代数方程知识点及经典习题.docx

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代数方程知识点及经典习题

代数方程知识点

一.一元二次方程

20（a0）1、一元二次方程的一般形式[]?

2、一元二次方程的判定方法

（1）根据定义判定。

[即①是整式方程②只有一个未知数③未知数的最高次数是2]

（2）根据一般形式判定。

[即将整式方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，如果20（a0）,那么它就是一元二能化为一元二次方程的一般形式?

次方程。

]

二.因式分解

1、因式分解法的一般步骤：

（1）将方程的右边化为零

（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积（3）令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

2、一元二次方程解法的选择顺序：

先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再用公式法。

三．一元二次方程的根的判别式

1.一元二次方程的根的判别式的概念

2.一元二次方程的根的情况与判别式的关系

判别式定理和逆定理>0方程有两个不相?

?

1/12

等的实数根

=0方程有两个相等?

?

的实数根

<0方程没有实数根?

?

0方程有两个实数根?

?

?

3.一元二次方程根的判别式的应用

1）不解方程，判定方程根的情况

2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围。

3）应用判别式证明方程根的情况（无实根、有实根、有不相等实根、有相等实根）

4）利用判别式解决一元二次方程的有关证明题。

四.根与系数的关系

1一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

如果方程0（a0）的两个实数根是x,x,那么＿＿,＝2?

111222＿＿,

2韦达定理的逆定理

如果实数x,x满足＿＿,＝＿＿,那么x,x是一元11112222二次方程0的两个根．23韦达定理的两个重要推论

推论1：

如果方程0的两个根是x,x，212那么＿＿,＝＿＿,

11222/12

推论2：

以两个数x,x为根的一元二次方程（二次项系数为１）12是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

4根与系数的关系的应用

（1）验根

（2）由已知方程的一个根，求另一个根及未知系数．

（3）不解方程，求关于x,x的对称式的值．1211，︳x－xx＋x︳，，如：

x＋x＋222211112222xx21（4）已知方程的两根，求作这个一元二次方程．

（5）已知两数的和与积，求这两个数

（6）已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的取值范围

（7）证明方程系数之间的特殊关系

（8）解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等．

（9）根的符号的讨论

五．二次三项式的因式分解（用公式法）

1．二次三项式的因式分解公式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿22．因式分解的一般步骤：

（1）用求根公式求出二次三项式对2应的方程０的两个实数根x,x；（２）将a、x,x的值代入21122二次三项式的因式分解公式，写出分解式。

3．如何判定二次三项式在实数范围内能否因式分解：

即当?

0时，能在实数范围内分解因式；当<0时，不能在实数范围?

?

内分解因式

3/12

4.解分式方程的基本方法：

去分母法；换元法；列分式方程解应用题

六．二元二次方程组的解法

解二元二次方程组的基本思想、方法。

思想是“转化”即二元转化为一元，将二次转化为一次。

方法是先降次，再消元。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法：

代入消元法；逆用韦达定理。

同步练习

一、一元二次方程

2axxax015）关于1．的方程（－－4－＝有实数根，则满足（）4/12

aaaaaa．≠≥1且＞1且5D≠5CA．．≥1B．≠5

2xxxx，那的两根分别为=12．如果关于=2的一元二次方程，021qp么的值分别是，）（D2，－3）3，-2（C）（A）－3，2（B3

2，且，的两根是3．已知方程2nm,01?

2xx?

?

）（，则的值等于228?

a）（3nn?

6?

7）（7m?

?

14maA．－5B.59D.9

4．已知方程有一个根是，则下列代数式的值20）a?

?

a（0?

bx?

xa?

恒为常数的是（）

aD．B．C．A．b?

aaba?

bb的两个实数根分别是的一元二次方程5．关于201?

?

mx?

2mx?

x，且），则的值是（222x?

7（x?

x）x?

x、x221121A．1B．12C．13

D．25

二、填空题

22xxxxxx20＋8的两实根，则＝3、．1已知为方程＋＋10＋2211＝．

5/12

2xxxx+4设2．的两个根，、－是一元二次方程3=0212xxx▲（+5．－3）=2，则2212

x1是一元二次方程3．已知的一个根，则=20x?

