[证明] 因为|x-1|<,|y-2|<,
所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<+=a.
故原不等式得证.
绝对不等式的解法
(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
图
[解]
(1)由题意得f(x)=
故y=f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,
当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=或x=5.
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3},
f(x)<-1的解集为.
所以|f(x)|>1的解集为.
[规律方法] 1.本题用零点分段法画出分段函数的图象,结合图象的直观性求出不等式的解集,体现数形结合思想的应用.
2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,零点分段法操作程序是:
找零点,分区间,分段讨论.此外还常利用绝对值的几何意义求解.
[变式训练1] 设函数f(x)=|x-a|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4-|x-1|;
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:
m+2n≥4.
[解]
(1)当a=2时,不等式为|x-2|+|x-1|≥4,
①当x≥2时,不等式可化为x-2+x-1≥4,解得x≥;
②当<x<时,不等式可化为2-x+x-1≥4,
不等式的解集为∅;
③当x≤时,不等式可化为2-x+1-x≥4,
解得x≤-.
综上可得,不等式的解集为∪.
(2)证明:
因为f(x)≤1,即|x-a|≤1,
解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,2].
所以解得a=1,
所以+=1(m>0,n>0),
所以m+2n=(m+2n)
=2++≥2+2=4,
当且仅当m=2,n=1时取等号.
绝对值三角不等式性质的应用
对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,记实数M的最大值是m.
(1)求m的值;
(2)解不等式|x-1|+|x-2|≤m.【导学号:
62172382】
[解]
(1)不等式|a+b|+|a-b|≥M·|a|恒成立,
即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值.
因为|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,
当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,
|a|≥|b|时,≥2成立,
也就是的最小值是2,即m=2.
(2)|x-1|+|x-2|≤2.
法一:
利用绝对值的意义得:
≤x≤.
法二:
①当x<1时,不等式为-(x-1)-(x-2)≤2,
解得x≥,所以x的取值范围是≤x<1.
②当1≤x≤2时,不等式为(x-1)-(x-2)≤2,
得x的取值范围是1≤x≤2.
③当x>2时,原不等式为(x-1)+(x-2)≤2,2<x≤.
综上可知,不等式的解集是.
[规律方法] 1.
(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件:
当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|;当(a-b)(b-c)≥0时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.
(2)对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.
2.第
(2)问易出现解集不全或错误.对于含绝对值的不等式,不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义,都要不重不漏.
[变式训练2] 对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围.
[解] 因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,
所以|3a-3b|≤3,≤,
所以|4a-3b+2|=
≤|3a-3b|++≤3++=6,
则|4a-3b+2|的最大值为6,
所以m≥|4a-3b+2|max=6,m的取值范围是[6,+∞).
绝对值不等式的综合应用
已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【导学号:
62172383】
[解]
(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1).因此△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>6,故a>2.
所以a的取值范围为(2,+∞).
[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决是常用的思维方法.
2.第
(2)问求解要抓住三点:
(1)分段讨论,去绝对值符号,化f(x)为分段函数;
(2)数形结合求△ABC的三个顶点坐标,进而得出△ABC的面积;(3)解不等式求a的取值范围.
[变式训练3] (2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,恒有f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
[解]
(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|(2x-a)+(1-2x)|+a=|1-a|+a,
当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3. ①
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
[思想与方法]
1.绝对值不等式的三种常用解法:
零点分段法,几何法(利用绝对值几何意义),构造函数法.前者体现了分类讨论思想,后者体现了数形结合思想的应用.
2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
[易错与防范]
1.利用绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求函数最值,要注意其中等号成立的条件.
2.形如|x-a|+|x-b|≥c(c>0)的不等式,在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断,若c≤0,则不等式解集为R.
课时分层训练(十八)
A组 基础达标
(建议用时:
30分钟)
1.已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].
(1)求m+n的值;
(2)若|x-a|<m,求证:
|x|<|a|+1.
[解]
(1)由不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1,
得1≤x≤2,
∴m=1,n=2,m+n=3.
(2)证明:
若|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1.
2.若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,求实数a的值.
【导学号:
62172384】
[解] 当a=-1时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意;
当a<-1时,f(x)=
f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,
解得a=-6;
当a>-1时,f(x)=
f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,
解得a=4.
综上所述,实数a的值为-6或4.
3.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
[解]
(1)当a=-3时,
不等式f(x)≥3化为|x-3|+|x-2|≥3.(*)
若x≤2时,由(*)式,得5-2x≥3,∴x≤1.
若2<x<3时,由(*)式知,解集为∅.
若x≥3时,由(*)式,得2x-5≥3,∴x≥4.
综上可知,f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}.
(2)原不等式等价于|x-4|-|x-2|≥|x+a|,(**)
当1≤x≤2时,(**)式化为4-x-(2-x)≥|x+a|,
解得-2-a≤x≤2-a.
由条件,[1,2]是f(x)≤|x-4|的解集的子集,
∴-2-a≤1且2≤2-a,则-3≤a≤0,
故满足条件的实数a的取值范围是[-3,0].
4.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:
当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
[解]
(1)f(x)=
当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
当-<x<时,f(