备战高考数学二轮复习专题19选讲部分教学案文.docx
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备战高考数学二轮复习专题19选讲部分教学案文
专题1.9选讲部分
命题观察高考定位
一.考场传真
1.【2017课标1,文22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(θ为参数),直线l的参数方程为
.
(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为
,求a.
2.【2017课标1,文23】已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x
)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
【解析】
(1)当
时,不等式
等价于
.①当
时,①式化为
,无解;当
时,①式化为
,从而
;当
时,①式化为
,从而
.所以
的解集为
.
(2)当
时,
.所以
的解集包含
,等价于当
时
.又
在
的最小值必为
与
之一,所以
且
,得
.所以
的取值范围为
.
3.【2017课标II,文22】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)M为曲线
上的动点,点P在线段OM上,且满足
求点P的轨迹
的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为
,点B在曲线
上,求
面积的最大值.
4.【2017课标II,文23】已知
.证明:
(1)
;
(2)
.
【解析】
(1)
(2)因为
,所以
,因此
.
5.【2017课标II,文23】在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为
(t为参数),直线l2的参数方程为
.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设
,M为l3与C的交点,求M的极径.
6.【2017课标3,文23】已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式
的解
集非空,求m的取值范围.
【解析】
(1)
,当
时,
无解;当
时,由
得,
,解得
,当
时,由
解得
.所以
的解集为
.
(2)由
得
,而
,且当
时,
.故m的取值范围为
.
二.高考研究
【考纲解读】
1.考纲要求
选修4-4坐标系与参数方程
1.考
纲要求:
①理解坐标系的作用,能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化;②了解参数方程,了解参数的意义
,能选择适当的参数写出直线、圆、椭圆的参数方程;③掌握直线的参数方程及参数的几何意义,能用直线的参数方程解决简单的相关问题.
2.命题规律:
高考试题对参数方程和极坐标的考查,主要考查直线和圆的参数方程,椭圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,极坐标与直角坐标的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,结合解析几何中有关曲线的图形及性质、三角函数、平面向量等在求点的坐标、参数的值或范围、曲线的方程、有关线段的长度或最值等方面命制题目,考查学生的转化能力,分析问题、解决问题的能力,以及数形结合思想、方程思想等思想方法的应用.该知识点为高考选考内容之一,试题以解答题形式为主,难度一般中档偏下.
选修4-5不等式选讲
1.考纲要求:
①理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:
、
;②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
、
、
;③了解证明不等式的基本方法:
比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.命题规律:
高考试题对不等式选讲的考查,主要考查绝对值不等式,柯西不等式,基本不等式等知识,主要考查绝对值不等式的解法,绝对值不等式的最值,绝对值不等式的恒成立问题,利用柯西不等式,基本不等式求最值,题目难度一般为中、低档,着重考查利用数形结合的能力以及化归与转化思想.高考对这部分要求不是太高,会解绝对值不等式,会利用柯西不等式求最值,而解绝对值不等式是高考的热点,备考中应严格控制训练题的难度.高考对这部分要求不是太高,高考中有选择题和填空的形式,新课标等以选做题的形式考查.
3.学法导航
1.在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性.
2.将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法,加减消参法,平方消参法等.将参数方程化为普通方
程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若x,y有范围限制,要标出x,y的取值范围.
3.解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于认识方程所表示的曲线,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用.
4.使用柯西
不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明.
5.用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.
主干整合归纳扩展
一.基础知识整合
基础知识:
1.极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,
轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,设
是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为
和
(
),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表:
点
直角坐标
极坐标
互化公式
2.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为
的圆
圆心为
,半径为
的圆
圆心为
,半径为
的圆
过极点,倾斜角为
的直线
(1)
(
)
或
(
)
(2)
(
)和
(
)
过点
,与极轴垂直的直线
过点
,与极轴平行的直线
若圆心为
,半径为
的圆方程为
.
注意:
(1)在将直角坐标化为极坐标求极角
时,易忽视判断点所在的象限(即角
的终边的位置).
(2)在极坐标系下,点的极坐标不惟一性易忽视.极坐标
,
,
表示同一点的坐标.
3.常见曲线的参数方程的一般形式
(1)经过点
,倾斜角为
的直线的参数方程为
(
为参数).
设
是直线上的任一点,则
表示有向线段
的数量.
(2)圆的参数方程
(
为参数).
(3)圆锥曲线的参数方程
椭圆
的参数方程为
(
为参数).
双曲线
的参数方程为
(
为参数).
抛物线
的参数方程为
(
为参数).
4.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数
中的一个与参数
的关系,例如
,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系
,那么,
就是曲线的参数方程.
5.绝对值三角不等式
(1)定理1:
如果
是实数,则
对于
,当且仅当
时,等号成立.
(2)定理2:
如果
是实数,则
,当且仅当
时,等号成立.
6.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式
与
的解集:
不等式
(2)
(
)和
(
)型不等式的解法:
①
;
②
或
;
(3)
(
)和
(
)型不等式的解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
7.易错点形如
的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及
的符号判断,若
则不等式解集为
.
8.不等式证明的方法
(1)比较法:
①求差比
较法:
知道
,
,因此要证明
只要证明
即可,这种方法称为求差比较法.
②求商比较法:
由
且
,因此当
时,要证明
,只要证明
即可,这种方法称为求商比较法.
(2)综合法:
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法.
(3)分析法:
证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.
(4)反证法和放缩法:
①先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法叫作反证法.
②证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法叫作放缩法.
9.几个常用基本不等式
(1)柯西不等式:
①柯西不等式的代数形式:
设
均为实数,则
(当且仅当
时,等号成立).
②柯西不等式的向量形式:
设
为平面上的两个向量,则
.
③二维形式的三角不等式:
设
,那么
.
④柯西不等式的一般形式:
设
为实数,则
,当且仅当
时,等号成立.
(2)平均值不等式:
定理:
如果
为正数,则
,当且仅当
时,等号成立.
我们称
为正数
的算术平均值,
为正数
的几何平均值,定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式,简称为平均值不等式.
一般形式的算术—几何平均值不等式:
如果
为
个正数,则
,当且仅当
时,等号成立.
易错点:
使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件.
二.高频考点突破
考点1极坐标
【例1】已知极坐标系中的曲线
与曲线
交于
,
两点,求线段
的长.
分析:
由将
极坐标方程
及
化为直角坐标方程
,
,联立方程组解得交点坐标
,
,根据两点间距离公式求线段
的长.
【规律方法】1.确定极坐标方程的四要素
极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可.
2.极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:
①极点与原点重合;②极轴与x轴正向重合;③取相同的单位长度.
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式
及
直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如
,
,
的形式,进行整体代换.
(3)直角坐标
化为极坐标
的步骤
①运用
②在
内由
求
时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限.
(4)直角坐标方程与极坐标方程的互化,关键要掌握好互化公式,研究极坐标系下图形的性质,可转化直角坐标系的情境进行.
3.求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标方程的步骤:
(1)建立适当的极坐标系,设
是曲线上任意一点;
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径
和极角
之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
4.注意:
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.
(2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.
5.曲线的极坐标方程的应用:
解决极坐标方程问题一般有两种思路.一
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- 备战 高考 数学 二轮 复习 专题 19 部分 教学