初中数学圆知识点总结.docx
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初中数学圆知识点总结.docx
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初中数学圆知识点总结
圆的总结
一集合:
圆:
圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
圆的外部:
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
圆的内部:
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
二轨迹:
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:
以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:
线段的中垂线;
3、到角两边距离相等的点的轨迹是:
角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
三位置关系:
1点与圆的位置关系:
点在圆内d 点在圆上d=r点B在圆上 点在此圆外d>r点A在圆外 2直线与圆的位置关系: 直线与圆相离d>r无交点 直线与圆相切d=r有一个交点 直线与圆相交d 3圆与圆的位置关系: 外离(图1)无交点d>R+r 外切(图2)有一个交点d=R+r 相交(图3)有两个交点R-r 内切(图4)有一个交点d=R-r 内含(图5)无交点d 四垂径定理: 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理: 此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④⑤ 推论2: 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即: 在⊙O中,∵AB∥CD 五圆心角定理 六圆周角定理 圆周角定理: 同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即: ∵∠AOB和∠ACB是所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论: 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即: 在⊙O中,∵∠C、∠D都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即: 在⊙O中,∵AB是直径或∵∠C=90° ∴∠C=90°∴AB是直径 推论3: 三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 即: 在△ABC中,∵OC=OA=OB ∴△ABC是直角三角形或∠C=90° 注: 此推论实是初二年级几何中矩形的推论: 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 七圆内接四边形 圆的内接四边形定理: 圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即: 在⊙O中,∵四边形ABCD是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180°B+∠D=180° ∠DAE=∠C 八切线的性质与判定定理 (1)判定定理: 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件: 过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即: ∵MN⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 (2)性质定理: 切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1: 过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2: 过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即: 过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN是切线 ∴MN⊥OA 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即: ∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB PO平分∠BPA 九圆内正多边形的计算 (1)正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt△BOD中进行,OD: BD: OB= (2)正四边形 同理,四边形的有关计算在Rt△OAE中进行,OE : AE: OA= (3)正六边形 同理,六边形的有关计算在Rt△OAB中进行,AB: OB: OA= 十、圆的有关概念 1、三角形的外接圆、外心。 →用到: 线段的垂直平分线及性质 2、三角形的内切圆、内心。 →用到: 角的平分线及性质 3、圆的对称性。 → 十一、圆的有关线的长和面积。 1、圆的周长、弧长 C=2r,l= 2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 S圆=r2, S扇形=S圆锥= 3、求面积的方法 直接法→由面积公式直接得到 间接法→即: 割补法(和差法)→进行等量代换 十二、侧面展开图: ①圆柱侧面展开图是形,它的长是底面的,高是这个圆柱的; ②圆锥侧面展开图是形,它的半径是这个圆锥的,它的弧长是这个圆锥的底面的。 十三、正多边形计算的解题思路: 正多边形等腰三角形直角三角形。 可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形,再用解直角三角形的知识进行求解。 圆 一、精心选一选,相信自己的判断! (每小题4分,共40分) 1.如图,把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆,则它们的位置关系是() A.外离B.外切C.相交D.内切 2.如图,在⊙O中,∠ABC=50°,则∠AOC等于() A.50°B.80°C.90°D.100° 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图,AB是⊙O的直径,∠ABC=30°,则∠BAC=() A.90°B.60°C.45°D.30°() 4.如图,⊙O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB大小为() A.25°B.30°C.40°D.50° 5.已知⊙O的直径为12cm,圆心到直线L的距离为6cm,则直线L与⊙O的公共点的个数为() A.2B.1C.0D.不确定 6.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和7cm,两圆的圆心距O1O2=10cm,则两圆的位置关系是() A.外切B.内切C.相交D.相离 7.下列命题错误的是() A.经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 D.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 8.在平面直角坐标系中,以点(2,3)为圆心,2为半径的圆必定() A.与x轴相离、与y轴相切B.与x轴、y轴都相离 C.与x轴相切、与y轴相离D.与x轴、y轴都相切 9已知两圆的半径R、r分别为方程的两根,两圆的圆心距为1,两圆的位置关系是( ) A.外离B.内切C.相交D.外切 10.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为() A.∶1B.2∶1C.1∶2D.1∶ 11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥,则该圆锥的侧面积是( ) A.25πB.65πC.90πD.130π 12.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O、H分别为边AB、AC的中点,将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置,则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为() A.π-B.π+C.πD.π+ 二、细心填一填,试自己的身手! (本大题共6小题,每小题4分,共24分) 13.如图,、分别切⊙于点、,点是⊙上一点, 且,则__ ___度. 第18题图图 17题图 第13题图图 14.在⊙O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离为3厘米,则⊙O的半径 为_______________. 15.已知在⊙O中,半径r=13,弦AB∥CD,且AB=24,CD=10,则AB与CD的距离为__________. 16.一个定滑轮起重装置的滑轮的半径是10cm,当重物上升10cm时,滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为_______(假设绳索与滑轮之间没有滑动) 17.如图,在边长为3cm的正方形中,⊙P与⊙Q相外切,且⊙P分别与DA、DC边相切,⊙Q分别与BA、BC边相切,则圆心距PQ为______________. 18.如图,⊙O的半径为3cm,B为⊙O外一点,OB交⊙O于点A,AB=OA,动点P从点A出发,以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止.当点P运动的时间为_________s时,BP与⊙O相切. 三、用心做一做,显显自己的能力! (本大题共7小题,满分66分) 19.(本题满分8分)如图,圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm,水深GF=2cm.若水面上升2cm(EG=2cm),则此时水面宽AB为多少? 20.(本题满分8分)如图,PA,PB是⊙O的切线,点A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠ACB=70°.求∠P的度数. 21.(本题满分8分)如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,点D在⊙O上,连接AD、BD,∠A=∠B=30°,BD是⊙O的切线吗? 请说明理由. 22.如图所示,是⨀O的一条弦,,垂足为,交⨀O于点,点在⨀O上. (1)若,求的度数; (2)若,,求的长.(10分) 23.如图,、是⨀O的两条弦,延长、交于点,连结、交于点.,,求的度数.(8分) 24.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点,交AD于点G,交AB于点F. (1)求证: BC与⊙O相切; (2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数 25.(本题满分12分)已知: 如图△ABC内接于⊙O,OH⊥AC于H,过A点的切线与OC的延长线交于点D,∠B=30°,OH=5.请求出: (1)∠AOC的度数; (2)劣弧AC的长(结果保留π); (3)线段AD的长(结果保留根号). 26.(本题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴交于A、B两点,AC是⊙M的直径,过点C的直线交x轴于点D,连接BC,已知点M的坐标为(0,),直线CD的函数解析式为y=-x+5. ⑴求点D的坐标和BC的长; ⑵求点C的坐标和⊙M的半径; ⑶求证: CD是⊙M的切线. 初中数学圆知识点总结 1、圆是定点的距离等于定长的点的集合 2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 4、同圆或等圆的半径相等 5、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 8、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。 10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 11、推论1: ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 12、推论2: 圆的两条平行弦所夹的弧相等 13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 14、定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 15、推论: 在同
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