奶制品的生产与销售1.docx
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奶制品的生产与销售1.docx
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奶制品的生产与销售1
奶制品的生产与销售
摘要:
关键词:
奶制品生产与销售,线性规划
一、问题重述
问题一:
加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品,1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求,生产的A1、A2能全部售出,且每公斤A1获利24元,每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天正式工人总的劳动时间为480小时,并且设备甲每天至多能加工100公斤A1,设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产计划,使每天获利最大,并进一步讨论以下3个附加问题:
1)若用35元可以购买到1桶牛奶,应否作这项投资?
若投资,每天最多购买多少桶牛奶?
2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多是每小时几元?
3)由于市场需求变化,每公斤A1的获利增加到30元,应否改变生产计划?
问题二:
问题1给出的A1,A2两种奶制品的生产条件、利润,及工厂的“资源”限制全都不变。
为增加工厂的获利,开发了奶制品的深加工技术:
用2小时和3元加工费,可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1,也可以将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2,每公斤B1能获利44元,每公斤B2能获利32元。
试为该厂制定一个生产销售计划,使每天的净利润最大,并讨论一下问题
(1)若投资30元可以增加供应一桶牛奶,投资3元可以增加1小时劳动时间,应否做这些投资?
若每天投资150元,可赚回多少?
(2)每公斤高级奶制品B1,B2的获利经常有10%的波动,对制定的生产销售计划有无影响?
若每公斤B1获利下降10%,计划应该变化吗?
二、模型假设和符号说明
2.1模型假设
(1)假设A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数,每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数;
(2)假设A1,A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数,每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数;
(3)假设加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意常数。
2.2符号说明
A1,A2:
牛奶的两种类型
X1:
每天用于生产A1的牛奶的桶数
X2:
每天用于生产A2的牛奶的桶数
三、问题分析与模型建立
问题一:
数学模型设每天用x1桶牛奶生产A1,用x2桶牛奶生产A2
目标函数设每天获利为z元。
x1桶牛奶可生产3x1公斤A1,获利24*3x1,x2桶牛奶可生产4x2公斤A2,获利16*4x2,故z=72x1+64x2
约束条件
原料供应生产A1、A2的原料(牛奶)总量不超过每天的供应50桶,即
x1+x2≤50
劳动时间生产A1、A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时,即12x1+8x2≤480
设备能力A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时,即
3x1≤100
非负约束x1、x2均不能为负值,即x1≥0,x2≥0
综上所述可得
Maxz=72x1+64x2
(1)
s.t.x1+x2≤50
(2)
12x1+8x2≤480(3)
3x1≤100(4)
x1≥0,x2≥0(5)
问题二:
数学模型:
设每天销售X1公斤A1,X2公斤A2,X3公斤B1,X4公斤B2,用X5公斤A1加工B1,X6公斤A2加工B2(增设X5,X6可使模型简单)。
目标函数:
设每天净利润为z,容易写出目标函数:
z=24X1+16X2+44X3+32X4-3X5-3X6
约束条件:
原料供应:
A1每天生产X1+X5公斤,用牛奶(X1+X5)/3桶,A2每天生产X2+X6公斤,用牛奶(X2+X6)/4桶,二者之和不得超过每天的供应量50桶。
即(X1+X5)/3+(X2+X6)/4≦50
劳动时间:
每天生产A1,A2的时间分别为4(X1+X5)和2(X2+X6),加工B1,B2的时间分别为2X5和2X6,两者之和不得超过总的劳动时间480小时。
设备能力:
A1的产量X1+X5不能超过甲类设备每天的加工能力100公斤。
非负约束:
X1,X2…X6均为负。
附加约束:
1公斤A1加工成0.8公斤B1,故X3=0.8X5,类似的X4=0.75X6
综上所述有:
Maxz=24x1+16x2+44x3-3x5-3x6(6)
(x1+x5)/3+(x2+x6)/4≦50(7)
4(x1+x5)+2(x2+x6)+2x5+2x6≦480(8)
x1+x5≦100(9)
x3=0.8x5(10)
x4=0.75x6(11)
x1,x2,x3,x4,x5,x6≧0(12)
四、模型求解
问题一:
用鼠标单击菜单中的求解命令(SOLVE)就可以得到解答,结果窗口显示如下:
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1)3360.000
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X120.0000000.000000
X230.0000000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2)0.00000048.000000
3)0.0000002.000000
4)40.0000000.000000
