概率论与数理统计第4章作业题解.docx
- 文档编号:8610339
- 上传时间:2023-02-01
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:162.99KB
概率论与数理统计第4章作业题解.docx
《概率论与数理统计第4章作业题解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计第4章作业题解.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
概率论与数理统计第4章作业题解
第四章作业题解
甲、乙两台机床生产同一种零件,在一天内生产的次品数分别记为X和Y.已知X,Y的
概率分布如下表所示:
X
0
1
2
3
P
Y
0
1
23
P
0
如果两台机床的产量相同,问哪台机床生产的零件的质量较好
解:
E(X)00.410.320.230.11
E(Y)00.310.520.2300.9
因为E(X)E(Y),即乙机床的平均次品数比甲机床少,所以乙机床生产的零件质量较好。
E(X)
某人每次射击命中目标的概率为p,现连续向目标射击,直到第一次命中目标为止,求射击次数的期望.
解:
因为X的可能取值为1,2,……。
依题意,知X的分布律为
P(Xk)qk1p,q1p,k1,2,LL
(1
因为P(X
0)
C00.60
0.44
0.0256
P(X
1)
C10.61
0.43
0.1536
P(X
2)
C:
0.62
0.42
0.3456
P(X
3)
C:
0.63
0.41
0.3456
P(X
4)
C:
0.64
0.4°
0.1296
所以Y的分布律为
Y
0
15
30
55
100
P
在射击比赛中,每人射击4次,每次一发子弹.规定4弹全未中得0分,只中1弹得15分,中2弹得30分,中3弹得55分,中4弹得100分.某人每次射击的命中率为,此人期望能得到多少分
解:
设4次射击中命中目标的子弹数为X,得分为Y,则X~B(4,
故期望得分为
E(Y)00.0256150.1536300.3456550.34561000.1296
设随机变量X的概率分布为P{X
(1)k%获化,),说明X的期望不存
在。
概率均为•求途中遇到红灯次数的期望解:
设遇到红灯次数为X,依题意,知X~B(3,
故E(X)30.41.2
设随机变量X的概率密度函数为
X,0x1,
f(x)2x,1x2,求E(X).
0,其他
设随机变量X的概率密度函数为
ax,0x2,
f(x)bxc,2x4
设随机变量X的概率密度函数为f(x)
1
(1x2)
说明X的期望不
0,其他
又E(X)
2,P{1X
3
3},求常数a,b,c的值.
4
解:
由
f(x)dx1
24
oaxdx2(bxc)dx,得
2a6b2c
1
因为
E(X)
24
xf(x)dxxaxdxx(bx
w8
c)dxa
3
56,厂
b6c
3
①
所以,由
E(X)
2,得ia
56b
3
6c
2
又
2
3
3
5
P(1X
3)
1axdx
2(bx
c)dx
a
2
bc
2
由
3
3
5
3
P(1X
3)
■?
得—a
b
c
4
2
2
4
解联立方程①②③,得
a
1
b
—,c1
4,
4
存在•
解:
积分xf(x)dx
——吐于dx-°—i^dx,显然,积分发散,根据连续型随机
(1x)°1x
变量期望的定义,X的期望不存在
某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩X(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为
72分,96分以上的考生占考生总数的%.求考生外语成绩在6°分至84分之间的概率
设随机变量X的概率密度函数为
E(e2X)e2xf(x)dx
2x
e
xdx
3x
edx
E(Y)E(2X)2E(X)21
对球的直径做近似测量,设其值均匀分布在区间(a,b)内,求球体积的均值
游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行•设某一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处,且X~U[0,60],求该游
客等候时间的期望•
解:
用随机变量Y表示游客的等候时间伸位:
分钟),则Yg(X),其函数关系为
5
x,
0x
5,
25
x,
5x
25,
yg(x)
55
x,
25x
55,
65
x,
55x
60.
