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三角
高一下
任意角弧度制
任意三角比,三角函数线,
同角三角比诱导公式
两角和与差弦
两角和差切
倍角半角
难度
页码
正弦定理、余弦定理、解斜三角形
正余弦函数
正余切函数
反三角函数
最简三角方程
难度
页码
数学笔记错题归纳整理
高一下
{角的概念与度量}
【角的概念】
{1}{2}{3}
角的正负
·一条射线绕端点按逆时针旋转所形成的角为正角,其度量值是正的
一条射线绕端点按顺时针旋转所形成的角为负角,其度量值是负的
当一条射线没有旋转时,也形成一个角,叫做零角
·注意:
钟的转动为顺时针,所以一定为负角
象限角
{4}
·把角的顶点置于坐标原点,角的始边与x轴正半轴重合,
此时角的终边在第几象限,这个角就是第几象限的角。
·当角的终边落在坐标轴上时,这个角不属于任何象限
区间角与区域角
{7}{10}
·区间角:
如锐角,0°<a<90°,介于两角之间所有角
区域角:
如2kπ<a<90°+2kπ,k∈Z,介于两角终边之间的角
与角α有关系的角
{5}{6}{9}{20}
·与角α终边相同的角:
{B|B=α+2kπ,k∈Z}
与角α同一直线上的角:
{B|B=α+kπ,k∈Z}
与角α关于x轴对称的角:
-a+2kπ,k∈Z
·求a与β关系做法:
找寻a±β=一个定值。
将α用β表示出来,再加2kπ
·注意:
如果题目未说精确必须保留π
如果题目说精确,则涉及到π的计算都不能带3.14,因为会无限扩大误差,
必须带π!
{11}
·求α°/n题型:
做法:
有几个n就将每个象限分割成几份,每一份作为一个象限标1,2,3,4,;
a在第几象限对应a°/n就在第几象限
·求2α题型:
做法:
将α区域角表示出来,乘2判断
注意:
角的范围从小到大是逆时针方向
角e的坐标
·对于任何一个e角,它一定经过(cosα,sinα)。
同样,如果一个点P坐标为(cosα,sinα),则OP角为e
【角的度量】
弧度制
{21}
·1弧度:
弧长等于半径的弧所对的圆心角大小
·弧度:
|α|=l/r,α的正负要根据转动的方向判断
·必记:
2π=360°,π=180°
{23}
·角度与弧度的转化:
180°对π,e对a
·注意:
①弧度制与角度制不能共存,弧度制只能出现π,角度制只能出现180°
②计算长度是π为3.14,计算角度时π就是π(圆周率)
【扇形】
{12}{13}{14}{16}
·弧度l=αr
·扇形面积公式:
S扇==1/2lr=1/2|α|r2
{17}{22}
·题型:
已知l与r的关系,求S最大值
·做法:
①将l用r表示出来>0求出r的范围
②S=1/2.l.r根据r的范围求最大值
【主动轮从动轮】
{18}
理解:
齿轮数之比可以看作半径之比,齿轮转动时线速度相等
做法:
用物理线速度角速度知识
检验:
小轮转的角度大于>大轮
{三角比}
【任意三角比】
{62}
·在任意角α的终边上任取一点P,设P坐标(x,y),op=r=√(x2+y2)(r>0)
规定:
Sinα=y/r∈[-1,1]cosα=x/r∈[-1,1]
tanα=y/x(α≠π/2+kπ)cotα=x/y(α≠kπ)
Secα=r/xcscα=r/y
{4}{69}
·任意三角比的正负:
一全正二正弦三切四余弦
·特殊角的三角比值:
·三角战略四图
{5}{6}{70}
·三角法求三角比值:
所有边为正,结果正负由象限判断
注意:
{13}{14}
①tanx在y轴不成立;cotx在x轴不成立
②sinx,cosx值域为[-1,1]
③r一定要为正,不然要分类讨论
④对于一个图形,如果他是直角三角形,那么它的边长之比就是三角比值
{8}
⑤注意区间角中的轴线角讨论:
·x轴:
sinα=0,tanα=0,cotα不存在
Y轴:
sinα=±1,tanα不存在,cotα=0
【三角比函数线】
{11}{19}
·在第一象限,y=sinα<y=α<y=tanα
·若α为锐角,则sinα+cosα>1
若α为直角,则sinα+cosα=1
若α为钝角,则sinα+cosα<1
|sinα|+|cosα|≥1
·当角的终边在直线y=x右下方时,sinα<cosα
当角的终边在直线y=x左上方时,sinα>cosα
当角的终边在第一第二象限时,sinα<tanα
通过单位圆确定角的范围
