中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质含详细参考答案.docx
- 文档编号:8585632
- 上传时间:2023-01-31
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:223.89KB
中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质含详细参考答案.docx
《中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质含详细参考答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质含详细参考答案.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质含详细参考答案
2019年中考数学专题复习
第六章圆
第二十二讲圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
一、圆的定义及性质:
1、圆的定义:
⑴形成性定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做
⑵描述性定义:
圆是到定点的距离等于的点的集合
2、弦与弧:
弦:
连接圆上任意两点的叫做弦
弧:
圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类
3、圆的对称性:
⑴轴对称性:
圆是轴对称图形,有条对称轴,的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性:
圆是中心对称图形,对称中心是
【名师提醒:
1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的
2、直径是圆中的弦,弦不一定是直径;3、圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、垂径定理及推论:
1、垂径定理:
垂直于弦的直径,并且平分弦所对的。
2、推论:
平分弦()的直径,并且平分弦所对的。
【名师提醒:
1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:
⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线(即弦心距)。
3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】
三、圆心角、弧、弦之间的关系:
1、圆心角定义:
顶点在的角叫做圆心角
2、定理:
在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别
【名师提醒:
注意:
该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、圆周角定理及其推论:
1、圆周角定义:
顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角
2、圆周角定理:
在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧
推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是,900的圆周角所对的弦是
【名师提醒:
1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角
有个,是类,它们的关系是,2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、圆内接四边形:
定义:
如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。
性质:
圆内接四边形的对角。
【名师提醒:
圆内接平行四边形是圆内接梯形是】
【重点考点例析】
考点一:
垂径定理
例1(2018•孝感)已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是cm.
【思路分析】分两种情况进行讨论:
①弦AB和CD在圆心同侧;②弦AB和CD在圆心异侧;作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可,小心别漏解.
【解答】解:
①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AE=8cm,CF=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴EO=6cm,OF=8cm,
∴EF=OF-OE=2cm;
②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AF=8cm,CE=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴OF=6cm,OE=8cm,
∴EF=OF+OE=14cm.
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.
故答案为:
2或14.
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中,解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用,小心别漏解.
考点二:
圆周角定理
例2(2018•枣庄)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作⊙O交AB于点D.
(1)求线段AD的长度;
(2)点E是线段AC上的一点,试问:
当点E在什么位置时,直线ED与⊙O相切?
请说明理由.
【思路分析】
(1)由勾股定理易求得AB的长;可连接CD,由圆周角定理知CD⊥AB,易知△ACD∽△ABC,可得关于AC、AD、AB的比例关系式,即可求出AD的长.
(2)当ED与⊙O相切时,由切线长定理知EC=ED,则∠ECD=∠EDC,那么∠A和∠DEC就是等角的余角,由此可证得AE=DE,即E是AC的中点.在证明时,可连接OD,证OD⊥DE即可.
【解答】解:
(1)在Rt△ACB中,∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°,∴AB=5cm;
连接CD,
∵BC为直径,
∴∠ADC=∠BDC=90°;
∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,
∴Rt△ADC∽Rt△ACB;
∴
,∴
;
(2)当点E是AC的中点时,ED与⊙O相切;
证明:
连接OD,
∵DE是Rt△ADC的中线;
∴ED=EC,
∴∠EDC=∠ECD;
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD;
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°;
∴ED⊥OD,
∴ED与⊙O相切.
【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2018•相山区)如果两个圆心角相等,那么( )
A.这两个圆心角所对的弦相等
B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D.以上说法都不对
2.(2018•张家界)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=( )
A.8cmB.5cm
C.3cmD.2cm
3.(2018•临安区)如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点,则BC=( )
A.6
B.6
C.3
D.3
4.(2018•枣庄)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )
A.
B.2
C.2
D.8
5.(2018•乐山)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:
“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?
”译为:
“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸)”,问这块圆形木材的直径是多少?
”
如图所示,请根据所学知识计算:
圆形木材的直径AC是( )
A.13寸B.20寸
C.26寸D.28寸
6.(2018•聊城)如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )
A.25°B.27.5°
C.30°D.35°
7.(2018•菏泽)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( )
A.64°B.58°
C.32°D.26°
8.(2018•白银)如图,⊙A过点O(0,0),C(
,0),D(0,1),点B是x轴下方⊙A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )
A.15°B.30°
C.45°D.60°
9.(2018•盘锦)如图,⊙O中,OA⊥BC,∠AOC=50°,则∠ADB的度数为( )
A.15°B.25°
C.30°D.50°
10.(2018•济宁)如图,点B,C,D在⊙O上,若∠BCD=130°,则∠BOD的度数是( )
A.50°B.60°
C.80°D.100°
11.(2018•南充)如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上的一点,∠OAC=32°,则∠B的度数是( )
A.58°B.60°
C.64°D.68°
12.(2018•阜新)AB是⊙O的直径,点C在圆上,∠ABC=65°,那么∠OCA的度数是( )
A.25°B.35°
C.15°D.20°
二、填空题
13.(2018•随州)如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=40度,∠C=20度,则∠B=度.
