第3章 1 12 函数的极值.docx
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第3章112函数的极值
1.2 函数的极值
1.理解极大值,极小值的概念.(难点)
2.掌握求极值的步骤.(重点)
3.会利用导数求函数的极值.(重点)
[基础·初探]
教材整理 极值点与极值
阅读教材P59“练习”以下至P61“例3”以上部分,完成下列问题.
1.极大值点与极大值
如图316,在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值.
图316
2.极小值点与极小值
如图317,在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.
图317
3.极值的判断方法
如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少的,则x0是极大值点,f(x0)是极大值;如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,则x0是极小值点,f(x0)是极小值.
4.求函数y=f(x)极值的步骤
(1)求出导数f′(x).
(2)解方程f′(x)=0.
(3)对于方程f′(x)=0的每一个解x0,分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性),确定极值点:
①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”,则x0为极大值点;
②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”,则x0为极小值点;
③若f′(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)=x3+ax2-x+1必有两个极值.( )
(2)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合.( )
(3)函数f(x)=
有极值.( )
【答案】
(1)√
(2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
解惑:
疑问3:
解惑:
[小组合作型]
求函数的极值
求下列函数的极值.
(1)f(x)=x2-2x-1;
(2)f(x)=
-
x3+
-6;
(3)f(x)=|x|.
【自主解答】
(1)f′(x)=2x-2,令f′(x)=0,解得x=1.
因为当x<1时,f′(x)<0,
当x>1时,f′(x)>0,
所以函数在x=1处有极小值,
且y极小值=-2.
(2)f′(x)=x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=1.
所以当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
+
f(x)
单调
递减
极小值
单调
递增
无极值
单调
递增
所以当x=0时,函数取得极小值,且y极小值=-6.
(3)f(x)=|x|=
显然函数f(x)=|x|在x=0处不可导,
当x>0时,f′(x)=x′=1>0,
函数f(x)=|x|在(0,+∞)内单调递增;
当x<0时,f′(x)=(-x)′=-1<0,
函数f(x)=|x|在(-∞,0)内单调递减.
故当x=0时,函数取得极小值,
且y极小值=0.
1.讨论函数的性质要注意定义域优先的原则.
2.极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点,导数值为0的点不一定是极值点.
点x0是可导函数f(x)在区间(a,b)内的极值点的充要条件:
①f′(x0)=0;
②点x0两侧f′(x)的符号不同.
(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x=0点),也可能不是极值点(如y=
,在x=0处不可导,在x=0处也取不到极值),所以函数的极值点可能是f′(x)=0的根,也可能是不可导点.
[再练一题]
1.已知函数f(x)=x2-2lnx,则f(x)的极小值是__________.
【导学号:
94210059】
【解析】 ∵f′(x)=2x-
,
且函数定义域为(0,+∞),
令f′(x)=0,得x=1或x=-1(舍去),
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f
(1)=1.
【答案】 1
利用函数的极值求参数
已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-
时都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若f(-1)=
,求f(x)的单调区间和极值.
【精彩点拨】
(1)求导函数f′(x),则由x=1和x=-
是f′(x)=0的两根及根与系数的关系求出a,b.
(2)由f(-1)=
求出c,再列表求解.
【自主解答】
(1)f′(x)=3x2+2ax+b,
令f′(x)=0,由题设知x=1与x=-
为f′(x)=0的解.
∴
∴a=-
,b=-2.
(2)由
(1)知f(x)=x3-
x2-2x+c,
由f(-1)=-1-
+2+c=
,得c=1,
∴f(x)=x3-
x2-2x+1,
∴f′(x)=3x2-x-2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
单调递减
-
单调递增
∴f(x)的递增区间为
和(1,+∞),递减区间为
.
当x=-
时,f(x)有极大值为f
=
;
当x=1时,f(x)有极小值为f
(1)=-
.
已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点:
(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解;
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[再练一题]
2.已知函数f(x)=
x3-
(m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.
【解】 f′(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以导数f′(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,
如图所示.
所以
解得m>3,故实数m的取值范围是(3,+∞).
[探究共研型]
函数极值的综合应用
探究1 导数为0的点都是极值点吗?
【提示】 不一定,如f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.所以,当f′(x0)=0时,要判断x=x0是否为f(x)的极值点,还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反.
探究2 函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图318所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有几个极小值点?
图318
【提示】 一个.x1,x2,x3是极值点,其中x2是极小值点,x1,x3是极大值点.
探究3 函数y=f(x)在给定区间(a,b)内一定有极值点吗?
【提示】 不一定,若函数y=f(x)在区间(a,b)内是单调函数,就没有极值点.
已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
【精彩点拨】 求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,极小值小于0,由此可得a的取值范围.
【自主解答】 令f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,
解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f′(x)>0;
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- 第3章 12 函数的极值 函数 极值