高考抛物线专题做题技巧与方法总结.docx
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高考抛物线专题做题技巧与方法总结.docx
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高考抛物线专题做题技巧与方法总结
高考抛物线专题做题技巧与方法总结
知识点梳理:
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质():
标准方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴
轴
轴
顶点
(0,0)
离心率
2.抛物线的焦半径、焦点弦
①的焦半径;的焦半径;
②过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为2p.
③AB为抛物线的焦点弦,则,,=
3.的参数方程为(为参数),的参数方程为(为参数).
重难点突破
重点:
掌握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能通过方程研究抛物线的几何性质
难点:
与焦点有关的计算与论证
重难点:
围绕焦半径、焦点弦,运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质
1.要有用定义的意识
问题1:
抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()
A.B.C.D.0
点拨:
抛物线的标准方程为,准线方程为,由定义知,点M到准线的距离为1,所以点M的纵坐标是
2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向
问题2:
顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线的条数有
点拨:
抛物线的类型一共有4种,经过第一象限的抛物线有2种,故满足条件的抛物线有2条
3.研究几何性质,要具备数形结合思想,“两条腿走路”
问题3:
证明:
以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切
点拨:
设为抛物线的焦点弦,F为抛物线的焦点,点分别是点在准线上的射影,弦的中点为M,则,点M到准线的距离为,以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切
3、典型例题讲解:
考点1抛物线的定义
题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换
[例1]已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为
解题思路:
将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离
[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R,由抛物线的定义知,,当P点为抛物线与垂线的交点时,取得最小值,最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3
总结:
灵活利用抛物线的定义,就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换,一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关
练习:
1.已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且、、成等差数列,则有( )
A.B.
C.D.
[解析]C由抛物线定义,即:
.
2.已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,
M点坐标是()
A.B.C.D.
[解析]设M到准线的距离为,则,当最小时,M点坐标是,选C
考点2抛物线的标准方程
题型:
求抛物线的标准方程
[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2)
(2)焦点在直线上
解题思路:
以方程的观点看待问题,并注意开口方向的讨论.
[解析]
(1)设所求的抛物线的方程为或,
∵过点(-3,2)∴
∴
∴抛物线方程为或,
前者的准线方程是后者的准线方程为
(2)令得,令得,
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,
∴,此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时
∴,此时抛物线方程.
∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.
总结:
对开口方向要特别小心,考虑问题要全面
练习:
3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值
[解析]
4.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)
[解析]用排除法,由抛物线方程y2=10x可排除①③④,从而②⑤满足条件.
5.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与Y轴的交点,A为抛物线上一点,且,求此抛物线的方程
[解析]设点是点在准线上的射影,则,由勾股定理知,点A的横坐标为,代入方程得或4,抛物线的方程或
考点3抛物线的几何性质
题型:
有关焦半径和焦点弦的计算与论证
[例3]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.
解题思路:
由特殊入手,先探求定点位置
[解析]设直线OA方程为,由解出A点坐标为
解出B点坐标为,直线AB方程为,令得,直线AB必过的定点
总结:
(1)由于是填空题,可取两特殊直线AB,求交点即可;
(2)B点坐标可由A点坐标用换k而得。
练习:
6.若直线经过抛物线的焦点,则实数
[解析]-1
7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则()
A.B.C.D.
[解析]C
基础巩固训练:
1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线()
A.有且仅有一条B.有且仅有两条条或2条D.不存在
[解析]C,而通径的长为4.
2.在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5,则点P的纵坐标为 ( )
A.3B.4C.5D.6
[解析]B利用抛物线的定义,点P到准线的距离为5,故点P的纵坐标为4.
3.两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是,且则抛物线的焦点坐标为()
A.B.C.D.
[解析]D.
4.如果,,…,是抛物线上的点,它们的横坐标依次为,,…,,F是抛物线的焦点,若成等差数列且,则=().
A.5B.6C.7D.9
[解析]B根据抛物线的定义,可知(,2,……,n),成等差数列且,,=6
5、抛物线准线为l,l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AB⊥l,垂足为B,则四边形ABEF的面积等于()
A.B.C.D.
[解析]C.过A作x轴的垂线交x轴于点H,设,则,
四边形ABEF的面积=
6、设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为.
[解析].
过A作轴于D,令,则即,解得.
综合提高训练
7.在抛物线上求一点,使该点到直线的距离为最短,求该点的坐标
[解析]解法1:
设抛物线上的点,
点到直线的距离,
当且仅当时取等号,故所求的点为
解法2:
当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直线方程为,代入抛物线方程得,
由得,故所求的点为
8.已知抛物线(为非零常数)的焦点为,点为抛物线上一个动点,过点且与抛物线相切的直线记为.
(1)求的坐标;
(2)当点在何处时,点到直线的距离最小?
解:
(1)抛物线方程为
故焦点的坐标为
(2)设
直线的方程是
9.设抛物线()的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC∥X轴.证明直线AC经过原点O.
证明:
因为抛物线()的焦点为,所以经过点F的直线AB的方程可设为
,代人抛物线方程得
.
