第2讲 平行线的性质与判定基础班.docx
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第2讲平行线的性质与判定基础班
第2讲平行线的性质与判定
知识点1平行公理及推论
1.在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:
相交和平行.
直线a与直线b不相交时,直线a与b互相平行,记作a∥b.
2.平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
【典例】
例1(2020春•铁东区期中)若直线a∥b,a∥c,则直线b与c的位置关系是 .
【方法总结】
本题考查了平行公理及推论,利用了平行推论:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
例2(2020秋•玄武区校级期末)如图,已知OM∥a,ON∥a,所以点O、M、N三点共线的理由 .
【方法总结】
此题主要考查了平行公理,正确掌握平行公理是解题关键.
【随堂练习】
1.(2020春•焦作期末)下列说法中正确的个数有( )
①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
②经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行;
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短;
④两条直线相交,对顶角相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.(2020春•福田区校级期中)下列说法:
①相等的角是对顶角;②同位角相等;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离;其中正确的有( )个.
A.0B.1C.2D.3
知识点2平行线的判定
1.平行线的判定方法:
判定方法1两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成:
同位角相等,两直线平行.
如图1,∵∠4=∠2,∴a∥b.
判定方法2两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单说成:
内错角相等,两直线平行.
如图2,∵∠4=∠5,∴a∥b.
判定方法3两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单说成:
同旁内角互补,两直线平行.
如图3,∵∠4+∠1=180°,∴a∥b.
2.重要结论:
在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
注意:
条件“同一平面”不能缺少,否则结论不成立.
【典例】
例1(2020春•金平区期末)如图,是小明学习三线八角时制作的模具,经测量∠2=105°,要使木条a与b平行,则∠1的度数必须是 度.
【方法总结】
本题主要考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键,
例2(2020春•黄陵县期末)如图,将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动,可知直角边AB∥CD,依据是 .
【方法总结】
本题考查了平行线的判定,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行.
例3(2020春•新乡期末)如图,直线a,b被直线c所截,且∠1=67°.若要使直线a∥b,则∠2的度数是 .
【方法总结】
本题考查了平行线的判定,判定两条直线平行的方法与:
同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行;在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
【随堂练习】
1.(2020春•汕尾期末)如图,射线CA,直线BE交于点O,已知∠C=65°,请你添加一个条件 ,使得BE∥CD.
2.(2020春•天宁区校级期中)如图,直线c与a,b相交,∠1=40°,∠2=70°,要使直线a与b平行,直线a顺时针旋转的度数至少是 °.
3.(2020春•大化县期末)如图,∠1=40°,∠2=55°,∠3=85°,那么直线l1与l2平行吗?
为什么?
知识点3平行线的性质
平行线的性质:
性质1两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
简单说成:
两直线平行,同位角相等.
如图1,∵a∥b,∴∠4=∠2.
性质2两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.
简单说成:
两直线平行,内错角相等.
如图2,∵a∥b,∴∠4=∠5.
性质3两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简单说成:
同旁内角互补,两直线平行.
如图3,∵a∥b,∴∠4+∠1=180°.
【典例】
例1(2020春•恩平市期中)已知:
如图,AB∥CD,∠1=55°.求∠2、∠3、∠4的度数.
【方法总结】
本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
例2(2020春•西华县期中)如图所示,四边形ABCD中,AE平分∠DAB,AE∥CF,∠B=∠D=90°.求证:
CF平分∠BCD.
【方法总结】
本题主要考查了平行线的性质,多边形的内角和外角,角平分线的定义,熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键.
例3(2020春•英德市期中)直线AB∥CD,E为直线AB、CD之间的一点,完成以下问题:
(1)如图1,若∠B=15°,∠BED=90°,则∠D= ;
(2)如图2,若∠B=α,∠D=β,求出∠BED的度数(用a、β表示);
(3)如图3,若∠B=α,∠C=β,则a、β与∠BEC之间有什么等量关系?
请猜想证明.
【方法总结】
本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:
两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.
【随堂练习】
1.(2020春•太湖县期末)如图,AB∥CD,∠CAD=∠ACD,∠1=65°,则∠2的度数是( )
A.50°B.60°C.65°D.70°
2.(2020春•莲湖区期末)若将一块三角板按如图所示的方式放置,AB∥CD,∠GEF=30°,∠1=52°,则∠2的度数为( )
A.20°B.22°C.27°D.34°
3.(2020春•丹东期末)如图,AB∥CD,则下列等式正确的是( )
A.∠l=∠2+∠3B.∠l﹣∠2=180°﹣∠3
C.∠1﹣∠3=180°﹣∠2D.∠1+∠2+∠3=180°
4.(2020春•英德市期中)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=5,AB=4,AE平分∠BAD交BC边于点E,求CE的长.
知识点4平行线的判定与性质的综合运用
两直线平行
同位角相等.
两直线平行
内错角相等.
两直线平行
同旁内角互补.
“
”叫做“等价于”,即由左边能推出右边,由右边也能推出左边.
【典例】
例1(2020春•江夏区校级月考)如图,已知DB∥EC,∠C=∠D.求证:
AC∥DF.
【方法总结】
本题考查了平行线的性质和判定,能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键.
