华罗庚学校思维训练导引四年级.docx
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华罗庚学校思维训练导引四年级
第01讲 计算问题第03讲 整数与数列
1、如图1-1所示的表中有55个数,那么它们的和加上多少才等于1994?
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61
2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62
3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63
4 10 16 22 28 34 40 46 52 58 64
5 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65
解答:
它们的和=3×5+9×5+15×5+21×5+27×5+33×5+39×5+45×5+51×5+57×5+63×5
=(33×11)×5
=1815
[或者:
它们的和=(31+32+33+34+35)×11=1815]
1994-1815=179
答:
它们的和加上179才等于1994。
2、计算:
1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。
解答:
1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101
=(1000+999-998-997)+(996+995-994-993)+……+(108+107-106-105)+(104+193-102-101)
=4+4+……+4+4
=[(1000-101)÷1+1]÷4×4
=900
3、计算:
(1+3+5+……+1989)-(2+4+6+……+1988)。
解答:
(1+3+5+……+1989)-(2+4+6+……+1988)
=1+(3-2)+(5-4)+……+(1989-1988)
=1+1×(1989-1)÷2
=1+994
=995
4、利用公式l×l+2×2+……+n×n=n×(n+1)×(2×n+1)÷6,计算:
15×15+16×16+……+21×21。
解答:
15×15+16×16+……+21×21
=21×(21+1)×(2×21+1)÷6-14×(14+1)×(2×14+1)÷6
=3311-1015
=2296
5、计算:
20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。
解答:
20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1
=(20+19)×(20-19)+(18+17)×(18-17)+……+(2+1)×(2-1)
=210
6、计算:
3333×5555+6×4444×2222。
解答:
3333×5555+6×4444×2222
=3×1111×5×1111+6×1111×4×2×1111
=15×1111×1111+48×1111×1111
=(15+48)×1111×1111
=63×1111×1111
=7×9×1111×1111
=9999×7777
=(10000-1)×7777
=77770000-7777
=77762223
7、计算:
19931993×2×2。
解答:
19931993×2×2
=19931993×1993-(19931992×1992+19931992)
=19931993×2×(1992+1)
=19931993×2×1993
=1993×(19932)
=1993
8、两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?
解答:
1111111111×9999999999
=1111111111×(10000000000-1)
=1111111111000000111
=11111111
有10个奇数
答:
乘积中有10个数字是奇数。
9、我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数。
已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积,那么这两个奇数的和是多少?
解答:
1111155555=11111×100005=11111×3×33335=33333×33335,33333+33335=66668
答:
这两个奇数的和是66668。
10、求和:
l×2+2×3+3×4+……+9×10。
解答:
l×2+2×3+3×4+……+9×10
=(1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5+……+9×10×11-8×9×10)÷3
=9×10×11÷3
=3×10×11
=330
11、计算:
1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8。
解答:
1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8
=1!
+2×2!
+3×3!
+4×4!
+5×5!
6×6!
+7×7!
+8×8!
=(2!
-1!
)+(3!
-2!
)+(4!
-3!
)+(5!
-4!
)+(6!
-5!
)+(7!
-6!
)+(8!
-7!
)+(9!
-8!
)
=9!
-1!
=1×2×3×4×5×6×7×8×9-1
=362879
12、在两个数之间写上一个?
,用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数,例如:
13?
5=3,6?
2=0.试计算:
(2000?
49)?
9.
解答:
2000?
49=40,40?
9=4
答:
计算结果是4。
13、羊和狼在一起时,狼要吃掉羊。
所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用△表示:
羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼。
以上运算的意思是:
羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示:
羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼。
这个运算的意思是:
羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊和狼,可以用上面规定的运算作混合运算。
混合运算的法则是从左到右,括号内先算。
羊△(狼☆羊)☆羊△(狼☆狼)。
解答:
羊△(狼☆羊)☆羊△(狼☆狼)
=羊△羊☆羊△狼
=羊☆羊△狼
=羊△狼
=狼
答:
运算结果是狼。
14、对于自然数1,2,3,…,100中的每一个数,把它非零数字相乘,得到100个乘积(例如23,积为2×3=6;如果一个数仅有一个非零数字,那么这个数就算作积,例如与100相应的积为1)。
问:
这100个乘积之和为多少?