?

mx?

n．的值为22nm?

?

2mn

则，实数根次方程的两个4．设，是一元二20x?

?

3x?

2xx21的值为．22x?

3xxx?

2112

4－24mmmmm=－+．满足+1=0，则5．若实数10?

?

已知一元二次方程则6．、的两根为,2?

xx33?

1x?

?

1?

0x2111.?

?

xx21二、因式分解

2x?

31．0?

?

）1x（x?

x?

1

x?

14x?

2xa．．32?

?

?

?

01?

a?

?

21?

1x?

x1x?

b?

xxa?

6/12

223x2?

?

x9?

9xx?

?

4.;5.?

1?

x?

?

?

?

221x?

x?

19?

x?

3xx?

6x?

?

26?

x2x?

6x?

6.?

?

3）?

（x2x?

4xx3?

4?

k11x?

x?

.,求增根和的方程的值k有增根7.若关于x?

?

23?

3x?

x3xx

b23112a?

ab?

8.已知的值求,?

3?

b2ab?

a?

ab

11若9.0

6?

x?

求xxx

22?

?

mnmn2?

nm?

，将值代入求值10.化简代数式?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

222nm?

nm?

n?

mnm?

?

?

三、解答题7/12

x的一元二次方程有两个相等的实1．已知关于2）0a?

0bx?

1?

ax（?

2ab数根，求的值。

22（a?

2）?

b?

4

2．已知关于的一元二次方程有两个实数根220?

1）x?

xm?

（2m?

xx1和．x2

（1）求实数的取值范围；m

（2）当时，求的值．220?

x?

xm21

3．题甲：

若关于的一元二次方程有实数22012?

x?

k?

x（?

22?

k）x根．?

?

、k的取值范围；1）求实数（?

?

?

t2）设的最小值．，求（?

tk

2

2

mxxxm的两实数根已知关于4．的一元二次方程=2（－）1－xx为．，218/12

m的取值范围；）求（1yxxym的值，+

（2）设取得最小值时，求相应=，当21并求出最小值．

x的一元二次方程、．关于52x?

0有两实数根?

x?

p?

x1.x12

（1）求p的取值范围；（4分）

（2）若的值.（6分）p求?

?

x（1?

x）]9,（[2?

x1?

x）][22121

x的方程．6．已知关于220?

1?

x?

k4?

kx?

?

2（k3）k的取值范围；

（1）若这个方程有实数根，求k的值；1，求）若这个方程有一个根为（2（3）若以方程的两个根为横坐标、2201?

?

4k?

（k3）x?

k?

x2?

mm的的图象上，求满足条件的纵坐标的点恰在反比例函数?

y

x最小值．

的，若关于、、，其中．7在等腰△中，三边分别为5ab?

xca有两个相等的实数根，求△的周长．方程?

?

20?

?

x?

b2x6b?

?

9/12

三、二元二次方程组

2x?

y?

0

（1）?

解方程组1.?

22x?

y?

3?

0

（2）?

11

（1）?

?

xy?

解方程组2.?

28

（2）xy?

?

2?

0?

?

y?

2?

y14x已知方程组有两个不相等的实数解，求的取值范围。

3.k?

2?

y?

kx?

?

?

2?

xx?

?

?

?

29yx3?

?

4.方程组的两组解是，不解方程组，求的2211?

?

?

?

?

?

?

?

1221?

?

?

y?

yx?

y?

5?

?

?

2211值。

10/12

22?

?

5（x?

?

yy）

（1）x?

5.解方程组?

22x?

xy?

y?

43

（2）?

?

2?

?

xyx?

12

（1）?

解方程组6.?

2?

y?

4

（2）xy?

?

22?

26

（1）?

x?

y解方程组7.?

5

（2）?

xy?

11/12

xy?

x?

3

（1）?

8.解方程组?

3xy?

y?

8

（2）?

12/12