三角形压轴题.docx

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三角形压轴题

三角形全等练习4

一、解答题

1．以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE．

（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；

（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；

（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，

（1）、

（2）中的结论是否仍成立？

请说明理由．

2．（12分）（2015秋•万州区期末）在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）如图1，若D是BC边上的中点，∠A=45°，DF=3，求AC的长；

（2）如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：

BG=DE+DF；

（3）在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明．

3．（2015秋•大石桥市期中）如图：

（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？

并证明你的猜想．

（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，

（1）中所得的结论还成立吗？

请你在图

（2）中完成图形，并给予证明．

4．

（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．求证：

AD=BE．

（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．

①求证：

2CM+BE=AE；

②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？

若不成立，写出它们之间的数量关系．

5．如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．

（1）如图1，填空∠B=°，∠C=°；

（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2

①求证：

△ANE是等腰三角形；

②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

6．（9分）探究题：

如图：

（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P在边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？

请证明你的结论；

（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条

件不变，如图

（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图

（2）的情形，

求证：

∠BQP=60°；

（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？

写出证明过程．

7．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M。

请探究：

（1）如图（１），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论。

（2）如图

（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（１）中的结论还成立吗？

如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；

（3）如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝２BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系。

8．

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：

BD=DF．

（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？

并证明这种关系．

（3）如图3，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？

请写出你的猜想．（不需证明）

9．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点D，E分别在AB，BC上，且∠CDE=90°．当BE=2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？

若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．

小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将解决问题．

请回答：

（1）小明发现的与CD相等的线段是．

（2）证明小明发现的结论；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（3）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，BD=2DC，点E在AD上，且∠BEC=135°，求

的值．

10．

（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：

BE=AD；

（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD，BE和CF交于点P，下列结论正确的是（只填序号即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；

（3）如图2，在

（2）的条件下，求证：

PB+PC+PD=BE．

11．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?

请写出你的猜想并证明；

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?

请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。

12．（本题8分）如图，点C、E、B和F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF．

求证：

（1）△ABC≌△DEF；

（2）AB∥ED．

13．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5.

（1）求BC的长；

（2）求证：

BD＝CD.

14．如图，在

中，

，

是

的垂直平分线，交

于点

，交

于点

．

（1）、若∠BAE=200，求

的度数。

（2）、若AB=6，AC=10，求BE的长。

15．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE=30°，DE交AC于点E．

（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是直角三角形；

（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？

若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．

16．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O．

（1）求证：

OB=OC；

（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．

17．已知两个共一个顶点的等腰直角△ABC和等腰直角△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：

MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：

BM=ME．

18．如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD=BD，∠ADC=80°．

（1）求∠B的度数；

（2）若∠BAC=70°，判断△ABC的形状，并说明理由．

19．如图，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC于点D，在△ABC外作∠CAE=∠CBD，过点C作CE⊥AE于点E.如果∠BCE=

，求∠BAC的度数.

20．如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．

（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；

（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；

（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

21．如图，已知△ABC中AB＝AC，BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，连接AD.

（1）当∠BAC＝50°时，求∠BDC的度数；

（2）请直接写出∠BAC与∠BDC的数量关系；

（3）求证：

AD∥BE.

22．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，AD=DC=2，

（1）求AC的长；

（2）求△ABC的面积．

23．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长．

24．如图，在

中，

，

是

的垂直平分线，交

于点

，交

于点

．

（1）、若∠BAE=200，求

的度数。

（2）、若AB=6，AC=10，求BE的长。

25．如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．

（1）求∠BDF的度数

（2）求AB的长．