一次函数知识点总结和常见题型归类.docx
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一次函数知识点总结和常见题型归类.docx
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一次函数知识点总结和常见题型归类
基本概念
1、变量:
在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量:
在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题:
在匀速运动公式S二vt中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是,常量是。
在圆的周长公式C=2nr中,变量是
,常量是.
2、函数:
一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每
一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,
把y称为因变量,y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应
1
例题:
下列函数
(1)y=nx
(2)y=2x—1(3)y=—(4)y=-—3x(5)y=x2
x2
—1中,是一次函数的有()
(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个
P1161P872
3、定义域:
一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义
域。
4、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分
式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指
数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
例题:
下列函数中,自变量x的取值范围是x>2的是()
A.y=2_xB.y二」C.y=,4—x2D.y=,x2•、乙2
函数y’「5中自变量x的取值范围是.
已知函数y—,当—1:
:
:
X叮时,y的取值范围是()
53353535
A.yB.yC.yD.y<
22222222
5、函数的图像
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.例题:
P11756、函数解析式:
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析
式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:
列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:
描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:
连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
(画3个图像)
8函数的表示方法
列表法:
一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法:
简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的
相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
图象法:
形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
9、正比例函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k工0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系
数.
注:
正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b
取零
(1)
解析式:
y=kx
(k是常数,k工0)
⑵
必过点:
(0,
0)、(1,k)
⑶
走向:
k>0时,
图像经过一、三象限;
k<0时,
?
图像经过二、四象限
⑷
增减性:
k>0,
y随x的增大而增大;
k<0,y随x增大而减小
(5)
倾斜度:
|k|越大,越接近y轴;|k|
越小,越接近x
轴
例题:
.正比例函数y=(3m・5)x,当m
时,
y随x
的增大而增大.
若y二
:
x・2—3b是正比例函数,则b的值是
(
)
A.0
B.-
C.--
D.
3
3
3
2
.函数y=(k—1)x,y
随x增大而减小,则k
的范围是
()
A.
k:
:
0B.k
1C.k,D.
kc1
东方超市鲜鸡蛋每个0.4元,那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x(个)之间的函数关系式是.
平行四边形相邻的两边长为x、y,周长是30,则y与x的函数关系式是.
10、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k工0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:
一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b
取任意实数
(1)解析式:
y=kx+b(k、b是常数,k=0)
(2)必过点:
(0,b)和(一-,0)
k
(3)走向:
b>0
b<0
b=0
经过第一、二、三
经过第一、三、四
经过第一、三
象限
象限
象限
k>0
1厶
*
k<0
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
思考:
若mK0,n>0,则一次函数y=mx+n的图象不经过
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.
限
题型:
由k,b判断图像,由图像判断k,b
(4)增减性:
k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
(5)倾斜度:
|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于
)
第四象
(6)图像的平移:
(上加下减,左加右减)
例题:
若关于x的函数y=(nv)xm4是一次函数,则m=,n
.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是(
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
将直线y=3x向下平移5个单位,得到直线;将直线y=—x—5向
上平移5个单位,得到直线
若直线y=—x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m,8),则a+b=.
已知函数y=3x+1,当自变量增加m时,相应的函数值增加()
A.3m+1B.3mC.mD.3m-1
11、一次函数y=kx+b的图象的画法.
根据几何知识:
经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点
确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.
一般情况下:
是先选取它与两坐标轴的交点:
与y轴的交点(0,b),与x轴的交点(-?
0).即横坐标或纵坐标为0的点.
k
14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待
定系数为未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式
15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:
当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
16、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a工0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:
当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围.
17、一次函数与二元一次方程组
(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=_£x・E
bb
的图象相同.
(2)二元一次方程组任必小』"的解可以看作是两个一次函数y=_^x+9和
a2x+b2y=C2b1b1
y=—|lxC2的图象交点.
b?
b?
18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
一次函数y=kx+b的图象与两条坐标轴的交点:
与y轴的交点(0,b),与x轴的交点(一b,0).
k,
直线尸上涉Z0)与两坐标轴围成的三角形面积为s=1卡“鲁
常见题型
一、☆考察一次函数定义
.m2,_
1、若函数y=mTx3是y关于x的一次函数,贝Um的值为;解析
式为
2、要使y=(m—2)xn—1+n是关于x的一次函数,n,m应满
足,
二、☆考查图像性质
1、已知一次函数y=(m-2)x+m-3的图像经过第一,第三,第四象限,则m的
取值范围是.
2、已知m是整数,且一次函数^(m4)xm2的图象不过第二象限,则
为
直线y=kxb经过一、二、象限,则直线y=bx_k的图只能是图4中的()
5.
b为时,直线y=2xb与直线y=3x-4的交点在x轴上.
6.要得到y=—3x—4的图像,可把直线y=—-x().