{10}{52}{53}{54}
注意:
①sinα的两个角:
α-α+π
cosα的两个角:
α-α
tanα的两个角:
αα+π
②sinα与cosα只分线之上与线之下
tan画法特殊,是画一条直线所得到的角,只分一个区间即可
③起始点到终始点从小到大,如果大的小就+2kπ
④如果x有范围就k=-1,0,1一个一个代
【同角三角比关系】
同角三角比关系
{63}{66}
倒数关系:
sinα.cscα=1cosα.secα=1tanα.cotα=1
商数关系:
tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα
平方关系:
sin2α+cos2α=1tan2α+1=sec2αcot2α+1=csc2α
利用同角三角比的关系,实现“弦”“切”“割”之间的转换
{20}
①切割化弦:
“切”通过商数关系化为“弦”
“割”通过倒数关系化为“弦”
{16}{32}
②弦化切:
“齐次式”,通过分式上下除以cos或cos2得到切
注意:
①如果式子是非分式的齐次式(如sinα.cosα),可将1作为分母
②(sinα+cosα)的平方可以满足齐次式
{59}
③1无处不在:
通过sin2α+cos2α=1,将1化成所需三角比
{18}{21}{27}{30}{56}{58}
④公式灵活运用
1)可以展开重组
2)可以化成同分母
3)可以通过sin2α=1-cos2α转化同名清项
三角比化简求值
{28}
①任何式子可以与sin^2+cos^2=1联列
{12}
②灵活运用sin2α+cos2α
{23}{57}
③对偶式
·形式sinα±cosα=l;sinβ±cosβ=P
·做法:
平方相加
{44}{61}
④利用已知量和sin2α=1-cos2α转化同名清项
·三角比为两根题型
{17}{22}{24}{两角和差30}
①sinα、cosα为方程两根
1)△一定≥0
2)将sine.cose与sine+cose凑到sin^2+cos^2
②tanα、cotα为方程两根
1)△一定≥0
2)凑tanα.cotα=1
3)注意当角为第三象限时tanα+cotα>0
【诱导公式】
第一组α与-α
sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα
第二组:
{25}{26}{35}{36}{49}{51}
·奇变偶不变,符号看象限
①不管+α在第几象限,把α看成锐角
-α是第四象限角
②奇变偶不变,只要kπ/2为整数则不变,kπ/2为分数就变
题型一:
诱导公式π前为未知数k
{41}{42}{43}
·做法:
将k设为2n与2n+1分类讨论
·原理:
k只有偶数与奇数之分
两角和与差弦及在三角形中计算
【两角和与差的余弦正弦】
{三角比45}三角比{46}三角比{47}都是三角比{48}
·替角法,将已知角设为β代入
基本计算:
{1}{3}{7}{8}{9}
·已知sinα与cosα最值在[-1,1]中,且sinα≠cosα(除α=45°)
如果sinα+cosα=1,则sinα=1且cosα=0或sinα=0且cosα=1
如果sinα.cosβ=-1,则sinα=1且cosβ=-1或sinα=-1且cosβ=1
弦化切:
{11}
拼角和拆角:
拼角
{4}{5}{10}
·拼角观察已知角与未知角之间的关系(相加相减)
拆角
{12}
·结合题目条件进行拆角
对偶式:
{13}{14}{15}
类似于①式Asinα+Bcosβ==X②式Asinβ+Bcosα=Y,用①式平方+②式平方得正弦
类似于①式Asinα+Bsinβ==X②式Acosα+Bcosβ=Y,用①式平方+②式平方得余弦
原理是平方后平方部分相加变成1,只剩下2ac部分!
【和差化积积化和差】
{20}{39}
·形如sinα+sinβ等任何形式,前面不能有系数!
·赛赛之和倍赛扣,赛赛之差倍口赛。
口口之和倍口口,口口之差负赛赛
{40}{41}
积化和差就是和差化积倒一倒
【辅助角公式】
{21}{22}{23}{36}{25}{27}{35}
·①形如Asinα+Bcosα,可使用辅助角公式。
注意α一定要相同,A化为正
②用tan∅=B/A求出两个∅,若B>0则∅>0.若B<0则∅<0。
③sinα中的“α”是个整体,别手快只写α
④通过加减π/2改变名称
★最关键:
最后把α=0代入检验!
