人教数学八年级上考点20与二次函数有关实际生活应用.docx
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人教数学八年级上考点20与二次函数有关实际生活应用
考点20与二次函数有关的实际生活应用
一、选择题
1.(2015·金华中考)图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有AC⊥轴.若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为()
A.米B.米C.米D.米
【答案】B
【解析】如图所示,∵OA=10,∴,把代入,得=,∴AC==.
2.(2015·铜仁中考)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为,当水面离桥拱顶的高度DO是4m时,这时水面宽度AB为()
A.-20mB.10mC.20mD.-10m
【答案】C
【解析】由已知水面离桥拱顶的高度DO是4m可知点B的纵坐标为-4,把y=-4代入,得,解得(负值舍去),所以这时水面宽度AB为20m.故选C.
二、填空题
1.(2015·朝阳中考)一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间具有函数关系h=at2+19.6t.已知足球被踢出后经过4s落地,则足球距地面最大高度是___________m.
【答案】19.6
【解析】∵足球被踢出后经过4s落地,∴当t=4时,h=0.∴16a+19.6×4=0,∴a=-4.9,∴h=-4.9t2+19.6t.∵a=-4.9<0,∴h有最大值.当t=-=2时,h有最大值,最大值为19.6.故答案为19.6.
2.(2015·莆田中考)用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形,则围成矩形面积的最大值是___________cm2.
【答案】64
【解析】先设矩形的长为xcm,则矩形的宽为(16-x)cm.矩形的面积为y=x(16-x),配方得.∵-1﹤0,∴当x=8时,y有最大值,最大值为64,故答案为64.
3.(2015·温州中考)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门,已知计划中的材料可建墙体总长为27m,则能建成的饲养室总占地面积最大为_________m2.
【答案】75
【解析】设饲养室的宽为x米,则长为(27-3x+3)米,则建成的饲养室总占地面积为y=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,当x=5时,y有最大值,最大值为75,∴能建成的饲养室总占地面积最大为75m2.
4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:
当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多卖出4件,当每件的定价为_________元时,该服装店平均每天的销售利润最大。
【答案】22
【解析】设当每件的定价为x元时,服装店平均每天的销售利润最大,设利润为y,则有,化成顶点式为,所以当x取22时,利润最大.故答案为22.
三、解答题
1.(2015·黄石中考)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召,利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店.该店购进一种今年新上市的饰品进行销售,饰品的进价为每件40元,售价为每件60元,每月可卖出300件.市场调查反映:
调整价格时,售价每涨1元每月要少卖10件;售价每下降1元每月要多卖20件.为了获得更大的利润,现将饰品售价调整为(60+x)元/件(x>0即售价上涨,x<0即售价下降),每月饰品销量为y(件),月利润为w(元).
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)如何确定销售价格才能使月利润最大?
求最大月利润;
(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格?
解:
(1)由题意可知y=
(2)由题意得w=
化简得w=
即w=
①当0≤x≤30,x=5时,w最大值为6250;
②当−20≤x<0,x=时,w最大值为6125.
由题意知x应取整数,故当x=−2或−3时,w<6125<6250.
故当销售价格为65元时,利润最大,最大利润为6250元.
(3)由题意知w≥6000,如图所示,令w=6000,则6000=-10(x-5)2+6250,,x1=−5,x2=0,x3=10,
∴−5≤x≤10,故将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6000元.
2.(2015·鄂州中考)鄂州市化工材料经销公司购进一种化工材料若干千克,价格为每千克30元,物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元.经市场调查发现,日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?
最大利润是多少元?
解:
(1)设y=kx+b,由题意得解得
∴y=-2x+200(30≤x≤60).
(2)由
(1)知y=-2x+200,∴w=(x-30)(-2x+200)-450=-2x2+260x-6450.
(3)由
(2)知w=-2x2+260x-6450,整理,得w=-2(x-65)2+2000.
∵-2<0,∴抛物线开口向下,当x<65时,y随x的增大而增大,
∵30≤x≤60,∴当x=60时,w有最大值,w最大=1950.
∴销售单价为60元时,该公司日获利最大,最大利润是1950元.