例2(2020秋•滨州月考)如图,点A是直线BE上的一点,∠C=∠CAD,AD平分∠CAE,∠B=35°,求∠BAC的大小.
【方法总结】
本题考查了平行线的性质和判定,角平分线的定义和三角形的内角和定理等知识点,能求出∠B=∠C是解此题的关键.
例3(2020春•丛台区校级期中)如图,∠1=135°,∠2=45°,∠3=108°,OK平分∠DOH,求∠KOH的度数.
【方法总结】
本题主要考查平行线的判定与性质,解题的关键是掌握平行线的判定与性质、邻补角和角平分线的定义.
【随堂练习】
1.(2020春•韶关期末)如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,CF平分∠DCE.
(1)试判断直线AE与BF有怎样的位置关系?
并说明理由;
(2)若∠1=80°,求∠3的度数.
2.(2020春•霞山区校级期中)如图,已知:
∠1=∠2=70°,∠D=50°,求∠AGE和∠B的度数.
3.(2020春•广陵区校级期中)在下列解题过程的空白处填上适当的推理理由或数学表达式:
如图,在△ABC中,已知∠ADE=∠B,∠1=∠2,FG⊥AB于点G.
求证:
CD⊥AB.
证明:
∵∠ADE=∠B(已知),
∴DE∥BC( ),
∵DE∥BC(已证),
∴ ,( )
又∵∠1=∠2(已知),
∴ ,( )
∴CD∥FG(同位角相等,两直线平行),
∴∠CDB=∠FGB(两直线平行,同位角相等),
∵FG⊥AB(已知),
∴∠FGB=90°(垂直的定义).
∴∠CDB=90°
∴CD⊥AB(垂直的定义).
知识点5命题、定理、证明
1.命题:
判断一件事情的语句叫做命题.
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.
2.真命题:
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.
假命题:
题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.
3.定理:
经过推理证实的真命题叫做定理.
判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.
4.判断一个命题是真命题,需要进行证明;判断一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例),它符合命题的题设,但不满足结论就可以了.
【典例】
例1下列各语句中,哪些是命题?
是命题的,请你先将它改写为:
“如果…那么…”的形式,再找出命题的条件和结论.
(1)画一个角等于已知角.
(2)互为相反数的两个数的和为0.
(3)当a=b时,有a2=b2.
(4)当a2=b2时,有a=b.
【方法总结】
本题考查的是命题的概念,判断一件事情的语句,叫做命题,命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.
例2(2020春•庆云县期中)下列各命题都成立,写出它们的逆命题,这些逆命题成立吗?
(1)同旁内角互补,两直线平行.
(2)如果两个角是直角,那么这两个角相等.
【方法总结】
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
【随堂练习】
1.(2020春•工业园区期末)命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
2.(2020春•常州期末)请写出命题“互为相反数的两个数和为零”的逆命题:
.
3.(2020春•海淀区校级期末)阅读下面材料:
判断一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例),它符合命题的题设,但不满足结论就可以了.
例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题,可以举出如下反例:
如图,OC是∠AOB的平分线,∠1=∠2,但它们不是对顶角.
请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等”是假命题.(要求:
画出相应的图形,并用文字语言或符号语言表述所举反例)
4.(2020春•泰州期末)如图,①AB∥CD,②BE平分∠ABD,③∠1+∠2=90°,④DE平分∠BDC.
(1)请以其中三个为条件,第四个为结论,写出一个命题;
(2)判断这个命题是否为真命题,并说明理由.
综合运用
1.下列说法:
①两点之间的距离是两点间的线段的长度;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③两点之间的所有连线中,线段最短;④若a⊥b,c⊥b,则a与b的关系是平行;⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线;其中正确的是______.
2.下列结论正确的是( )
A.同位角相等
B.同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线
C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
3.已知:
如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.求证:
ED∥FB.
4.如图,∠A=22°,∠E=30°,AC∥EF,则∠1的度数为_____.
5.如图,已知∠ABC+∠ECB=180°,∠P=∠Q.求证:
∠1=∠2.
6.如图,∠DAB+∠D=180°,AC平分∠DAB,且∠CAD=25°,求∠C的度数.
7.(2020春•牡丹区期末)已知:
如图,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,且∠a+∠β=90°.
求证:
AB∥CD.
8.(2020春•湘桥区期末)
(1)如图1,AB∥CD,∠AEP=40°,∠PFD=130°.求∠EPF的度数.
小明想到了以下方法(不完整),请填写以下结论的依据:
如图1,过点P作PM∥AB,
∴∠1=∠AEP=40°( )
∵AB∥CD,(已知)
∴PM∥CD,( )
∴∠2+∠PFD=180°.( )
∵∠PFD=130°,∴∠2=180°﹣130°=50°.
∴∠1+∠2=40°+50°=90°.
即∠EPF=90°.
(2)如图2,AB∥CD,点P在AB,CD外,问∠PEA,∠PFC,∠P之间有何数量关系?
请说明理由;
(3)如图3所示,在
(2)的条件下,已知∠P=α,∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,用含有α的式子表示∠G的度数是
α .(直接写出答案,不需要写出过程)
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