理论力学课后习题答案 第7章 质点动力学.docx
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理论力学课后习题答案第7章质点动力学
第7章质点动力学7-1图示滑水运动员刚接触跳台斜面时,具有平行于斜面方向的速度40.2km/h,忽略摩擦,并假设他一经接触跳台后,牵引绳就不再对运动员有作用力。
试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。
解:
接触跳台时340.210m/sv11.1703600设运动员在斜面上无机械能损失习题7-1图2m/s2vv2gh11.1729.82.448.76800m/s,m/ss8.141vvcovvsin3.256xy2vymh0.541v12gyvyst0.3321vgθ0O12(hh)gt1022习题7-1解图2(hh)2(0.5412.44)10st0.7802g9.8sttt1.11212mxvt8.1411.1129.05x7-2图示消防人员为了扑灭高21m仓库屋顶平台上的火灾,把水龙头置于离仓库墙基15m、距地面高1m处,如图所示。
水柱的初速度m/s,若欲使水柱正好能越过屋顶边250缘到达屋顶平台,且不计空气阻力,试问水龙头的仰角应为多少?
水柱射到屋顶平台上的水平距离为多少?
s15解:
(1)
(1)t1vcos012
(2)vsintgt200112
(1)代入
(2),得2500cos375sincos44.1022500cos44.1375cos1cos习题7-2图42390625cos96525cos1944.8102,cos0.2249761.685vsin
(2)(到最高点所经过时间)0t2gmS(vcost15)223.26027-3图示三角形物块置于光滑水平面上,并以水平等加速度向右运动。
另一物块置a于其斜面上,斜面的倾角为θ。
设物块与斜面间的静摩擦因数为,且tanθ>,开始时ffss物块在斜面上静止,如果保持物块在斜面上不滑动,加速度的最大值和最小值应为多少?
aFasaFFsθNmgFmgN习题7-3图(a)(b)
解:
1、物块不上滑时受力图(a)
(1)FsinFcosmaNs
(2)FcosmgFsin0Ns临界:
(3)FfFssN(3)代入
(1)、
(2),消去,得FNsinfcos(4)samaxcosfsins2、物块不下滑时受力图(b):
(5)FsinFcosmaNs(6)FcosmgFsin0Ns(7)临界:
FfFssN(7)代入(5)、(6),消去,得FNsinfcoss(8)amincosfsins7-4图示物体的质量为m,悬挂在刚度系数为k的弹簧上,平衡时弹簧的静伸长为δ。
st开始时物体离开平衡位置的距离为a,然后无初速度地释放。
试对图中各种不同坐标原点和坐标轴列出物体的运动微分方程,写出初始条件,求出运动规律,并比较所得到的结果。
解:
(a)受力图(e),且
(1)mgkst
(2)Fk(x)kst..(3)mxmgFk
(1)、
(2)代入(3),得..mxkx0..k(4)x0xmk2,则记nm(5)(t)xAsinn初始条件:
时,,(6)xat0x0习题7-4图(6)代入(5),得kπ;xasin(t)xam2FFk(b)受力图(e)k..x..mxmgFkFkxkmg..kxxgmmg..xk令,则nm(e)(f)mgxAsin(t)nk初始条件:
时,,xa0xt0stkπmgxasin(t)bm2k(c)受力图(f)..mxFmgk
Fk(x)kst代入上式,即..mxkx0..kx0xm(t)xAsinnc当时,,xa0xt0kπ;xasin(t)cm2(d)受力图(f)..mxFmgkFkxk..mxkxmg..kxxgmmgxAsin(t)nk当时,,x(a)0xt0stkπmg;xasin(t)dm2k7-5图示质量为m的平板置于两个反向转动的滑轮上,两轮间的距离为2d,半径为R。
若将板的重心推出,使其距离原对称位置O为x,然后无初速度地释放,则板将在动滑动0摩擦力的作用下作简谐振动。
板与两滑轮间的动摩擦因数为f。
试求板振动的运动规律和周期。
解:
1、图(a),
(1)FFmgF0N1N2y,FdFdmgx0M0ON2N1x即
(2)FFmgN2N1d1x由
(1)、
(2)解得:
Fmg
(1)N22d习题7-5图1xFmg
(1)N12d1xoxFfFfmg
(1)1N12dF21xFg1)FfFfm(12N22dmg..FFFFmxN1N212..fmg即mxx0d(a)..fgxx0dfgnd2πd振动周期:
T2πfgn运动方程:
xAsin(t)n当时,,xx0xt00
fgπ运动规律:
xxsin(t)0d237-6图示升降机厢笼的质量m=3×10kg,以速度=0.3m/s在矿井中下降。
由于吊索vk上端突然嵌住,厢笼中止下降。
如果索的弹簧刚度系数=2.75kN/mm,忽略吊索质量,试求此后厢笼的运动规律。
解:
图(a):
mg
(1)stK..