辅助角等式{33}{24}{42}
如果角的范围未确定,就要分两个象限讨论
辅助角取值{31}{32}
直接根据A和sin∈【-1,1】的性质求
【在三角形中的计算】
Sin/cos(α)与sin/cos(b+c)等式
{34}
·α+β+γ=π,则sin(α)=sin(β+γ)
·α+β+γ=π,则cos(α)=-cos(β+γ)
Sinα与cosα正负
{17}{18}{19}{38}{16}
·三角形内角sinα一定大于0,cos不一定。
钝角<0,锐角>0
·题目已知sin要分类讨论,已知cos不需要
·cos求出来两种情况后,用sinC=sin(A+B)检验sinC是否>0,一般舍去大角
(别指望用arccosC)
{2}
“Cos(A+B)=0”是“△ABC使直角三角形”充分不必要条件。
(因为题设→∠C=90°)
两角和与差正切
基本公式:
tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1-/+tanα)
注意α、β、α+β、α-β≠π/2+kπ
tan(π/4+α)=(1+tanα)/(1-tanα)
tan(π/4-α)=(1-tanα)/(1+tanα)
变形:
(tanα,tanβ,tan(α+β)为单位,考试时推)
tan(α±β)=tanα-/+tanβ±tan(α+β)tanα.tanβ
tanα±tanB=tan(α±β)-/+tan(α±β).tanα.tanβ
tanα.tanβ=-(tanα+tanβ)/tan(α+β)+1
正切基本公式
{3}{15}{16}
·正切基本公式:
已知tanα+tanβ,tanα.tanβ,即可求tan(α+β),
也可以说已知一元二次方程两根就可以求tan(α+β)
推导公式:
tanα.tanβ
{17}{19}{12}
·两个未知数联列两个方程
·tanα.tanβ是唯一可以消去的式子,他由-(tanα+tanβ)/(tan(α+β))+1组成
tan(π/4+α)=(1+tanα)/(1-tanα)
{1}{2}{6}{7}{10}
·简便计算,要会逆看
tan(α±β)=tanα-/+tanβ±tan(α+β)tanα.tanβ
{8}{9}{13}
·基本公式的另一种表示方式,看到tanα,tanβ,tan(α+β)这类式子当场推倒公式
·若α+β=±45°,则(1±tanα)(1±tanβ)=2
tanα±tanB=tan(α±β)-/+tan(α±β).tanα.tanβ
{18}
该公式复杂可以倒着来推题目
正切恒等式:
{11}
·在△ABC中,tanA+tanB+tanc=tanA.tanB.tanC
·条件是非直角三角形
·若α+β=π则,tan(α)=-tan(β)
齐次式:
{4}{5}
·两角和正弦余弦化开来后同除以cosα.cosβ,的两角和正切
·正弦与余弦展开是齐次式,可以弦化切
·化成tan(α+β)式子,再把tan(α+β)代入
不等式:
{14}
·三角形中,如果C<0,则A+B<90°,A<90°-B。
所以sinA<cosB
{三角比67}{三角比68}
⑤缩角:
可以判断正负的题目条件
1)答案算出来两种情况绝大部分要舍一个
2)利用sinα,cosα正负缩角
3)利用tanα与1(-1)大小比较得到α与π/4(-π/4)的关系
因为tanα在各自象限内单调递增
倍角半角
【倍角】
倍角公式
{1}{24}{27}{15}
·两倍角由于会使一倍角的范围扩大,所以几乎不用sin2e求cos2e!
{10}{28}
·同乘同除凑2倍
·到了高中找规律题
齐次式
{19}{9}
·tanα+cotα也能化成2/sin2e,根据倍角公式
·用升幂公式使次数相同
降幂公式
{2}
升幂公式
{6}
·1+cos2α=2cos2α
{22}{21}
·1-sin2e=(cose-sine)^21-sin2e=(sine+cose)^2
★一般在根号里的数都要用升幂公式
两倍角复杂计算:
{3}{4}{5}{8}
·先降幂,如果两个角降幂找不到规律,那就把次数最低的式子乘以两倍,用升幂
·巧妙地学会凑角套角,找已知角与π,π/2的关系
·因为是两倍角,所以凑上π/4就可以变成π/2
角所在象限的判断
{16}
·如果有两个象限,就需要排除一个
·一二象限用cos2α判断,三四象限用sin2α判断
【半角】
重要题之无限去根号
{11}{18}
·首先用升幂去根号(半角公式不能逆用)别忘了绝对号!
