131函数的单调性例题.docx
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131函数的单调性例题
1.3.1函数的单调性
题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间
例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间
(1)y
x2
1;
(2)y
x2
2x3;
(3)y
x1
(x2)2;(4)y
x2
6x9x2
6x9
相应作业1:
课本P32第3题.
题型二、用定义法证明函数的单调性
用定义法证明函数的单调性步骤:
取值作差变形定号下结论
取值,即_____________________________;
作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等;
定号,即____________________________________________________________;
④下结论,即______________________________________________________。
例2.用定义法证明下列函数的单调性
(1)证明:
f(x)x31在,上是减函数.
1
▲定义法证明单调性的等价形式:
设x1、x2
a,b,x1
x2,那么
(x1
x2)
f(x1)
f(x2)
f(x1)
f(x2)
f(x)在a,b上是增函数;
0
0
x1
x2
(x1
x2)
f(x1)
f(x2)
f(x1)
f(x2)
f(x)在a,b上是减函数.
0
0
x1
x2
(2)证明:
f(x)
x2
1x在其定义域内是减函数;
(3)证明:
f(x)
1
0上是增函数;
x
2在
法一:
作差
法二:
作商
2
(4)已知函数yf(x)在0,上为增函数,且f(x)0(x0),试判断F(x)1在
f(x)
0,上的单调性,并给出证明过程;
▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法:
1、直接法:
熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等;如,练习册P27
(2)P31(上5、1)
2、图象法;
3、定义法;
4、运算性质法:
①当a
0时,函数af(x)与f(x)有相同的单调性;
当a
0时,函数af(x)与f(x)有相反的单调性;
②当函数f(x)恒不等于零时,f(x)与1
单调性相反;
f(x)
③若f(x)0,则f(x)与f(x)具有相同的单调性;
④若f(x)、g(x)的单调性相同,则
f(x)
g(x)的单调性与之不变;
▲即:
增+增=增
减+减=减
⑤若f(x)、g(x)的单调性相反,则
f(x)
g(x)的单调性与
f(x)同.
▲即:
增-减=增
减-增=增
注意:
(1)可熟记一些基本的函数的单调性,
一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式,
再利用上述结论判断;
(2)f(x)g(x)与f(x)的单调性不能确定.
g(x)
3
相应作业
2:
(1)讨论函数f(x)
ax
在
1,1上的单调性(a0);
2
1
x
k(k
▲
(2)务必记住“对勾”函数f(x)
x
0)的单调区间(见练习册
P29探究之窗.
x
探究1)
知识拓展——复合函数单调性(▲难点)
一、复习回顾:
复合函数的定义:
如果函数yf(t)的定义域为A,函数tg(x)的定义域为D,值域为C,
则当CA时,称函数yf(g(x))为f与g在D上的复合函数,其中t叫做中间变量,
tg(x)叫内层函数,yf(x)叫外层函数。
二、引理1已知函数y=f[g(x)].若t=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),
又函数y=f(t)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增
函数.
引理2已知函数y=f[g(x)].若t=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又
函数y=f(t)在区间(c,d)上是减函数,那么,复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数.
引理1的证明:
▲重要结论1:
复合法则
若tg(x)
yf(t)
则yfg(x)
增
增
增
减
减
增
增
减
减
减
增
减
规律可简记为“_____________________”(四个字)
▲重要结论2:
若一个函数是由多个简单函数复合而成的,则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:
若减函数有偶数个,则复合函数为增函数;
若减函数有奇数个,则复合函数为减函数.
4
规律可简记为“_____________________”(四个字)
题型三、求复合函数的单调区间
例3.求下列函数的单调区间.
2
(2)y
1
(1)y76xx
2
2x3
x
▲小结:
1、注意:
(1)求单调区间必先求定义域;
(2)单调区间必须是定义域的子集;
(3)写多个单调区间时,区间之间不能用“”并起来,应用“,”隔开.
2、判断复合函数单调性步骤:
求函数的定义域;
将复合函数分解成基本初等函数:
y
f(t)与t
g(x);
确定两个函数的单调性;
④由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.
相应作业
3:
求下列函数的单调区间.
(1)y
82xx2
(2)y
1
x2
2x3
(3)y
1
x2
4x
5
单调性的应用
题型四、比较函数值的大小
例4.已知函数yf(x)在0,上是减函数,试比较f(3)与f(a2a1)的大小.
