方形ABCD的面积是( )
A.10B.11C.12D.13
【解答】解:
∵双曲线y=经过点D,
∴第一象限的小正方形的面积是3,
∴正方形ABCD的面积是3×4=12.
故选:
C.
试题2、(2015安陆市三模)如图,四边形OABC是矩形
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