北约自主招生数学试题及详解年.docx
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北约自主招生数学试题及详解年
2010年“北约”自主招生数学试题及解答
1.(仅文科做02
απ<<
求证:
sintanααα<<.
【解析】不妨设(sinfxxx=-,则(00f=,且当02
xπ<<
时,(1cos0fxx'=->.于是
(fx在02
xπ
<<
上单调增.∴((00fxf>=.即有sinxx>.
同理可证(tan0gxxx=->.
(00g=,当02
xπ<<
时,2
1(10
cosgxx
'=
->.于是(gx在02
xπ<<
上单调增。
∴在02
xπ<<
上有((00gxg>=。
即tanxx>。
注记:
也可用三角函数线的方法求解.
2.AB为边长为1的正五边形边上的点.证明:
AB
2
(25分
【解析】以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x轴,建立如图所示的平面
直角坐标系.
⑴当,AB中有一点位于P点时,知另一点位于1R或者2R时有最大值为1PR;当有一点位于O点时,1
max
AB
OPPR=<;
⑵当,AB均不在y轴上时,知,AB必在y轴的异侧方可能取到最大值(否则取A点关于y轴的对称点A',有ABAB'<.
不妨设A位于线段2OR上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的,则使AB最大的B点必位于线段PQ上.且当B从P向Q移动时,AB先减小后增大,于是max
AB
APAQ
=或;
对于线段PQ上任意一点B,都有2BRBA≥.于是
22max
AB
RPRQ
==
由⑴,⑵知2max
AB
RP
=.不妨设为x.
下面研究正五边形对角线的长.
HF
E
1
x-1
如右图.做EFG∠的角平分线FH交EG于H.易知5
EFHHFGGFIIGFFGHπ∠=∠=∠=∠=∠=.
于是四边形HGIF为平行四边形.∴1HG=.
由角平分线定理知11
1
EFEHxFG
xHG
===
-
.解得2x=.
3.AB为21yx=-上在y轴两侧的点,求过AB的切线与x轴围成面积的最小值.(25分【解析】不妨设过A点的切线交x轴于点C,过B点的切线交x轴于点D,直线AC与直线
BD相交于点E.如图.设1122(,,(,BxyAxy,且有222211121,1,0yxyxxx=-=->>.由于2yx'=-,
于是AC的方程为2222xxyy=--;①BD的方程为1122xxyy=--.②联立,ACBD的方程,解得121221(,12(yyExxxx---.
对于①,令0y=,得22
2(,02yCx-;
对于②,令0y=,得11
2(,0
2yDx-.
于是2
2
12121
2
1
2
22112222yyxxCDxxxx--++=
-
=
-
.
121(12
ECDSCDxx∆=
-.不妨设10
xa=>,20xb-=>,则
2
2
22
111111((1(2244ECDabSabababababab∆++=++=+++++
1111((2(244ababababab
=+++⋅++≥③
0s=>,则有
3
3
1111
111
(2(.....2
2
3399ECDSssssss
ss∆=
++
=
+
+++++
6个9个
1243
6
916
16
1111
16]
8(
2
3
93
sss
⋅⋅[⋅(
⋅(=⋅
≥3
21
83=⋅(=
④
又由当123
3
3
xaxbs==
=-=-
=
∴min(ECDS∆=
注记:
不妨设3
11((22gssss
=++
事实上,其最小值也可用导函数的方法求解.
由2
2
11((322
gsss
'=
+-
知当2
103
s<<
时(0gs'<;当21
3
s<时(0gs'>.
则(gs在(0,3
上单调减,在
3
+∞上单调增.于是当3
s=
(gs取得最小值.
4.向量OA与OB已知夹角,1OA=,2OB=,(1OPtOA=-,OQtOB=,01t≤≤.PQ在0t时取得最小值,问当0105
t<<
时,夹角的取值范围.(25分
【解析】不妨设OA,OB夹角为α,则1,2OPtOQt=-=,令
2
2
2
((142(12cosgtPQ
ttttα==-+-⋅-⋅2
(54cos(24cos1ttαα=++--+.
其对称轴为12cos54costαα+=+.而12(54xfxx
+=
+在5(,4-+∞上单调增,故12cos1154cos3
αα
+-+≤
≤
.
当12cos1054cos3
αα++≤
≤时,012cos1(0,
54cos5
tαα
+=
∈+,解得
223
αππ<<
.
当12cos1054cosα
α
+-<+≤
时,(gt在[0,1]上单调增,于是00t=.不合题意.
于是夹角的范围为2[,]2
3ππ.
5.(仅理科做存不存在02
xπ<<
使得sin,cos,tan,cotxxxx为等差数列.(25分
【解析】不存在;否则有(cossin(cossin
cossincottansincosxxxxxxxxxx
-+-=-=,
则cossin0xx-=或者cossin1sincosxxxx+=.
若cossin0xx-=,有4
xπ=1,122
不成等差数列;
若cossin1sincosxxxx
+=
有2(sincos12sincosxxxx=+.解得有sincos1xx=±.
而11sincossin2(0,
]2
2
xxx=∈,矛盾!
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