江苏六市届高三数学第二次调研试题理科附答案.docx
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江苏六市届高三数学第二次调研试题理科附答案
江苏六市2018届高三数学3月第二次调研试题(理科附答案)
2018届高三第二次调研测试
南通、徐州、扬州、宿迁、淮安等六市
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合,则▲.
【答案】
2.已知复数,其中为虚数单位.若为纯虚数,则实数a的值为▲.
【答案】
3.某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间上,其频率分布直方图如图
所示,则成绩不低于60分的人数为▲.
【答案】30
4.如图是一个算法流程图,则输出的的值为▲.
【答案】125
5.在长为12cm的线段AB上任取一点C,以线段AC,BC为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32cm2的概率为▲.
【答案】13
6.在中,已知,则的长为▲.
【答案】
7.在平面直角坐标系中,已知双曲线与双曲线有公共的渐近线,且经过
点,则双曲线的焦距为▲.
【答案】
8.在平面直角坐标系xOy中,已知角的始边均为x轴的非负半轴,终边分别经过点
,,则的值为▲.
【答案】
9.设等比数列的前n项和为.若成等差数列,且,则的值为
▲.
【答案】
10.已知均为正数,且,则的最小值为▲.
【答案】8
11.在平面直角坐标系xOy中,若动圆上的点都在不等式组表示的平面
区域内,则面积最大的为▲.
【答案】
12.设函数(其中为自然对数的底数)有3个不同的零点,
则实数的取值范围是▲.
【答案】
13.在平面四边形中,已知,则的值为▲.
【答案】10
14.已知为常数,函数的最小值为,则的所有值为▲.
【答案】
填空题要求:
第6题:
答案写成,复合根式也算正确。
第11题:
题目要求“圆的标准方程”,写成圆的一般方程不给分,不配方不给分。
第12题:
写成或者也算正确。
第14题:
两解缺一不可,只有一个正确不给分。
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.
15.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,设向量,,
.
(1)若,求的值;
(2)设,,且,求的值.
解:
(1)因为,,,
所以,
且.……2分
因为,所以,即a22abb21,………4分
所以,即.……6分
(2)因为,所以.
依题意,.……8分
因为,所以.……10分
化简得,,所以.……12分
因为,所以.
所以,即.……14分
注意:
1.与a22abb21,每个2分,没有先后顺序。
2.不写“”扣1分。
16.(本小题满分14分)
如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,点E,F分别在棱BB1,CC1上(均异
于端点),且∠ABE∠ACF,AE⊥BB1,AF⊥CC1.
求证:
(1)平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)BC//平面AEF.
证明:
(1)在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1//CC1.
因为AF⊥CC1,所以AF⊥BB1.……2分
又AE⊥BB1,AEAF,AE,AF平面AEF,
所以BB1⊥平面AEF.……5分
又因为BB1平面BB1C1C,所以平面AEF⊥平面BB1C1C.……7分
(2)因为AE⊥BB1,AF⊥CC1,∠ABE∠ACF,ABAC,
所以△AEB≌△AFC.
所以BECF.……9分
又由
(1)知,BECF.
所以四边形BEFC是平行四边形.
从而BCEF.……11分
又BC平面AEF,EF平面AEF,(三个条件缺一不可)
所以BC//平面AEF.……14分
注意:
1.缺少“在三棱柱ABCA1B1C1中”或者写成“由题意知”都不行,没有就扣掉7分,采取“突然死亡法”,严格标准;
2.“5分点”中五个条件缺一不可,缺少任何一个条件扣掉该逻辑段以及本小题后续分值,共计5分。
3.“14分点”中三个条件缺一不可,缺少任何一个条件扣掉该逻辑段得分,共计3分。
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,B1,B2是椭圆的短轴端点,P是
椭圆上异于点B1,B2的一动点.当直线PB1的方程为时,线段PB1的长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点Q满足:
.求证:
△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值.
解:
设,.
(1)在中,令,得,从而b3.……2分
由得.
所以.……4分
因为,所以,解得.
所以椭圆的标准方程为.……6分
(2)方法一:
直线PB1的斜率为,
由所以直线QB1的斜率为.
于是直线QB1的方程为:
.
同理,QB2的方程为:
.……8分
联立两直线方程,消去y,得.……10分
因为在椭圆上,所以,从而.
所以.……12分
所以.……14分
方法二:
设直线PB1,PB2的斜率为k,,则直线PB1的方程为.
由直线QB1的方程为.
将代入,得,
因为P是椭圆上异于点B1,B2的点,所以,从而.……8分
因为在椭圆上,所以,从而.
所以,得.……10分
由,所以直线的方程为.
联立则,即.……12分
所以.……14分
18.(本小题满分16分)
将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿
虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案:
方案①:
以为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为
圆柱的两个底面;
方案②:
以为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方
形(各边分别与或垂直)作为正四棱柱的两个底面.