22
(A)向左平移4个单位(B)向右平移4个单位(C)向上平移4个单位(D)
向下平移4个单位
7.已知一次函数y=—kx+5,如果点P1(xl,y1),P2(x2,y2)都在函数的图
像上,且当x1 1 8已知点(一4,y1),(2,y2)都在直线y=—空x+2上,贝Uy1、y2大小关 系是() 1、若直线y=3x—1与y=x—k的交点在第四象限,贝Uk的取值范围是(). (A)k (B)- 333 2、若直线y=_x•a和直线y=x•b的交点坐标为(m,8),则a•b=. 3、一次函数八kxb的图象过点(m,1)和(1,m)两点,且m・1,则k=,b的取值 范围是. ) 4、直线y二kxb经过点A(—1,m),B(m,1)(m1),则必有( 5、如图所示,已知正比例函数它们的图像都经过点P(a,交于Q点。 (1)求a、b的值; (2)求厶PQO勺面积。 四、☆面积问题 1、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S,则S等于() A.6B.12C.3D.24 2、若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b=. 3、已知一次函数y=2xa与y—xb的图像都经过A(-2,0),且与y轴分别交于点B,c,则ABC的面积为() A.4B.5C.6D.7 4、已知一次函数y=kx+b的图像经过点(一1,—5),且与正比例函数y=-x的 2 图像相交于点(2,3),求 (1)a的值; (2)k、b的值;(3)这两个函数图像与x轴所围成的三角形面积。 五、☆一次函数解析式的求法 (1)定义型例1.已知函数八(m_3)x宀3是一次函数,求其解析式。 (2)点斜型例2.已知一次函数八kx—3的图像过点(2,—1),求这个函数的解析式。 (3)两点型例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(一 2,0)、(0,4),则这个函数的解析式为。 (4)图像型例4.已知某个一次函数的图像如图所示,贝V该函数的解析式为 。 (5)斜截型例5.已知直线y二kxb与直线y=-2x平行,且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为。 (6)平移型例6.把直线^2x1向下平移2个单位得到的图像解析式 为。 (7)实际应用型 例7.某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为 0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系式 为。 (8)面积型例8.已知直线y=kx_4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4, 则直线解析式为。 (9)对称型例9.若直线I与直线y=2x—1关于y轴对称,则直线l的解析 式为。 知识归纳: 若直线I与直线y=kx•b关于 (1)x轴对称,则直线I的解析式为y=—kx—b (2)y轴对称,则直线I的解 析式为y=_kx•b (3)直线y=x对称,则直线I的解析式为y=1x—匕 kk (4)直线y=—x对称,则直线I的解析式为y kk (5)原点对称,则直线I的解析式为y=kx_b (10)开放型例10.一次函数的图像经过(一1,2)且函数y的值随x的增大而增大,请你写出一个符合上述条件的函数关系式 (11)比例型例11..已知y与x+2成正比例,且x=1时y=—6.求y与x之间的函数关系式 练习题: 1.已知直线y=3x—2,当x=1时,y= 2.已知直线经过点A(2,3),B(—1,—3),则直线解析式为 3•点(—1,2)在直线y=2x+4上吗? (填在或不在) 2 4.当m时,函数y=(m—2)xm+5是一次函数,此时函数解析式 为。 5.已知直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为6,则函数的解析式 为 6.已知变量y和x成正比例,且x=2时,y=—1,则y和x的函数关系式 为。 7.点(2,5)关于原点的对称点的坐标为;关于x轴对称的点的坐标 为;关于y轴对称的点的坐标为。 8.直线y=kx+2与x轴交于点(一1,0),贝Uk=。 9.直线y=2x—1与x轴的交点坐标为与y轴的交点坐 ^标。 k= 11.已知A(—1,2),B(1,—1),C(5,1),D(2,4),E(2,2),其中在直线y= —x+6上的点有,在直线y=3x—4上的点有 12.某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话,按通话时间收费,3 分钟内收费2.4元,以后每超过1分钟加收1元,若此人第一次通话t分钟 (3wtw45),贝UIC卡上所余的费用y(元)与t(分)之间的关系式是 13.某商店出售一种瓜子,其售价y(元)与瓜子质量x(千克)之间的关系如 质量x (千 克) 1 2 3 4 售价y 3.60+0.20 7.20+0.20 10.80+0.20 14.40+0.2 (元) 由上表得y与x之间的关系式是 14.已知: 一次函数的图象与正比例函数Y=—-X平行,且通过点(0,4), (1) 3 求一次函数的解析式. (2)若点M(—8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n的值 1 15.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(一1,—5),且与正比例函数y=qx 的图象相交于点(2,a),求 (1)a的值 (2)k,b的值 (3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积. 16.有两条直线y^axb,y^cx5c,学生甲解出它们的交点坐标为(3,—2),学生乙因把c抄错了而解出它们的交点坐标为(色丄),求这两条直线解析式 44 17.已知正比例函数y=kM的图象与一次函数y=k2X—9的图象交于点P(3,—6) (1)求ki,k2的值。 (2)如果一次函数y“2x—9与x轴交于点A,求A点坐标 18.某种拖拉机的油箱可储油40L,加满油并开始工作后,? 油箱中的余油量y (L)与工作时间x(h)之间为一次函数关系,如所示. (1)求y与x的函数解析式. (2)一箱油可供拖位机工作几小时? 