·化到最后剩e/2时别忘了α是区间角不是区域角,求得是α/2的取值,不要误想成数轴分割法
等腰三角形求三角值:
{12}
·填空题直接计算器解决
·解答题步骤:
①已知底角正弦可推出该角余弦也为正
②sin2β=sinα得到顶角正弦;
·若已知顶角用半角
正弦定理、余弦定理、解斜三角形
【三角形正弦余弦计算】
两边及一对角的讨论:
{1}{2}{12}
·两边及一对角有两解、一解、无解多种可能性,根据大角对大边做题,
·a和x(除a任意边).sin检验
边化三角值,三角值化边,判断三角形形状
{22}{23}
·化边不行就化角,一条一条试
{5}{6}{9}
{7}{20}
{13}
{18}
{19}
·A=2RsinA,SinA=A/2R,cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
·sin2A=sin2B,a^2/b^2=tanA/tanB都是直角或等腰三角形
{14}
·三角形求角写的是角度不要写弧度制
余弦定理特殊结论
{17}
·a^2=b^2+c^2-bc→A=60°a^2=b^2+c^2+bc→A=120°
诱导公式
{8}{15}
SinA=sin(B+C)
【斜三角形性质】
钝锐角三边关系:
{4}{16}
·所有边大于0
·任意两边和大于第三边,两边差小于第三边
·钝角三角形太钝,两边平方打不过人家一边
·tanα.tanβ<1,则△ABC是钝角三角形
斜三角形关系:
{3}{10}{11}
·sinA:
sinB:
sinc=a:
b:
c,不要写成sinA:
sinB:
sinC=A:
B:
C
{等比数列9}
④判断三角形成立条件方法1)任意两边大于第三边列3个式子
2)列一个式子:
两条最小边之和大于第三边
已知一角求另一角的的范围:
{40}
·三角形中求出一个角就能求出另外两个角的范围是(0,π-α)
【判断三角形形状】
{39}
{正余弦函数}
正弦函数与余弦函数的图像性质
{9}{10}
·正弦函数:
“Ω”型,代表区间:
(-π/2,3π/2)
余弦函数:
“U”型,代表区间:
(0,2π)
正弦函数与余弦函数的关系
{1}
·正弦函数y=sinx向右移动π/2+2kπ得到余弦函数y=cosx
求角的范围
{4}{5}
·三角函数线做法
值域
{6}{7}{8}
函数截断
奇偶性
{2}{3}{13}{45}
步骤
①先求出函数定义域是否关于原点对称
②sinα奇函数,cosα偶函数
③奇+奇=奇,奇*奇=偶
注意:
①sin2x,cos2x拉长收缩不影响奇偶性
{11}
增减性
{14}{15}{16}{44}
·步骤
①求定义域
②x前系数化为正
③sin如果加了负号单调性相反
④根据图像判断单调性
⑤如果sinx有范围可以使用三角战略四图做
周期问题
{12}{41}
·Y轴上下移动不影响周期性
五点法作图
{32}
·S型
{正切函数}
定义域
{1}{8}{18}{14}
·≠π/2+kπ
注意:
①分式分母≠0
②根式≥0
③对数式真数>0
④正切函数α≠π/2+kπ
值域
{2}
画图截段。
单调性
{10}
·tanx的单调性是在各自区间内体现的。
第一象限是区域角,所以tanx在第一象限不是增函数
{5}{6}
·单调性做题步骤:
①同正弦函数一样,先把一次项系数化为正
②内函数在[-π/2+kπ,π/2+kπ]中
周期
{14}
·T=π
对称性
{15}
·y=tanx关于(k.π/2,0)k∈z成中心对称。
·注意:
①写是坐标!
②写k∈Z
Sinα与cosα图像的交点:
{9}
·根据三角函数线,sinx<x<tanx。
在tanx代表区间[-π/2,π/2]中与sinx,只有一个交点在零点处.