若记,,则是该方程的两个根,所以
.
因为BC∥X轴,且点C在准线上,所以点C的坐标为,
故直线CO的斜率为
即也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.
10.椭圆上有一点M(-4,)在抛物线(p>0)的准线l上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.
(1)求椭圆方程;
(2)若点N在抛物线上,过N作准线l的垂线,垂足为Q距离,求|MN|+|NQ|的最小值.
解:
(1)∵上的点M在抛物线(p>0)的准线l上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.
∴c=-4,p=8……①
∵M(-4,)在椭圆上
∴……②
∵……③
∴由①②③解得:
a=5、b=3
∴椭圆为
由p=8得抛物线为
设椭圆焦点为F(4,0),
由椭圆定义得|NQ|=|NF|
∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|
=,即为所求的最小值.
参考例题:
1、已知抛物线C的一个焦点为F(,0),对应于这个焦点的准线方程为x=-.
(1)写出抛物线C的方程;
(2)过F点的直线与曲线C交于A、B两点,O点为坐标原点,求△AOB重心G的轨迹方程;
(3)点P是抛物线C上的动点,过点P作圆(x-3)2+y2=2的切线,切点分别是M,N.当P点在何处时,|MN|的值最小?
求出|MN|的最小值.
解:
(1)抛物线方程为:
y2=2x.(4分)
(2)①当直线不垂直于x轴时,设方程为y=k(x-),代入y2=2x,
得:
k2x2-(k2+2)x+.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-1)=.
设△AOB的重心为G(x,y)则,
消去k得y2=为所求,(6分)
②当直线垂直于x轴时,A(,1),B(,-1),(8分)
△AOB的重心G(,0)也满足上述方程.
综合①②得,所求的轨迹方程为y2=,(9分)
(3)设已知圆的圆心为Q(3,0),半径r=,
根据圆的性质有:
|MN|=2.(11分)
当|PQ|2最小时,|MN|取最小值,
设P点坐标为(x0,y0),则y=2x0.
|PQ|2=(x0-3)2+y=x-4x0+9=(x0-2)2+5,
∴当x0=2,y0=±2时,|PQ|2取最小值5,
故当P点坐标为(2,±2)时,|MN|取最小值.
抛物线专题练习
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为(A)
A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)
2.圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是(D)
A.x2+y2-x-2y-=0B.x2+y2+x-2y+1=0
C.x2+y2-x-2y+1=0D.x2+y2-x-2y+=0
3.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是(A)
A.(1,1)B.()C.D.(2,4)
4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m,则水面宽为(B)
A.mB.2mC.D.9m
5.平面内过点A(-2,0),且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是(C)
A.y2=-2xB.y2=-4xC.y2=-8xD.y2=-16x
6.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是6,则抛物线的方程是(B)
A.y2=-2xB.y2=-4x
C.y2=2xD.y2=-4x或y2=-36x
7.过抛物线y2=4x的焦点作直线,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=(A)
A.8B.10C.6D.4
8.把与抛物线y2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移,所得的曲线的方程是(C)
A.B.
C.D.
9.过点M(2,4)作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l有(C)
A.0条B.1条C.2条D.3条
10.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则等于(C)
A.2aB.C.4aD.
二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)
11.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4,则焦点到AB的距离为2.
12.抛物线y=2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是.
13.P是抛物线y2=4x上一动点,以P为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个定点Q,点Q的坐标是(1,0).
14.抛物线的焦点为椭圆的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为
三、解答题(本大题共6小题,共76分)
15.已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:
外切,求动圆圆心M的轨迹方程.(12分)
[解析]:
设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,由抛物线的定义可知:
动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为.
16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.(12分)
[解析]:
设抛物线方程为,则焦点F(),由题意可得
,解之得或,
故所求的抛物线方程为,
17.动直线y=a,与抛物线相交于A点,动点B的坐标是,求线段AB中点M的轨迹的方程.(12分)
[解析]:
设M的坐标为(x,y),A(,),又B得
消去,得轨迹方程为,即
18.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面上的部分高米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?
(12分)
[解析]:
如图建立直角坐标系,
设桥拱抛物线方程为,由题意可知,
B(4,-5)在抛物线上,所以,得,
当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA’,则A(),由得,又知船面露出水面上部分高为0.75米,所以=2米
19.如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.(14分)
[解析]:
如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.由题意可知:
曲线C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为,
其中分别为A、B的横坐标,.
所以,.由,得
①
②
联立①②解得.将其代入①式并由p>0解得,或.
因为△AMN为锐角三角形,所以,故舍去.∴p=4,.
由点B在曲线段C上,得.综上得曲线段C的方程为.
20.已知抛物线.过动点M(,0)且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B,.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交轴于点N,求面积的最大值.(14分)
[解析]:
(Ⅰ)直线的方程为,将,
得.设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、,
则又,
∴.∵,∴.解得.
(Ⅱ)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令坐标为,则由中点坐标公式,得
,.
∴.又为等腰直角三角形,
∴,∴
即面积最大值为
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