E(Y)E[g(X)]
525
0(5x)dx§(25x)dx
55
25(55x)dx
60
(65x)dx
55
70
6
由于X~U[0,60],根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为
设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
2
f(x,y)
12y,0yx1,
0,其他,
求E(X),E(Y),E(XY),E(X2Y2).
X
解:
因为,当0x1时,fX(x)f(x,y)dyo12y2dy4x3
122
当0y1时,fY(y)f(x,y)dxy12y2dx12y2(1y)
所以,E(X)
xfX(x)dx
13
x4xdx
0
4
5
12
3
E(Y)
yfY(y)dy
0y12y2(1
y)dy
5
1
x
2
E(XY)xyf(x,y)dxdyQdxoxy12ydy
4入
x3yodx
oVdx
E(X2)
E(Y2)
x2fX(x)dx
0x
4x3dx
1
y2fY(y)dy0y212y2(1y)dy
E(X2Y2)
E(X2)E(Y2)
2216
3515
4.17设随机变量X与Y相互独立,概率密度函数分别为
fx(X)
2x,
0,
0x1,和
其他,
fY(y)
0,
5,
5,
求E(XY).
解:
E(X)
xf(x)dx
1
x2xdx
0
E(Y)
yf(y)dy
5yI
5yedy
yd(
e5
y)
5y
ye
5yI
edy
e5
因为X和Y相互独立,所以
E(XY)
E(X)E(Y)
64.
4.18设二维随机向量(X,Y)服从圆域D{(x,y):
x2y2
R2}上的均匀分布,求
E(.X2Y2).
解:
根据二维随机向量的计算公式:
ECX2Y2)x2y2f(x,y)dxdy
x2
22
y2R2Xr2『dxdy,
此积分用极坐标计算较为方便,于是有
E(X2Y2)
12
R20
\2drd
0
2R
3
设随机变量X与Y相互独立,并且均服从U(0,
),求E(max{X,Y}).
解:
由于X服从U(0,),故其分布函数为
0,
x0,
Fx(x)
0x,同理,Y服从U(0,),故其分布函数为
1,
y0,
Fv(y)
于是根据公式3.7.5,max{X,Y}的分布函数为
1,
Fmax(z)
0,
2
z
~2,
1,
因此E(max{X,Y})=
0,
民航机场的一辆送客汽车每次载时没有旅客下车,就不停车的平均停车次数•解:
用随机变量
2z
求到后得密度函数fmax(z):
0,
其他.
2
Zfmax(Z)dZ-
3
20名旅客自机场开出,沿途有10个车站.若到达一个车站
.设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的,求汽车
X表示汽车的10个车站总的停车次数,并记
第i站有旅游下车,第i站无旅游
F车,「1'2丄,1°,
显然,Xi均服从两点分布,且
XX1X2LX10,于是有
1}1
20
920
P{Xi0}(亦)20,P{Xi
由此求得
E(Xi)1
200.8784,
E(X)10[1
20]8.784.
将一颗均匀的骰子连掷10次,
求所得点数之和的期望
解:
设Xi表示第i次掷出的点数
(i=1,2,…,10),
则掷10次骰子的点数之和为X
10
Xi。
i1
因为Xi的分布律为
P(Xi
k)
(k=1,2,…,6),
1
所以Eg16
1010.
故E(X)E(Xi)-10-35.
i1i122
在习题中,若直到命中目标n次为止,求射击次数的期望.
解:
设Xk是从第k1次命中目标到第k次命中目标之间的射击次数,Xk的分布律为
m1
P(Xkm)(1p)p,m1,2,LL,k1,2,LL
记随机变量XX1X2LXn,并且注意到随机变量X1,X2,LXn概率分布相同,因此
E(X)nE(XJ-
P-
求习题中随机变量X,Y的方差.
解:
由知E(X)1,E(Y)0.9,由知E(X2)2
又e(y2)
020.3120.5220.23201.3
故Var(X)
e(x2)
(ex)2
2
121
Var(Y)
e(y2)
(ey)2
1.3
0.920.49.