(2)mxmgFk(3)Fk(x)stk
(1)、(3)代入
(2),得..mxkx0k..习题7-6图xx0m(4)(t)xAsinnlko.t=0时,x=0,m/s(5)xv0.3st代入(4),得OFvk(6)xsintnn6k2.7510xmgrad/s(7)30.3..n3mx310将(5)、(7)代入(6)得(a)(mm,t以秒计)x9.9sin(30.3t)7-7质量m=2kg的物体从高度h=0.5m处无初速地降落在长为l=1m的悬臂木梁的自由6端上,如图所示。
梁的横截面为矩形,高为30mm,宽为20mm,梁的弹性模量E=10MPa。
若不计梁的质量,并设物体碰到梁后不回弹,试求物体的运动规律。
解:
物体作用在梁端点产生的静变形3mgl4
(1)1.4510mst3EI
(2)mgkst3EI(3)当量刚度:
k3l任意位置弹性恢复力习题7-7图(4)Fk(x)kst物体运动微分方程..(5)mxmgFk将
(1)、
(2)、(3)代入(4),得..mxkx0k..xx0mk3EIrad/s令(6)260n3mml则理学(7)(t)xAsinn.当t=0时,,m/sxv2gh3.13xst
nst,rad0.012tan0.012vstm=12mmA0.012sinmmx12sin(260t0.012)7-8图示用两绳悬挂的质量m处于静止。
试问:
1.两绳中的张力各等于多少?
2.若将绳A剪断,则绳B在该瞬时的张力又等于多少?
解:
1、图(a),F0F2mgyB,F0FmgxA2、图(b)绳A剪断瞬时,a0n2,FmgF0nB2FFBBmmF45Aaτmgmg习题7-8图(a)(b)7-9质量为1kg的滑块A可在矩形块上光滑的斜槽中滑动,如图所示。
若板以水平的等加速度a0=8m/s2运动,求滑块A相对滑槽的加速度和对槽的压力。
若滑块相对于槽的初速度为零,试求其相对运动规律。
Aaae0FAIearo30FNmg习题7-9图(a)解:
滑块A为动点,矩形板为动系,牵连加速度,相对加速度,A块受力如图aaae0r(a),其中NFma8Ie0Nmg9.8FmaIrr由滑块相对“平衡”:
,NF0FFcos30mgsin30434.911.83rIrIe,NFmgcos30Fsin308.4944.49F0NIeNF2Ir相对加速度:
m/sa11.83rm
122相对运动规律:
(m)xat5.91trr27-10图示质量为m的质点置于光滑的小车上,且以刚度系数为k的弹簧与小车相联。
若小车以水平等加速度a作直线运动,开始时小车及质点均处于静止状态,试求质点的相对运动方程(不计摩擦)。
解:
设质点m对车的相对位移为x(设向右为正),质点受力:
kFkxikFmaiIe质点相对运动微分方程:
..mxkxmak..习题7-10图xxamk2anmmFF
(1)xAcos(t)aIekmk.初始条件:
时,,x0t0x0xom代入
(1),得:
,Aa0kmmxa(1cost)(a)kk7-11图示单摆的悬挂点以等加速度a沿铅垂线向上运动。
若摆长为l,试求单摆作微振动的周期。
解:
牵连惯性力FmaIe相对运动微分方程:
..mlm(ga)sin..时,上式为1τar..mlm(ga)0mgga..0lFIeganl习题7-11图习题7-11解图2πl周期T2πgan7-12图示圆盘绕轴O在水平面内转动,质量为1kg的滑块A可在圆盘上的光滑槽中运动。
盘和滑块在图示位2置处于静止,这时圆盘开始以等角加速度=40rad/s转动,已知b=0.1m。
试求圆盘开始运动时,槽作用在滑块A上的侧压力及滑块的相对加速度。
解:
运动开始时,,v0ω0rn,习题7-12图a0a0Ce2τm/s,未知。
aab4re物块受力如图,槽的侧压力方向如图,大小未知,牵连惯性力:
ττ
(1)NmaF4Iee
相对运动微分方程:
τ
(2)FmaFcos30NrIeτaτ(3)FFsin300eNIeτFIe
(1)代入
(2)、(3)解得a2m/sa3.46rrNF2N习题7-12解图7-13现有若干刚度系数均为k且长度相等的弹簧,另有若干质量均为m的物块,试任2k3k意组成两个固有频率分别为和的弹簧质量系统,并画出示意图。
3m2mkkkkkkkkkmmmmkmmmmkkmmk(a)(b)(d)(e)2k(c)答:
