完整版高等代数北大版第10章习题参考答案doc.docx
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第十章双线性函数与辛空间
1、设V是数域P上的一个三维线性空间,1,2,3是它的一组基,f是V上的
一个线性函数,已知
f(
1+
3)=1,f(
2-23)=-1,f(
1+
2)=-3
求f(X1
1+X2
2+X3
3).
解
因为f是V上线性函数,所以有
f(
1)+f(
3)=1
f(
2)-2f(
3)=-1
f(
1)+f(
2)=-3
解此方程组可得
f(
1)=4,f(
2)=-7,f(
3)=-3
于是
f(X1
1+X2
2+X3
3).=X1f(
1)+X2f(
2)+X3f(3)
=4X1-7X2-3X3
2、设V
及
1,
2,
3同上题,试找出一个线性函数
f,使
f(
1+
3)=f(
2-2
3)=0,f(
1+
2)=1
解
设f
为所求V上的线性函数,则由题设有
f(
1)+f(
3)=0
f(
2)-2f(
3)=0
f(
1)+f(
2)=1
解此方程组可得
f(
1)=-1,f(
2)=2,f(
3)=1
于是
aV,当a在V的给定基
1,
2,
3下的坐标表示为
a=X1
1+X22+X3
3时,就有
f(a)=f(X11+X22+X33)
=X1f(
1)+X2f(
2)+X3f(
3)
=-X1+2X2+X3
3、
1,
2,
3是性空V的一基,f1,f2,f3
是它的偶基,令
1=
1-
3,2=
1+
2-
3,3=
2+3
:
1,
2,
3是V的一基,并求它的偶基。
:
(
1,
2,3)=(
1,
2,
3)A
由已知,得
1
1
0
A=
0
1
1
1
1
1
因A≠0,所以
1,
2,
3是V的一基。
g1,g2,g3是1,
2,
3得偶基,
(g1,g2,g3)=(f1,f2,f3)(A)1
0
1
1
=(f1,f2,f3)1
1
2
1
1
1
因此
g1=f2-f3
g2=f1-f2+f3
g3=-f1+2f2-f3
4.V是一个性空,f1,f2,⋯fs
是V*
中非零向量,:
∈V,使
fi(
)≠0(i=1,2⋯,s)
:
s采用数学法。
当s=1,f1≠0,所以
∈V,使fi(
)≠0,即当s=1命成立。
假当s=k命成立,即
∈V,使fi(
)=i≠0(i=1,2⋯,k)
下面明s=k+1命成立。
若f
k1(
)≠0,命成立,若
fk
1()=0,由fk
1≠0知,一定∈V
使f
k1(
)=b,fi(
)=di(i=1,2
⋯,k),
于是可取数
c≠0,使
ai+cdi
≠0(i=1,2
⋯,k)
令
c,∈V,且
fi(
)=ai+cdi≠0(i=1,2⋯,k)
fk
1(
)=cb≠0
即。
5.
1,
2,⋯
s是性空V中得非零向量,:
fi(
i)≠0(i=1,2⋯,s)
:
因V是数域P上得一个性空,V*
是其偶空,若取定V中得一个非零向量
,
可定V*
的一个性函数
**如下:
**
(f)=f(
)(f∈V*)
且
**是V*
的偶空(V*
)*
中的一个元素,于是,V到其偶空的偶空
(V*
)*的
映射
→
**
是一个同构映射,又因
1,
2,⋯s是V中的非零向量,所以
1**,2**,⋯
s**
偶空V*
的偶空(V*
)*
中的非零向量,从而由上知,
f∈V*使
f(
i
)=
i
**(f)
≠0(i=1,2
⋯,s)
即.
6.V=P[x]
3,P(x)=C0+C1x+C2x2
∈V,定
f
(p(x))=
1
p(x)dx
1
0
2
f
2
(p(x))=
0
p(x)dx
1
f
3
(p(x))=
0
p(x)dx
f
1,f2,f
3都是V上性函数,并找出
V的一基p1(x),p2(x),p3(x),
使
f1,f
2,f
3是它的偶基。
:
先是V上性函数,即
f
1
∈V*
,
g(x),h(x)∈V,
k∈P,由定有
f
1(g(x)+h(x)
1
(g(x)
h(x))dx
)=
0
1
g(x)dx+
1
=
h(x)dx
0
0
=f1(g(x))+f
1(h(x))
1(kg(x))=
1
1
1(g(x))
f
0
kg(x)dx=kg(x)dx=kf
0
即证f
1。
同理可证f2
,f
3∈V*。
再设p1(x),p2(x),p3(x)
为V的一组基,且
f1,f2
,f3是它的对偶基。
若记
P1(x)=C0+C1x+C2x
2
则由定义可得
1(p(x))=
1
1C1+1C2=1
f
p(x)dx=C0+
0
2
3
2(p(x))=
2
f
p(x)dx=2C0+2C1+8C2=0
0
3
3(p(x))=
1
f
p(x)dx=-C0+1C1-1C2=0
0
2
3
解此方程组得
C0=C1=1,C2=-
3
2
故
P1(x)=1+x-
3x2
2
同理可得
p2(x)=-
1+1x2
6
2
p3(x)=-
1+x-1x
2
3
2
7.设V是个n维线性空间,它得内积为(
,
),对V中确定得向量
,定义V上的
一个函数
*
:
*(
)=(
,
)
1)证明*是V上的线性函数
2)证明V到V*的映射是V到V*的一个同构映射(在这个同构下,欧氏空间可看成自身的对偶空间。
)
3)
证:
1)先证明
*
是V上的线性函数,即
*∈V*,对
1,
2∈V,
k∈P,由定义有:
*
(1+
2)=(
,1+2)
=(,1)+(,2)
=
*(
1)+
*
(2)
*(k
1)=(,k
1)=k(,1)=k