4
题型五、已知单调性,求参数范围
例5.已知函数
()
2
2(
)2
fx
x
x
ax
(1)若f(x)的减区间是
4,求实数a的值;
(2)若f(x)在
4
上单调递减,求实数
a的取值范围.
例6.若函数f(x)
(2b
1)x
b1,x
0在R上为增函数,求实数
b的取值范围.
x2
(2
b)x,x
0
6
题型六、利用单调性,求解抽象不等式
例7.已知函数y
f(x)是
1,1
上的减函数,且
f
(1)
f
(
a
2
1)
,求实数
a
的取值范
a
围.
例8.已知f(x)是定义在
0,上的增函数,且f(x)
f(x)f(y),且f
(2)
1,解不
y
等式f(x)f(1
)2
.
x
3
相应作业
4:
已知f(x)是定义在
0,
上的增函数,且f(xy)
f(x)f(y),且
f
(2)
1,解不等式f(x)f(x
2)
3.
题型七、抽象函数单调性的判断——定义法
解决此类问题有两种方法:
“凑”,凑定义或凑已知条件,从而使用定义或已知条件得出结论;
赋值法,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.
7
例9.已知函数f(x)对任意实数
x、y都有f(xy)
f(x)f(y),且当x
0时
f(x)0,求证:
f(x)在R
上单调递增.
例10.已知定义在0,上的函数f(x)对任意x、y0,,恒有
f(xy)f(x)f(y),且当0x1时f(x)0,判断f(x)在0,上单调性.
相应作业
5:
定义在0,
上的函数f(x)对任意x、y0,
,满足
f(mn)
f(m)
f(n),且当x1时f(x)0
.
(1)求f
(1)的值;
(2)求证:
f(m)f(m)
f(n);
n
(3)求证:
f(x)在0,
上是增函数;
(4)若f
(2)
1,解不等式
f(x2)f(2x)
2;
8
函数的最大(小)值
1、函数的最大(小)值定义
2、利用单调性求最值常用结论
(1)若函数
(2)若函数
yf(x)在闭区间a,b
yf(x)在闭区间a,b
上单调递增,则
(
),
;
ymin
f
aymax
f(b)
上单调递减,则
(
),
;
ymin
f
b
ymax
f(a)
(3)若函数y
f(x)在开区间
a,b上单调递增,则函数无最值,但值域为
f(a),f(b);
(4)若函数y
f(x)在闭区间
a,b上单调递增,在闭区间
b,c上单调递减,那么函数
y
f(x),x
a,c在x
b处有最大值,即
ymax
f(b);
(5)若函数y
f(x)在闭区间
a,b上单调递减,在闭区间
b,c上单调递增,那么函数
y
f(x),x
a,c在x
b处有最小值,即
ymin
f(b).
题型八、单调性法求函数最值(值域)
例11、
(1)函数
1
在1,5上的最大值为________,最小值为________;
f(x)
2x
1
(2)函数y
2x
1在2,4上的最大值为________,最小值为________;
x
1
(3)函数y2x12x的值域为________________;
(4)函数yxx1的值域为________________;
(5)函数y
x2
1
x2的值域为________________;
1x
y
(6)函数x的值域为________________;
9
二次函数的区间最值的求法
二次函数在给定区间m,n上求最值,常见类型:
(1)定轴定区间:
对称轴与区间m,n均是确定的;
(2)动轴定区间:
(3)定轴动区间:
(4)动轴动区间:
1、定轴定区间
可数形结合,较易解决,注意对称轴与区间位置关系。
例12.当2x2时,求函数yx22x3的最值.
相应作业6:
求函数yx24x5在1,5上的最值.
2、动轴定区间
例13.已知函数f(x)x22ax2,求f(x)在5,5上的最值.
▲动轴定区间问题一般解法:
对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论,从而确
定最值在区间端点处还是在顶点处取得.
相应作业7:
求函数f(x)x22ax1在0,2上的最值.
10
3、定轴动区间
例14.已知函数f(x)
x2
2x2,当x
t,t1时,求f(x)的最小值g(t).
相应作业
8:
已知函数
(
)
2
3
f
x
xx
,当
x
m,m2
时,求
f(x)
的最大值
g(m)
.
4
4、动轴动区间
解决方法:
可将对称轴和区间之一看做不动,进行讨论.
例15.求函数yx2ax在x1,a上的最大值.
相应作业
9:
求函数
2
2
yxax
在
x
a,1
上的最值.
2
11
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