1.,见图(a)或(b)或(c).n3m3k2.,见图(d)或(e)n2m7-14分析图中所示7组振动模型,判断哪几组中的两个系统具有相同的固有频率。
答:
图(a)、(b)、(e)、(g)均具有相同的固有频率。
习题7-14图7-15图示匀质摇杆OA质量为,长为,匀质圆盘质量为,当系统平衡时摇杆处在lmm12水平位置,而弹簧BD处于铅垂位置,且静伸长为,设OB=a,圆盘在滑道中作纯滚动。
st试求系统微振动固有频率。
解:
1、弹簧刚度k静平衡时,轮缘摩擦力,由系统平衡。
F0sl,M0mglmgFa021kO21即kam2mglst122m2mgl21
(1)k2ast习题7-15图2、n111222TTTmvJJ22AAAO杆OA轮A2222mm3mm11l12222222221mlRlll1Rl2322246由于以平衡位置为角的起始位置,弹簧静位移产生的弹性力与重力,相mgmg2st1抵消,故此后计算时,只考虑弹簧偏离平衡位置产生的弹性力,从平衡位置到角,弹力功:
k2,WaT01212TTW211231k2222即mmla21462
d31:
22mmkal21dt4326ka02l9m2m2126ka
(2)02l9m2m213agm2m12
(1)代入
(2),得0l2m9mst127-16一单层房屋结构可简化为如图所示的模型:
房顶可视为质量为m的刚性杆,柱子可视为高为h、弯曲刚度为EI的梁,不计柱子的质量。
试求该房屋水平振动的固有频率。
xmhxEI2xxh222习题7-16图(a)h解:
柱子两端都是固定端,可看作两根长的悬臂梁坚固对接,见(图a)。
23FlFP梁的最大挠度为见(图b)w悬臂Pmax3EIEIhx本题中,lwmax22w3maxhFPx2l于是有23EI12EIx(b)由上可算出FP3h在层顶位移x时,两根立柱产生的弹性阻力,故屋顶的运动微分方程为2FP24EI24EIx即xx0mx3mh3h24EI这是简谐振动方程,其固有频率为03mh7-17长为l、质量为m匀质杆两端用滑轮A和B安置在光滑的水平和铅垂滑道内滑动,并联有刚度系数为k的弹簧,如图所示。
当杆处于水平位置时,弹簧长度为原长。
不计滑轮A和B的质量,试求AB杆绕平衡位置振动的固有频率。
解:
设杆在水平位置时,势能为0,则势能lkk22Vmgsinl1coslsin2222mglsinkl1cos1212平衡:
sklsin0Vmglco习题7-17图2
mgmg,(平衡位置角)arctantan02kl2kl设杆偏离平衡位置一微小角度,则杆的动能01122Tml23l2弹簧势能Vmgsinkl1cos002保守力场(理想约束)机械能守恒:
TVC1l222即mgsinkl1cosCml0062d1l22:
mgsinklsin0ml0032dt3g3k即cossin0
(1)002lm微振动,,此时1coscoscossinsincossin00000sinsincoscossinsincos000003k3g3k3g代入
(1)得,sincoscossin0000m2lm2lmg3g3k其中sincosarctan00002lm2kl7-18质量为的质块用刚度系数为的弹簧悬挂,在静止不动时有另一质量为mmmk112的物块在距高度为处落下,如图所示。
撞到后不再分开。
试求系统的振动频率和mmmh121振幅。
解:
两质块在一起振动时,其固有频率为:
k
(1)mm12块下落至碰撞前速度mv2gh2m2相碰后,的速度(动量守恒)v2ghmm12mm12mg习题7-18图1弹簧加上时,已伸长了m11kmg2再加后,需再伸长m22k其重力和弹性力才能平衡,若以静平衡位置为坐标原点,如图,则系统振动方程为k
(2)xAsintmm1122kkO(3)xAcostmmmm1212x振动开始于碰撞之末,此时(t=0)它们的坐标为:
m,m12mg(a)2(4)xt02km2(5)xv2ght0mm12、(3)得时,由
(2)t0(6)xAsint0
kxAcos(7)t0mm12比较(3)、(6)和(5)、(7)得,mmg2,22ghAcosAsinkkmm12222mg2ghm222两边平方,相加得A2kmmk12mg2hk2A1mmgk12
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