*
(1)
故*是V上的性函数。
2)
1,
2⋯
n是V的一准正交基,且
∈V由定
i
*
(
)=(
i
)(i=1,2⋯,n)
知
*
(
j)=(
i,
j)=
1,i
j
i
0,i
j
于是
*,
*⋯
n
*
是
1
,
2
⋯
n
的偶基,从而V到V*的映射是V与V*
1
2
中两基的一个双射因此它也是
V到V*的一个同构映射
8.A是数域P上N性空
V得一个性。
1)明,V上行函数f,fA仍是V上的性函数;
2)定V*到自身的映射
f→f
A明A*
是V*
上的性;
3)
1,
2⋯
n是V的一基,f
1,f
2,f
n是它的偶基,并A在
1,
2⋯
n的矩A。
明:
A*在f1,f
2,⋯f
n下的矩A′。
:
1)
∈V,由定知(fA)(
)=f(A(
))是数域P中唯一确定的元,所
以fA是V到P的一个映射。
又因
,
∈V,
k∈P,有(fA)(
+
)=f(A(
+))
=f(A(
)+A(
))
=(fA)(
)+(f
A)(
)
(fA)(k
)=f(A(k
))=f(k
A())
所以fA是V上性函数。
=kf
(A(
))=k(fA)(
)
2)
f∈V*,有A*
(f)=fA∈V*
故A*是V*上的性。
3)由知
A(
1,
2⋯
n)=(
1,
2⋯
n)A
A*(f1,f
2,⋯fn)=(f1,f
2,⋯fn
)B
其中A=(aij)
nn,B=(b
ij
)
nn,且
f1,f
2,⋯
f
n是
1,
2⋯
n的偶基,于是
f
j
A=A
*(f
j),所以
aji
=bij
(i,j=1,2,
⋯n),即
A
*
在
f1,f
2
,⋯
f
n
下的矩
B=A′.
9.
V是数域
P上的一个性空,
f1,
f
2,⋯
f
n是
V上的
n个性函数。
1)明:
下列集合
W
={
∈V︱f
i(
)=0(1≤i
≤n)}
是V的一个子空,
W成性函数
f1,
f
2,⋯
f
n的零化子空;
2)明:
V的任一子空皆某些性函数的零化子空。
:
1)因f1,f2,⋯fn是V上的n个性函数,所以f∈V*(1≤i≤n),
且fi(0)=0(i=1,2,⋯n),因而0∈W,即W非空。
又因,∈V,∈P,有
f
i
(
+)=f
i(
)+f
i(
)=0
(i=1,2,
⋯n)
f
i
(
)=
fi(
)=0
所以
2)
+
W是
1
∈W,∈W,即W是V的一个子空。
V的任一子空,且dim(W)=m,当m=n,只要取
1
f
V的零函数
,就有
W1=V={
∈V
︱f(
)=0}
所以W是f的零化子空。
1
当m , 2 ⋯ m W的一基,将其充 V的一基 , 2 ⋯ 1 1 1 m, m1,⋯ n,并取基的偶基 f1,f2,⋯f n的后n-m个性函数 fm1,fm2,⋯,fn, W=V={ ∈V︱f i ( )=0(m+1≤i≤n)} 1 即W是f m1,fm 2,⋯,fn 的零化子空,事上,若令 1 U 1={ ∈V︱fi( )=0(m+1≤i≤n)} =a 1 +a 2 2 +⋯+a m m ∈W,有 1 1 fm1( )=fm2( )=⋯=fn()=0 因而 ∈U,即W U 。 1 1 1 反之, =b1 1+b2 2+⋯+bm m+bm1 m1+⋯bn n∈U1, 由fm1( )= fm 2( )=⋯=fn( )=0,可得 bm 1=bm2 =⋯=bn=0,因而 = b 1 +b 2 2 +⋯+b m m +b m1 m1 +⋯b n n ∈W,即U W,故U=W。 1 1 1 1 11 10.A是数域P上的一个 m极矩,定 Pmn上的一个二元函数 f(X,Y)=tr( X′AY) ( X,Y∈Pmn) 1)明f(X,Y)是Pmn上的双性函数; 2)求f(X,Y)在基E11,E12,⋯,E1n,E21,⋯,E2n,⋯,Em1,Em2,⋯,Emn下的度量矩。 : 1)先f(X,Y)是Pmn上的双性函数,X,Y,Z∈Pmn,k1,k2∈P由定有 f(X,k1Y+k2,Z)=tr(X′A(k1Y+k2Z)) =k1tr(X′AY)+k2tr(X′AZ) =k1f(X,Y)+k2f(Y,Z) 因而f(X,Y)是Pmn上的双性函数。 2)由Eij' AEks=aikEjs知 ' f(Eij,Eks)=tr(EijAEks)=tr(aikEjs) aik,j s = s 0,j 以下f(X,Y)在基E11,E12,⋯,E1n,E21,⋯,E2n,⋯,Em1,Em2,⋯,Emn下的度量矩B, a11E a12E L a1mE a21Ea22E L a2mE B= M O M M am1Eam2E L ammE 其中,E为n阶单位矩阵。 11.在P4中定义一个双线性函数 f(X,Y),对 X=(x1,x2,x3,x4),Y=(y1,y2,y3,y4)∈P4有 f(X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y31)给定P4的一组基 1=(1,-2,-1,0), 2=(1,-1,1,0) 3=(-1,2,1,1), 4=(-1,-1,0,1) 求f(X,Y)在这组基下的度量矩阵; 2)另取一组基 1, 2 , 3, 4,且 ( 1, 2, 3, 4)=( 1, 2, 3, 4)T 其中 1 1 1 1 T= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 求f(
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