(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;
(2)设的长为dm,则当为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
解:
(1)设所得圆柱的半径为dm,
则,……4分
解得.……6分
(2)设所得正四棱柱的底面边长为dm,
则即……9分
方法一:
所得正四棱柱的体积……11分
记函数
则在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,.
所以当,时,dm3.……14分
方法二:
,从而.……11分
所得正四棱柱的体积.
所以当,时,dm3.……14分
答:
(1)圆柱的底面半径为dm;
(2)当为时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大.……16分
注意:
1.直接“由得,时正四棱柱的体积最大”,只给结果得分,即2分;
2.方法一中的求解过程要体现,凡写成的最多得5分,
方法二类似解答参照给分.
19.(本小题满分16分)
设等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q,等差数列b1,b2,b3,b4的公差为d,且.
记(i1,2,3,4).
(1)求证:
数列不是等差数列;
(2)设,.若数列是等比数列,求b2关于d的函数关系式及其定义域;
(3)数列能否为等比数列?
并说明理由.
解:
(1)假设数列是等差数列,
则,即.
因为是等差数列,所以.从而.……2分
又因为是等比数列,所以.
所以,这与矛盾,从而假设不成立.
所以数列不是等差数列.……4分
(2)因为,,所以.
因为,所以,即,…6分
由,得,所以且.
又,所以,定义域为.……8分
(3)方法一:
设c1,c2,c3,c4成等比数列,其公比为q1,
则……10分
将①+③-2×②得,
将②+④-2×③得,……12分
因为,,由⑤得,.
由⑤⑥得,从而.……14分
代入①得.
再代入②,得,与矛盾.
所以c1,c2,c3,c4不成等比数列.……16分
方法二:
假设数列是等比数列,则.……10分
所以,即.
两边同时减1得,.……12分
因为等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q,所以.
又,所以,即.
……14分
这与且矛盾,所以假设不成立.
所以数列不能为等比数列.……16分
注意:
定义域为,缺一不可,缺少一个或者写错一个均扣掉2分。
20.(本小题满分16分)
设函数.
(1)若函数是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;
(2)设,是的导函数.
①若对任意的,求证:
存在使;
②若,求证:
.
解:
(1)由题意,对恒成立,……1分
因为,所以对恒成立,
因为,所以,从而.……3分
(2)①,所以.
若,则存在,使,不合题意,
所以.……5分
取,则.
此时.
所以存在,使.……8分
②依题意,不妨设,令,则.
由
(1)知函数单调递增,所以.
从而.……10分
因为,所以,
所以.
所以.……12分
下面证明,即证明,只要证明.
设,所以在恒成立.
所以在单调递减,故,从而得证.
所以,即.……16分
注意:
1.求导正确即给1分,。
2.
(2)①中可以,也可以。
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.
若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:
几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,A,B,C是⊙O上的3个不同的点,半径OA交弦BC于点D.
求证:
.
证明:
延长交⊙O于点E,
则.……5分
因为,
所以.
所以.……10分
B.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知.设变换,对应的矩
阵分别为,,求对△ABC依次实施变换,后所得图形的面积.
解:
依题意,依次实施变换,所对应的矩阵.…5分
则,,.
所以分别变为点.
从而所得图形的面积为.……10分
C.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,求以点为圆心且与直线:
相切的圆的极坐标
方程.
解:
以极点为原点,极轴为轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.
则点的直角坐标为.……2分
将直线:
的方程变形为:
,
化为普通方程得,.……5分
所以到直线:
的距离为:
.
故所求圆的普通方程为.……8分
化为极坐标方程得,.……10分
注意:
结果写成也算正确,不扣分。
D.[选修4-5:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知a,b,c为正实数,且,求证:
.
证明:
因为a,b,c为正实数,
所以
(当且仅当取“=”).……10分
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:
由电脑随机生成一张如图所示的33表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击3格,记中奖的总金额为X元.
(1)求概率;
(2)求的概率分布及数学期望.
解:
(1)从33表格中随机不重复地点击3格,共有种不同情形.
则事件:
“”包含两类情形:
第一类是3格各得奖200元;
第二类是1格得奖300元,一格得奖200元,一格得奖100元,
其中第一类包含种情形,第二类包含种情形.
所以.……3分
(2)X的所有可能值为300,400,500,600,700.
则,,
,.
所以的概率分布列为:
X300400500600700
P
……8分
所以(元).
……10分
注意:
1.只要有,就得3分,不一定非常书写很详细;
2.,,,.每个正确给1分,都正确给5分。
23.(本小题满分10分)
已知…,.记.
(1)求的值;
(2)化简的表达式,并证明:
对任意的,都能被整除.
解:
由二项式定理,得(i0,1,2,…,2n+1).
(1);……2分
(2)因为
,……4分
所以
.……8分
.
因为,所以能被整除.……10分
注意:
只要得出,就给8分,不必要看过程。
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