在[-2π,2π]上有5个
正切函数三点两线法:
{16}
Y=A(sinwx+∅)的图像与性质
【函数Y=A(sinwx+∅)的认识】
{1}
·A:
①A叫做振幅
②A决定了函数的值域为[-A,A]
③y=sinx与y=2sinx对比,横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍
·ω:
①ω决定了函数的周期T=2π/ω
②意义:
纵坐标不变,横坐标变为原来的1/ω
·∅:
①叫做初相
②∅决定了函数在x=0时所对应的角,决定了函数左右位置
③在x轴上移动
【三角函数的图像变化】
{2}{3}{15}
·不管x缩减,∅在x上移动
不管x水平移动,缩减变得只是x
【复合三角函数题型】
值域
{21}{正余函数29}{正余函数43}
·步骤:
①凑成辅助角化成三角复合函数,把α=0代入检验
②求出内函数值域画图截断求出值域
③求出值域xA
{正余函数39}{正余函数42}
·已知最值,求字母做法
由于A的符号未知,故用|A|、-|A|做
增减性
{16}
·求单调性题型步骤
①求内函数的值域作为外函数定义域
②将x前系数化为正数,保证同增;若A为负则单调性相反
③根据图像确定外函数单调区间
④倒求内函数得x
{17}{正余弦38}{正切函数11}
·已知单调性反证求ω题型
步骤:
①确定ω的符号分类
②调整单调区间。
y=sinωx是奇函数单调区间受限于奇偶性要关于原点对称且包含原区间
③求外函数的增区间内函数代入得到x范围
④向k赋值(先赋0),用集合的包含做“ωx包含已知区间”
奇偶性
{9}{18}
·sin对称点为(kπ,0)cos对称点为(π/2+kπ)
Tan对称点为k.π/2
所以当e为函数对称点时函数为奇函数
·注意:
①当x=0时,若e=π/2,tanx不成立(≠0)但成奇函数
故tanx不能用(0,0)代入,会出现漏解
②e为对称点是外函数在移动,不是内函数x在移动,所以把kx看成整体不需提取k
{10}
·运用奇偶性性质f(x)=f(-x)做
对称性
{8}
题型一:
已知对称轴或对称中心,求字母
做法:
根据对称轴带两个数字算
周期性
{正切函数3}{正切函数4}
·对于进行缩减运动后的函数:
T=(原来函数周期)/|ω|
{19}{20}{23}
·题型:
对于区间[0,1]内,直线y=1经过y=sinx的点至少有50个,求ω最小值
原理:
周期是作用在x上的,根据x单位的不同,T可以是时间,可以是长度
做法:
①算出最短几个周期n(一个完整五点法即一个周期)
②nT≤1
③将2π/|ω|代入T得到ω
【Y=Asin(wx+∅)图像五点法解题】
{22}
反三角函数
【判断是否有反函数】
{1}
·判断是否存在反函数只需判断其是否是单调函数
【求定义域和值域】
{8}{11}{7}{16}
·三角函数定义域:
arcsinx和arccosx在【-1,1】中;arctanx∈R
·求三角函数值域:
传统做法:
①首先求出内函数“x”的值域
②再结合x在【-1,1】,求交集
③然后再根据单调性求出y的值域,这时内函数的值域即为外函数定义域
▲如果内函数“x”值域仍是【-1,1】,那么cosx值域仍未【0,π】
{16}
定义域:
复合函数内外函数均要成立。
三角方程不等式与三角方程一样做法
特殊做法:
①二次函数法
②单调性法
【解未知数x】
{2①}
第一种做法:
把x化到定义域中,代入,求出x。
同时注意化之前的x与化之后的x的值需相同
{2}{14}{13}
★主要用第二种做法:
运用三角方程,代K,在制定区间内
·注意:
cosx=-a→x=arccos(-a)化简后x=π-arccosa,它不是偶函数!
★★arccos(-x)=a→x=2kπ±(π-arccosx)
【求值】
{10}
可使用计算器,注意特殊值要化开来。
式子也有可能无解
【化简式子】
运用恒等式化简:
{3}{4}{10}
·解释:
恒等式由于定义域为R,又因为恒等式y=x,故x定义域就是值域。
★记忆方法:
arcsin(sinx)是角故定义域是角的范围;sin(arcsinx)是值故定义域为值
★★解题方法:
求出来x的值要通过诱导公式(化之前的值=化之后的值)变道主值区间中.
如果找不到值就是无解
运用设α化简:
{5}{6}{12}
·解释:
通过设arcsinx=α可以把sinα表示出来,同时也可把题目中的复杂式子要α代掉
【求反函数】
{9}
·先求y的值域,从而得到反函数定义域。
{9②}{15②}
·如果x已经
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