一、☆分段函数 1、某自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量收费办法,若某户居民 应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示。 5 (1)写出y与x的函数关系式; 2、果农黄大伯进城卖菠萝,他先按某一价格卖出了一部分菠萝后,把剩下的菠萝全部降价卖完,卖出的菠萝的吨数x和他收入的钱数y(万元)的关系如图所示,结合图象回答下列问题: (1)降价前每千克菠萝的价格是多少元? (2)若降价后每千克菠萝的价格是1.6元,他这次卖菠萝的总收入是2万元, 问他一共卖了多少吨菠萝? 3、某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费: 每月不超 过100度时,按每度0.57元计费;每月用电超过100度时,其中的100度按原标准收费;超过部分按每度0.50元计费. (1)设用电X度时,应交电费y元,当xW100和x>100时,分别写出y关于x的函数关系式. (2)小王家第一季度交纳电费情况如下: 月份 一月份 二月份 三月份 合计 交费金额 76元 63元 45元6角 184元6 角 问小王家第一季度共用电多少度? 4、某校需要刻录一批电脑光盘,若电脑公司刻录,每张需要8元(含空白光盘 费);若学校自刻,除租用刻录机需120元外每张还需成本费4元(含空白光盘 费),问刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录费用少? 还是自刻费用少? 说明你的理由 二、☆一次函数应用 1、甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练.已知: 甲上山的速度是 米/分,下山的速度是b米/分,(a 2 是2b米/分.如果甲、乙二人同时从点A出发,时间为t(分),离开点A的路程为S(米),? 那么下面图象中,大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t(分)与离开点A的路程S(米)? 之间的函数关系的是() 2、如图7,A、B两站相距42千米,甲骑自行车匀速行驶,由A站经P处去B站,上午8时,甲位于距A站18千米处的P处,若再向前行驶15分钟,使可到达距A站22千米处.设甲从P处出发x小时,距A站y千米,则y与x之间的关系可用图象表示为() 图7 4、某油库有一大型储油罐,在开始的8分钟内,只开进油管,不开出油管,油 罐的油进至24吨(原油罐没储油)后将进油管和出油管同时打开16分钟,油罐 内的油从24吨增至40吨,随后又关闭进油管,只开出油管,直到将油罐内的油放完,假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变 (1)试分别写出这一段时间内油的储油量Q(吨)与进出油的时间t(分)的函 数关系式. (2)在同一坐标系中,画出这三个函数的图象. 5、甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥,已知甲库可调出100吨水泥,乙库可调出80吨水泥,A地需70吨水泥,B地需110吨水泥,两库到A,B两地的路程和运费如下表(表中运费栏“元/(吨、千米)”表示每吨水泥运送1千米所需 人民币) 路程/千米 运费(兀/吨、千米) 甲库 乙库 甲库 乙库 A地 20 15 12 12 B地 25 20 10 8 (1)设甲库运往A地水泥x吨,求总运费y(元)关于x(吨)的函数关系式,画出它的图象(草图). (2)当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时,总运费最省? 最省的总运费是多少? 6、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台,? 现在决定把这些机器支援给D市18台,E市10.已知: 从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元;从B? 市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元;从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元. (1)设从A市、B市各调x台到D市,当28台机器调运完毕后,求总运费 W(元)关于x(台)的函数关系式,并求W的最大值和最小值. (2)设从A市调x台到D市,B市调y台到D市,当28台机器调运完毕后,用x、y表示总运费W(兀),并求W的最大值和最小值. 7、某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者,果园基地对购买量 在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案,甲方案: 每千克9元,由基地送货上门。 乙方案: 每千克8元,由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。 (1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果质量x(千 克)之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围。 (2)依据购买量判断,选择哪种购买方案付款最少? 并说明理由。 &某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套,该公司所筹资金不 少于2090万元,但不超过2096万元,且所筹资金全部用于建房,两种户型的建 房成本和售价如下表: A B 成本(万兀/套) 25 28 售价(万兀/套) 30 34 注: 利润=售价—成本 (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大? (3)根据市场调查,每套B型住房的售价不会改变,每套A型住房的售价将会 提高a万元(a>0),且所建的两种住房可全部售出,该公司又将如何建房获得 利润最大?
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