届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第16讲导数与函数的综合问题精选教案理可编辑.docx
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届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第16讲导数与函数的综合问题精选教案理可编辑
第16讲 导数与函数的综合问题
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值,并会解决与之有关的方程(不等式)问题.
2.会利用导数解决某些简单的实际问题.
2017·全国卷Ⅰ,21
2017·全国卷Ⅲ,21
2017·四川卷,21
考查导数在研究函数中的应用,并应用导数的方法探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题,题目难度较大.
分值:
12~14分
1.生活中的优化问题
通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题,一般地,对于实际问题,若函数在给定的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点.
2.利用导数解决生活中的优化问题的基本思路
3.导数在研究方程(不等式)中的应用
研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式;
反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等,又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题,利用导数进行研究.
4.导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型
(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题;
(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题;
(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.( × )
(2)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象与x轴最多有3个交点,最少有一个交点.( √ )
(3)函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值大于0,则f(x)>g(x).( √ )
(4)“存在x∈(a,b),使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a,b),使f(x)≥a”.( × )
2.已知某生产厂家的年利润y(单位:
万元)与年产量x(单位:
万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( C )
A.13万件 B.411万件
C.9万件 D.7万件
解析 y′=-x2+81,令y′=0得x=9或x=-9(舍去),当x∈(0,9)时,y′>0,当x∈(9,+∞)时,y′<0,则当x=9时,y有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.
3.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x) A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a) 解析 设F(x)=f(x)-g(x),F′(x)=f′(x)-g′(x)<0, ∴F(x)在[a,b]上是减函数. ∴F(x)在[a,b]上的最大值为F(a)=f(a)-g(a). 4.若f(x)=,0 ! ! f(a)<f(b) ###. 解析 由题意可知,f′(x)=,当x∈(0,e)时,>0,即f′(x)>0,∴f(x)在(0,e)上递增,又0<a<b<e,∴f(a)<f(b). 5.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是__(-2,2)__. 解析 由于函数f(x)是连续的,故只需要两个极值异号即可. f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,得x=±1,只需f(-1)f (1)<0, 即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2). 一 利用导数解决生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0. (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题提出解决方案. 注意: 解决此类问题要根据实际问题的意义确定函数的定义域. 【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 解析 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意得200πrh+160πr2=12000π, 所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3). 由h>0,且r>0可得0 (2)因V(r)=(300r-4r3),所以V′(r)=(300-12r2).令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去). 当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数; 当r∈(5,5)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数. 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. 二 利用导数研究函数的零点或方程的根 研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 【例2】已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围. 解析 (1)因为f′(x)=+2x-10, 所以f′(3)=+6-10=0,因此a=16. (2)由 (1)知,f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1,+∞), f′(x)=. 当x∈(-1,1)或(3,+∞)时,f′(x)>0;x∈(1,3)时,f′(x)<0. 所以f(x)的单调增区间是(-1,1),(3,+∞);f(x)的单调减区间是(1,3). (3)由 (2)知,f(x)在(-1,1)内单调递增,在(1,3)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增,且当x=1或x=3时,f′(x)=0. 所以f(x)的极大值为f (1)=16ln2-9, 极小值为f(3)=32ln2-21. 因为f(16)>162-10×16>16ln2-9=f (1),f(e-2-1)<-32+11=-21 (1).因此,b的取值范围为(32ln2-21,16ln2-9). 三 利用导数证明不等式 利用导数证明不等式的解题策略 (1)证明f(x) (2)证明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F′(x)>0,那么F(x)在(a,b)上是增函数,同时若F(a)≥0,由增函数的定义可知,x∈(a,b)时,有F(x)>0,即证明了f(x)>g(x). (3)在证明过程中,一个重要技巧就是找到函数F(x)=f(x)-g(x)的零点,这往往就是解决问题的一个突破口. 【例3】已知函数f(x)=. (1)设g(x)=lnx,求证: g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立; (2)若0 >. 证明 (1)由题意知,要证lnx≥在[1,+∞)上恒成立, 即证明(x2+1)lnx≥2x-2,x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立. 设h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,则h′(x)=2xlnx+x+-2, 由x≥1,得2xlnx≥0,x+≥2·≥2(当且仅当x=1时等号成立),即h′(x)≥0,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h (1)=0,所以g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立. (2)因为01,则 (1)知ln>,整理得>,所以当0. 四 利用导数研究恒成立(或存在性)问题 利用导数研究不等式恒成立问题的方法 (1)由不等式恒成立求解参数的取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值,即要使a≥g(x)恒成立,只需a≥g(x)max,要使a≤g(x)恒成立,只需a≤g(x)min.另外,当参数不宜进行分离时,还可直接求最值建立关于参数的不等式求解,例如,要使不等式f(x)≥0恒成立,可求得f(x)的最小值h(a),令h(a)≥0即可求出a的取值范围. (2)参数范围必须依靠不等式才能求出,求解参数范围的关键就是找到这样的不等式. 【例4】已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=xex. (1)求f(x)-g(x)的极值; (2)当x∈(-2,0)时,f(x)+1≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围. 解析 (1)令h(x)=f(x)-g(x)=x2+2x-xex, 则h′(x)=(x+1)(2-ex),令h′(x)=0,解得x=-1或x=ln2. 当x变化时,h′(x)与h(x)的变化情况如下表. x (-∞,-1) -1 (-1,ln2) ln2 (ln2,+∞) h′(x) - 0 + 0 - h(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ∴h(x)的极小值为h(-1)=-1,h(x)的极大值为h(ln2)=ln22, 即f(x)-g(x)的极小值为-1,极大值为ln22. (2)由题意知,当x∈(-2,0)时,x2+2x+1≥axex恒成立, 即a≥恒成立. 令t(x)=,则t′(x)=-, ∴当x∈(-2,-1)时,t′(x)>0,t(x)单调递增; 当x∈(-1,0)时,t′(x)<0,t(x)单调递减; 当x∈(-2,0)时,t(x)max=t(-1)=0.∴a≥0. 故a的取值范围是[0,+∞). 【例5】已知函数f(x)=ax2-blnx在点(1,f (1))处的切线方程为y=3x-1. (1)若f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,求实数k的取值范围; (2)若对任意x∈(0,+∞),均存在t∈[1,3],使得t3-·t2+ct+ln2+≤f(x),试求实数c的取值范围. 解析 (1)f′(x)=2ax-, 由得 f(x)=2x2-lnx,f′(x)=4x-=,令f′(x)=0,得x=, 所以解得1≤k<. 故实数k的取值范围是. (2)设g(t)=t3-t2+ct+ln2+, 根据题意可知g(t)min≤f(x)min. 由 (1)知f(x)min=f=+ln2, g′(t)=t2-(c+1)t+c=(t-1)(t-c), 当c≤1时,g′(t)≥0,g(t)在[1,3]上单调递增, g(t)min=g (1)=+ln2,满足g(t)min≤f(x)min. 当1
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