NO.ITERATIONS=2
计算结果分析:
“LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2”表示单纯形法在两次迭代(旋转)后得到最优解。
“OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000”表示最优目标值为3360.000(LINDO中将目标函数自动看作第1行,从第二行开始才是真正的约束条件)。
“VALUE”给出最优解中各变量(VARIABLE)的值:
x1=20.000000,x2=30.000000。
“REDUCEDCOST”的含义是(对MAX型问题):
基变量的REDUCEDCOST值为0,对于非基变量,相应的REDUCEDCOST值表示当非基变量增加一个单位时(其它非基变量保持不变)目标函数减少的量。
本例中两个变量都是基变量。
“SLACKORSURPLUS”给出松弛(或剩余)变量的值,表示约束是否取等式约束;第2、第3行松弛变量均为0,说明对于最优解而言,两个约束均取等式约束;第4行松弛变量为40.000000,说明对于最优解而言,这个约束取不等式约束。
“DUALPRICES”给出约束的影子价格(也称为对偶价格)的值:
第2、第3、第4行(约束)对应的影子价格分别48.000000,2.000000,0.000000。
敏感性分析:
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X172.00000024.0000008.000000
X264.0000008.00000016.000000
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
250.00000010.0000006.666667
3480.00000053.33333280.000000
4100.000000INFINITY40.000000
“GURRENTCOEF“(敏感性分析)的“ALLOWABLEINCREASE”(允许的增加量)和“ALLOWABLEDECREASE”(允许的减少量)给出了最优解不变条件下目标函数系数的允许变化范围:
X1的系数为(72-8,72+24)即(64,96)。
并且,x1系数的允许范围需要x2的系数保持64不变。
X2的系数为(64-16,64+8)即(48,72)。
同理,x2系数的允许范围需要x1的系数保持72不变。
“CURRENTRHS”则是对“影子价格”的进一步约束。
牛奶的需求量满足(50-6,50+10)即(44,60)。
并且,牛奶的允许范围需要劳动时间保持480小时不变。
劳动时间的需求量满足(480-80,480+53)即(400,533)。
同理,劳动时间的允许范围需要牛奶的用量保持50桶不变。
对附加问题的回答:
(1)因为一桶牛奶的影子价格为48,35<48,所以应该进行这个投资。
另外,在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明,每天最多购买10桶牛奶。
(2)因为一个小时的劳动时间的影子价格为2,所以付给临时工人的工资最多是每小时2。
另外,在敏感性分析中对“影子价格”的进一步分析表明,每天最多增加劳动时间53小时。
(3)若每公斤A1的获利增加到三十元,则X1系数变为90,根据计算结果分析,X1的允许范围为(64,96)在允许范围内,所以不应该改变生产计划
问题二:
用鼠标单击菜单中的求解命令(SOLVE)就可以得到解答,结果窗口显示如下:
五、模型的优缺点分析
附件1模型源代码
max72x1+64x2
st
2)x1+x2<50
3)12x1+8x2<480
4)3x1<100
附件2.模型答案
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1)3360.000
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X120.0000000.000000
X230.0000000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2)0.00000048.000000
3)0.0000002.000000
4)40.0000000.000000
NO.ITERATIONS=2
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X172.00000024.0000008.000000
X264.0000008.00000016.000000
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
250.00000010.0000006.666667
3480.00000053.33333280.000000
4100.000000INFINITY40.000000
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1)3360.000
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X120.0000000.000000
X230.0000000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2)0.00000048.000000
3)0.0000002.000000
4)40.0000000.000000
NO.ITERATIONS=2
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X172.00000024.0000008.000000
X264.0000008.00000016.000000
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
250.00000010.0000006.666667
3480.00000053.33333280.000000
4100.000000INFINITY40.000000
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- 奶制品 生产 销售