3.(2015·荆门中考)甲经销商库存有1200套A品牌服装,每套进价400元,每套售价500元,一年内可卖完.现市场流行B品牌服装,每套进价300元,每套售价600元,但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装,一年内B品牌服装销售无积压.因甲经销商无流动资金可用,只有低价转让A品牌服装,用转让来的资金购进B品牌服装,并销售.经与乙经销商协商,甲、乙双方达成转让协议.转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的关系式为y=-x+360(100≤x≤1200).若甲经销商转让x套A品牌服装,一年内所获总利润为W(元).
(1)求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q1(元)与x(套)之间的函数关系式;
(2)求B品牌服装的销售款Q2(元)与x(套)之间的函数关系式;
(3)求W(元)与x(套)之间的函数关系式,并求W的最大值.
解:
(1)由题意知Q1=500(1200-x)=-500x+600000(100≤x≤1200);
(2)由题意知Q2=×600=×600=-x2+720x(100≤x≤1200);
(3)根据
(1)
(2)可得W=Q1+Q2-400×1200=-500x+600000-x2+720x-480000
=-x2+220x+120000=-(x-550)2+180500.
当x=550时,W有最大值,最大值为180500元.
4.(2015·随州中考)如图所示,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:
m)与飞行时间t(单位:
s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?
最大高度是多少?
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:
m)与飞行时间t(单位:
s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?
解:
(1)由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),
∴解得a=-,c=,∴抛物线的解析式为y=-t2+5t+=-(t-)2+,∴当t=时,y最大=.答:
足球飞行的时间是s时,足球离地面最高,最大高度是m.
(2)把x=28代入x=10t,得28=10t,∴t=2.8,∴当t=2.8时,y=-×2.82+5×2.8+=2.25,2.25<2.44,∴他能将球直接射入球门.
5.(2015·襄阳中考)为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元,超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现:
当售价定为每盒45元时,每天可卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式;
(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大?
最大利润是多少?
(3)为稳定物价,有关管理部门限定:
这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?
解:
(1)由题意得y=700-20(x-45)=-20x+1600.
(2)由
(1)知y=-20x+1600,∴P=(x-40)(-20x+1600)==.
∵x≥45,a=-20<0,∴当x=60时,P最大值=8000.
即当每盒售价定为60元时,每天销售的利润最大,最大利润为8000元.
(3)由题意,得,解得,.
∵抛物线的开口向下,
∴当50≤x≤70时,每天销售粽子的利润不低于6000元.
又∵x≤58,∴50≤x≤58.
∵在y=-20x+1600中,k=-20<0,∴y随x的增大而减小.
∴当x=58时,=-20×58+1600=440.
即超市每天至少销售粽子440盒.
6.(2015·十堰中考)为支持国家南水北调工程建设,小王家由原来养殖户变为种植户.经市场调查得知,种植草莓不超过20亩时,所得利润y(元)与种植面积m(亩)满足关系式y=1500m;超过20亩时,y=1380m+2400.而当种植樱桃的面积不超过15亩时,每亩可获得利润1800元;超过15亩时,每亩获得利润z(元)与种植面积x(亩)之间的函数关系如下表(为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种).
x(亩)
20
25
30
35
z(元)
1700
1600
1500
1400
(1)设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为p元,直接写出p关于x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃,当种植樱桃面积x(亩)满足0<x<20时,求小王家总共获得的利润w(元)的最大值.
解:
(1)理由如下:
当x>15时,令z=kx+b,则解得
∴当x>15时,z=-20x+2100,当x=30时,z=1500;当x=35时,z=1400,
故z=-20x+2100,此时p=xz=x(-20x+2100)=-20x2+2100x.
(2)①当时,,
∴=.
∵420>0,∴随的增大而增大.
又,∴当时,w最大=420×15+57600=63900;
②当时,,
∴
=-20x2+720x+57600
=-20(x-18)2+64080.
∵-20<0,∴抛物线开口向下.又∵,
∴当时,符合题意.∵64080>63900,
∴小王家总共获得的利润的最大值为64080元.
7.(2015·邵阳中考)为了响应政府提出的由中国制造向中国创造型的号召,某公司自主设计了一款成本为40元可控温杯,并投放市场进行试销售,经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系:
y=-10x+1200.
(1)求出利润S(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润=销售额-成本);
(2)当销售单价定为多少时,该公司每天获取的利润最大?
最大利润是多少元?
解:
(1)根据题意得S=(x-40)y=(x
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