解答:
1,2,……,9,和是45;11,12,……,19,和是1×45;21,22,……,29,和是2×45;……;91,92,……,99,和是9×45;10,20,……,90,和是45;100的为1。
总和是(1+1+2+3+……+9+1)×45+1
=47×45+1
=2116
答:
这100个乘积之和是2116。
15、从1到1989这些自然数中的所有数字之和是多少?
解答:
把1到1998之间的所有自然数,都表示成四位数字的形式:
0001,0002,0003,……,1989,……,1996,1997,1998。
从两头开始配对组合:
(0001+1998),(0002+1997),(0003+1996),……共999对。
每对的四位数字之和都是1+9+9+9=28,所以1到1998的数字和是28×999=27972。
多算了1990到1998的数字和,即多算了1×9+9×9+9×9+1+2+3+4+5+6+7+8=207。
27972-207=27765
答:
从1到1989这些自然数中的所有数字之和是27765。
第02讲 应用题第07讲 和差倍问题之三
1.四年级有4个班,不算甲班其余三个班的总人数是131人;不算丁班其余三个班的总人数是134人;乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人,问这四个班共有多少人?
解答:
由“不算甲班其余三个班的总人数是131人;不算丁班其余三个班的总人数是134人”得到131+134=265,这265人包括1个甲班和1个丁班,以及2个乙班和2个丙的总和,又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人,所以用265-1=264就刚好是3个乙班和3个丙班之和,264÷3=88,就是说乙、丙两个班的和是88人,那么,甲、丁两个班的和就是88+1=89人。
所以,四个班的和是88+89=177人。
2.有四个数,其中每三个数的和分别是45,46,49,52,那么这四个数中最小的一个数是多少?
解答:
把4个数全加起来就是每个数都加了3遍,所以,这四个数的和等于(45+46+49+52)÷3=64。
用总数减去最大的三数之和,就是这四个数中的最小数,即64-52=12。
3.在一个两位数之间插入一个数字,就变成一个三位数。
例如:
在72中间插入数字6,就变成了762。
有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍,求出所有这样的两位数。
解答:
两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍,即这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位,那么个位只能是0或5。
如果是0,显然不行。
因为20×9=180,30×9=270,......所以个位只能是5。
试验得到:
15,25,35,45是满足要求的数。
4.某班买来单价为0.5元的练习本若干,如果将这些练习本只给女生,平均每人可得15本;如果将这些练习本只给男生,平均每人可得10本。
那么,将这些练习本平均分给全班同学,每人应付多少钱?
解答:
这题要求的是“平均分给全班同学,每人应付多少钱”,我们可以用设数法来求解。
假设班上有2个女生,那么就是一共有30个练习本,这30本“只给男生,平均每人可得10本”,说明男生有3个。
那么,分给全部按同学,每人得30/(2+3)=6本,因此每人应该付6本练习本的钱,即每人要付3元钱。
5.动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒;如只分给第二群,则每只猴子可得15粒;如只分给第三群,则每只猴子可得20粒,那么平均分给三群猴子,每只可得多少粒?
解答:
由题意可知,花生总数必定是12、15、20的倍数。
同上题一样,我们也可以用设数法。
假设共有花生12*15*20粒,那么第一群猴子有15*20只,第二群猴子有12*20只,第三群猴子有12*15只,即共有(15*20+12*20+12*15)只猴子,12*15*20/(15*20+12*20+12*15)=5,所以平均分给三群猴子,每个猴子可得5粒。
注:
如果懂得最小公倍数,那么应该设花生总数为60粒,这样,计算就方便很多。
6.一个整数,减去它被5除后余数的4倍是154,那么原来整数是多少?
解答:
被除数除以除数,余数肯定小于除数。
所以,余数只可能是0、1、2、3、4,
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- 华罗庚 学校 思维 训练 导引 四年级