求习题中随机变量X的方差
设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
f(x,y)dy1罗dy专
求Var(X)和Var(Y).
解:
因为,当1x1时,fx(X)
即X~U(1,1)
1111
所以E(X)0,Var(X)-[1
(1)]23
1
由对称性得E(Y)0,Var(Y)-
设随机变量X~N(0,4),Y~U(0,4),并且X与丫相互独立,求Var(XY)和
Var(2X3Y).
解:
因为X~N(0,4),Y~U(0,4)
124
所以Var(X)4,Var(Y)(40)2—
123
又X和Y相互独立,故
416
Var(XY)Var(X)Var(Y)4-
33
4Var(2X3丫)4Var(X)9Var(Y)449—28.
3
设二维随机向量(X,Y)的概率分布如下表:
XY
-1
0
1
0
1
求Cov(X,Y).
解容易求得X的概率分布为:
P{X0}0.3,P{X1}0.7,
Y的概率分布为:
P{Y
1}0.4,P{Y0}
0.2,P{Y
1}
0.4,
XY的概率分布为:
P{XY1}P{X1,Y
1}0.3,P{XY
1}P{X
1,Y
1}
0.3,,
P{XY0}P{X0,Y
1}P{X0,Y
0}P{X
0,Y
1}
P{X1,Y0}0.4
于是有
E(X)00.310.70.7,
E(Y)
(1)0.400.210.40,
E(XY)
(1)0.300.410.30.
Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0.
设二维正态随机向量(X,Y)的概率密度函数为
1!
[!
(x4)2(y2)2]
f(x,y)2、3e23
x,
问X与Y是否互不相关
解:
二维随机变量(X,Y)具有概率密度的标准形式为:
f(x,y)——
21
1
2(15
—e
2
其中
均为常数,且
10,20,丨丨1,由此得到:
(X,Y):
N(4,2;3,1,0),因为
0,所以
X与Y互不相关。
设二维随机向量
(X,Y)的概率密度函数为
f(x,y)
xy
8
0,
0x2,0
y2,,求
XY・
解:
因为,当0
x2时,
所以E(X)
xf(x)dx
E(X2)x2f(x)dx
是Var(X)E(X2)
由对称性得E(Y)-
6
其他,
fx(X)
f(x,y)dy
2x
08
2
又因为E(XY)
21(x2
08
2x「dx1(
442
(EX)2
Var(Y)
2
y_
32
(青y)
3
.1/X
dx(
4
3
f)
572
5(6)2
11
36
11
36
xyf(x,y)dxdy
2
dx
0
xxy一08
3
y_
)dx
0
1
4
xx
)dx
3
所以
COV(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)
1
36
COV(X,Y)
1/36
XY
Var(X)Var(Y)
(11/36)(11/36)
1
11
设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
求Cov(X,Y)和XY.
设Var(X)
25,Var(Y)36,
XY0.4,求Var(XY)和Var(XY).
解:
由二维随机向量(X,Y)的概率密度函数积分,可以求得两个边缘密度:
xc
ex0,
0,其他’fY(y)
COV(X,Y)
COV(X,Y)
XY
Var(X)Var(Y)0.425
因为
Var(X
Y)
Var(X)
Var(Y)
2COV(X,Y)
所以
Var(X
Y)
25
36
212
85
Var(X
Y)
25
36
212
37
设X服从U(
0.5,0.5),Y
cosX,求
XY.
解:
由
得
XY
、Var(X)Var(Y)
解:
因X服从U(0.5,0.5),所以E(X)
0•于是有
3612
Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)E(XY).
XYXcosX是关于随机变量X的函数,根据求随机变量函数期望的法则,有
0.5
Cov(X,Y)05xcosxdx.又由于由于被积函数是奇函数,积分域关于原点对称,故此积
分为0,于是
XY
COV(X,Y)
Var(X)Var(Y)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 作业 题解