14.(2018•烟台)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为.
15.(2018•黑龙江)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则⊙O的半径为.
16.(2018•玉林)小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位:
cm),请你帮小华算出圆盘的半径是cm.
17.(2018•梧州)如图,已知在⊙O中,半径OA=
,弦AB=2,∠BAD=18°,OD与AB交于点C,则∠ACO=度.
18.(2018•杭州)如图,AB是⊙O的直轻,点C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交⊙O于D,E两点,过点D作直径DF,连结AF,则∠DFA=.
19.(2018•吉林)如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,
,若∠AOB=58°,则∠BDC=度.
20.如图,点A、B、C都在⊙O上,OC⊥OB,点A在劣弧
上,且OA=AB,则∠ABC=.
21.(2018•海南)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C、D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为.
三、解答题
22.(2018•宜昌)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.
(1)求证:
四边形ABFC是菱形;
(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.
2019年中考数学专题复习
第六章圆
第二十二讲圆的有关概念及性质参考答案
【备考真题过关】
一、选择题
1.【思路分析】根据圆心角定理进行判断即可.
【解答】解:
在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距相等.
故选:
D.
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2.【思路分析】根据垂径定理可得出CE的长度,在Rt△OCE中,利用勾股定理可得出OE的长度,再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度.
【解答】解:
∵弦CD⊥AB于点E,CD=8cm,
∴CE=
CD=4cm.
在Rt△OCE中,OC=5cm,CE=4cm,
∴OE=
=3cm,
∴AE=AO+OE=5+3=8cm.
故选:
A.
【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理,利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键.
3.【思路分析】根据垂径定理先求BC一半的长,再求BC的长.
【解答】解:
设OA与BC相交于D点.
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形.
又根据垂径定理可得,OA平分BC,
利用勾股定理可得
,
所以BC=6
.
故选:
A.
【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理.
4.【思路分析】作OH⊥CD于H,连结OC,如图,根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD,再利用AP=2,BP=6可计算出半径OA=4,则OP=OA-AP=2,接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=
OP=1,然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=
,所以CD=2CH=2
.
【解答】解:
作OH⊥CD于H,连结OC,如图,
∵OH⊥CD,
∴HC=HD,
∵AP=2,BP=6,
∴AB=8,
∴OA=4,
∴OP=OA-AP=2,
在Rt△OPH中,∵∠OPH=30°,
∴∠POH=60°,
∴OH=
OP=1,
在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,
∴
,
∴CD=2CH=2
.
故选:
C.
【点评】本题考查了垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质.
5.【思路分析】设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,则有r2=52+(r-1)2,解方程即可;
【解答】解:
设⊙O的半径为r.
在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,
则有r2=52+(r-1)2,
解得r=13,
∴⊙O的直径为26寸,
故选:
C.
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.
6.【思路分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.
【解答】解:
∵∠A=60°,∠ADC=85°,
∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,
∴∠AOC=2∠B=50°,
∴∠C=180°-95°-50°=35°
故选:
D.
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识,正确得出∠AOC度数是解题关键.
7.【思路分析】根据垂径定理,可得
,∠OEB=90°,根据圆周角定理,可得∠3,根据直角三角形的性质,可得答案.
【解答】解:
如图,
由OC⊥AB,得
,∠OEB=90°.
∴∠2=∠3.
∵∠2=2∠1=2×32°=64°.
∴∠3=64°,
在Rt△OBE中,∠OEB=90°,
∴∠B=90°-∠3=90°-64°=26°,
故选:
D.
【点评】本题考查了圆周角定理,利用垂径定理得出
,∠OEB=90°是解题关键,又利用了圆周角定理.
8.【思路分析】连接DC,利用三角函数得出∠DCO=30°,进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可.
【解答】解:
连接DC,
∵C(
,0),D(0,1),
∴∠DOC=90°,OD=1,OC=
,
∴∠DCO=30°,
∴∠OBD=30°,
故选:
B.
【点评】此题考查圆周角定理,关键是利用三角函数得出∠DCO=30°.
9.【思路分析】连接OB,由垂径定理及圆心角定理可得∠AOB=∠AOC=50°,再利用圆周角定理即可得出答案.
【解答】解:
如图连接OB,
∵OA⊥BC,∠AOC=50°,
∴∠AOB=∠AOC=50°,
则∠ADB=
∠AOB=25°,
故选:
B.
【点评】本题主要考查圆周角定理,解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理.
10.【思路分析】首先圆上取一点A,连接AB,AD,根据圆的内接四边形的性质,即可得∠BAD+∠BCD=180°,即可求得∠BAD的度数,再根据圆周角的性质,即可求得答案.
【解答】解:
圆上取一点A,连接AB,AD,
∵点A、B,C,D在⊙O上,∠BCD=130°,
∴∠BAD=50°,
∴∠BOD=100°,
故选:
D.
【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质.此题比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
11.【思路分析】根据半径相等,得出OC=OA,进而得出∠C=32°,利用直径和圆周角定理解答即可.
【解答】解:
∵OA=OC,
∴∠C=∠OAC=32°,
∵BC是直径,
∴∠B=90°-32°=58°,
故选:
A.
【点评】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质.此题比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
12.【思路分析】根据直径得出∠ACB=90°,进而得出∠CAB=25°,进而解答即可.
【解答】解:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠ABC=65°,
∴∠CAB=25°,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠CAB=25°,
故选:
A.
【点评】本题考查了圆周角定理,正确理解圆周角定理是关键.
二、填空题
13.【思路分析】连接OA,根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°,根据等腰三角形的性质解答即可.
【解答】解:
如图,连接OA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠C=20°,
∴∠OAB=60°,
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB=60°,
故答案为:
60.
【点评】本题考查的是圆周角定理的运用,掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键.
14.【思路分析】连接CB,作CB的垂直平分线,根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可.
【解答】解:
连接CB,作CB的垂直平分线,如图所示:
在CB的垂直平分线上找到一点D,
,
所以D是过A,B,C三点的圆的圆心,
即D的坐标为(-1,-2),
故答案为:
(-1,-2),
【点评】此题考查垂径定理,关键是根据垂径定理得出圆心位置.
15.【思路分析】连接OC,由垂径定理知,点E是CD的中点,AE=
CD,在直角△OCE中,利用勾股定理即可得到关于半径的方程,求得圆半径即可.
【解答】解:
连接OC,
∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,
∴CE=DE=
CD=
×6=3,
设⊙O的半径为xcm,
则OC=xcm,OE=OB-BE=x-1,
在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,
∴x2=32+(x-1)2,
解得:
x=5,
∴⊙O的半径为5,
故答案为:
5.
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解,熟练掌握并应用定理是解题的关键.
16.【思路分析】先利用垂径定理得,BD=6,再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论.
【解答】解:
如图,
记圆的圆心为O,连接OB,OC交AB于D,
∴OC⊥AB,BD=
AB,
由图知,AB=16-4=12cm,CD=2cm,
∴BD=6,设圆的半径为r,则OD=r-2,OB=r,
在Rt△BOD中,根据勾股定理得,OB2=AD2+OD2,
∴r2=36+(r-2)2,
∴r=10cm,
故答案为10.
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用,勾股定理,构造出直角三角形是解本题的关键.
17.【思路分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB的形状,由圆周角定理可以求得∠BOD的度数,再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系,即可求得∠AOC的度数.
【解答】解:
∵OA=
,OB=
,AB=2,
∴OA2+OB2=AB2,OA=OB,
∴△AOB是等腰直角三角形,∠AOB=90°,
∴∠OBA=45°,
∵∠BAD=18°,
∴∠BOD=36°,
∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°,
故答案为:
81.
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
18.【思路分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°,进而得出∠DOA=60°,利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可.
【解答】解:
∵点C是半径OA的中点,
∴OC=
OD,
∵DE⊥AB,
∴∠CDO=30°,
∴∠DOA=60°,
∴∠DFA=30°,
故答案为:
30°
【点评】此题考查圆周角定理,关键是利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°.
19.【思路分析】根据∠BDC=
∠BOC求解即可;
【解答】解:
连接OC.
∵
,
∴∠AOB=∠BOC=58°,
∴∠BDC=
∠BOC=29°,
故答案为29.
【点评】本题考查圆周角定理,圆心角、弧、弦之间的关系等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
20.【思路分析】根据等边三角形的判定和性质,再利用圆周角定理解答即可.
【解答】解:
∵OA=OB,OA=AB,
∴OA=OB=AB,
即△OAB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∵OC⊥OB,
∴∠COB=90°,
∴∠COA=90°-60°=30°,
∴∠ABC=15°,
故答案为:
15°
【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
21.【思路分析】过点M作MF⊥CD于点F,则CF=
CD=8,过点C作CE⊥OA于点E,由勾股定理可求得MF的长,从而得出OE的长,然后写出点C的坐标.
【解答】解:
∵四边形OCDB是平行四边形,B(16,0),
∴CD∥OA,CD=OB=16,
过点M作MF⊥CD于点F,则CF=
CD=8,
过点C作CE⊥OA于点E,
∵A(20,0),
∴OE=OM-ME=OM-CF=10-8=2.
连接MC,则MC=
OA=10,
∴在Rt△CMF中,由勾股定理得MF=
=6,
∴点C的坐标为(2,6)
故答案为:
(2,6).
【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质,正确作出辅助线构造出直角三角形是解题关键.
三、解答题
22.【思路分析】
(1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形,证明是平行四边形,再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;
(2)设CD=x,连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题;
【解答】
(1)证明:
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BC,
∵AB=AC,
∴BE=CE,
∵AE=EF,
∴四边形ABFC是平行四边形,
∵AC=AB,
∴四边形ABFC是菱形.
(2)设CD=x.连接BD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
∴AB2-AD2=CB2-CD2,
∴(7+x)2-72=42-x2,
解得x=1或-8(舍弃)
∴AC=8,
,
∴S菱形ABFC=8
.
∴S半圆=
•π•42=8π.
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 数学 专题 复习 第二十二 有关 概念 性质 详细 参考答案