高考数学数学思想练分类讨论思想专练文.docx
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高考数学数学思想练分类讨论思想专练文
2019-2020年高考数学数学思想练分类讨论思想专练文
一、选择题
1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3| A.0≤a≤1B.a≤1 C.a<1D.0 答案 B 解析 当a≤0时,B=∅,满足B⊆A;当a>0时,欲使B⊆A,则⇒0 2.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为( ) A.2B. C.2或D.2或1 答案 C 解析 若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, 又∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2, ∴|PF1|=,|PF2|=,∴=; 若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, ∴|PF1|2+(6-|PF1|)2=20, 又|PF1|>|PF2|,∴|PF1|=4,|PF2|=2,∴=2. 综上,知=或2. 3.已知函数f(x)=满足f(a)=3,则f(a-5)的值为( ) A.log23B. C.D.1 答案 C 解析 分两种情况分析,① 或者②,①无解,由②得a=7, 所以f(a-5)=22-3+1=,故选C. 4.已知变量x,y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k等于( ) A.-B. C.0D.-或0 答案 D 解析 不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形,只有直线y=kx+1与直线x=0垂直(如图①)或直线y=kx+1与直线y=2x垂直(如图②)时,平面区域才是直角三角形. 由图形可知斜率k的值为0或-. 5.设0(ax)2的解集中的整数恰有3个,则( ) A.-1 C.1 答案 C 解析 原不等式转化为[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0. ①a≤1,结合不等式解集形式知不符合题意; ②a>1,此时- 要使原不等式解集中的整数解恰有3个, 知-3≤-<-2, 整理得2a-2 结合题意b<1+a,有2a-2<1+a. 所以a<3,从而有1 二、填空题 6.一条直线过点(5,2),且在x轴,y轴上的截距相等,则这条直线的方程为________________. 答案 x+y-7=0或2x-5y=0 解析 设该直线在x轴,y轴上的截距均为a,当a=0时,直线过原点,此时直线方程为y=x,即2x-5y=0;当a≠0时,设直线方程为+=1,则求得a=7,方程为x+y-7=0. 7.△ABC中,已知sinA=,cosB=,则cosC=________. 答案 解析 ∵0 ∴45° 若A为锐角,由sinA=,得A=30°,此时cosA=, 若A为钝角,由sinA=,得A=150°,此时A+B>180°, 这与三角形的内角和为180°相矛盾,∴A≠150°. ∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) =-(cosA·cosB-sinA·sinB) =-=. 8.设e是椭圆+=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是________. 答案 (0,3)∪ 解析 当4>k时,e==∈, 即<<1⇒1<4-k<4,即0 当4 即<<1⇒<1-<1⇒>>0⇒k>. 综上k的取值范围为(0,3)∪. 三、解答题 9.设集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若B⊆A,求实数a的值. 解 ∵A={0,-4},B⊆A,于是可分为以下几种情况. (1)当A=B时,B={0,-4}, ∴由根与系数的关系,得解得a=1. (2)当BA时,又可分为两种情况. ①当B≠∅时,即B={0}或B={-4}, 当x=0时,有a=±1; 当x=-4时,有a=7或a=1. 又由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足条件; ②当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 解得a<-1. 综合 (1) (2),所求实数a的取值为a≤-1或a=1. 10.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…). (1)求q的取值范围; (2)设bn=an+2-an+1,{bn}的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小. 解 (1)因为{an}是等比数列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0, 当q=1时,Sn=na1>0, 当q≠1时,Sn=>0, 即>0(n=1,2,3,…), 则有①或② 由①得-1 故q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). (2)由bn=an+2-an+1=an, 得Tn=Sn, 于是Tn-Sn=Sn=Sn(q-2), 又Sn>0且-1 则当-1 当- 当q=-或q=2时,Tn-Sn=0,即Tn=Sn. 11.[xx·山东调研]设函数f(x)=x2+ax-lnx(a∈R). (1)当a=3时,求函数f(x)的极值; (2)当a>1时,讨论函数f(x)的单调性. 解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), 当a=3时,f(x)=-x2+3x-lnx, f′(x)==-. 当 当0 所以f(x)极大值=f (1)=2,f(x)极小值=f=+ln2. (2)f′(x)=(1-a)x+a-= =. 当=1,即a=2时,f′(x)=-≤0,f(x)在定义域上是减函数; 当0<<1,即a>2时,令f′(x)<0,得0 令f′(x)>0,得 当>1,即10,得1 由f′(x)<0,得0 综上,当a=2时,f(x)在(0,+∞)上是减函数; 当a>2时,f(x)在和(1,+∞)上单调递减,在上单调递增; 当1 12.[xx·黄冈质检]已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,点A在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点O为圆心的圆,满足此圆与l相交于点P1,P2(两点均不在坐标轴上),且使得直线OP1,OP2的斜率之积为定值? 若存在,求出此圆的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)由题意,得=,a2=b2+c2,因为点A在椭圆C上,所以+=1,解得a=2,b=1,c=, 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)结论: 存在符合条件的圆,且此圆的方程为x2+y2=5. 证明如下: 假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为x2+y2=r2(r>0). 当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m. 由方程组 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点, 所以Δ1=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0, 即m2=4k2+1. 由方程组 得(k2+1)x2+2kmx+m2-r2=0, 则Δ2=(2km)2-4(k2+1)(m2-r2)>0. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则x1+x2=,x1·x2=. 设直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2, 所以k1k2== = ==. 将m2=4k2+1代入上式,得k1·k2=. 要使得k1k2为定值,则=,即r2=5,验证符合题意. 所以当圆的方程为x2+y2=5时,圆与l的交点P1,P2满足k1k2为定值-. 当直线l的斜率不存在时,由题意知l的方程为x=±2, 此时,圆x2+y2=5与l的交点P1,P2也满足k1k2=-. 综上,当圆的方程为x2+y2=5时,圆与l的交点P1,P2满足直线OP1,OP2的斜率之积k1k2为定值-. 2019-2020年高考数学数学思想练分类讨论思想专练理 一、选择题 1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3| A.0≤a≤1B.a≤1 C.a<1D.0 答案 B 解析 当a≤0时,B=∅,满足B⊆A;当a>0时,欲使B⊆A,则⇒0 2.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为( ) A.2B.C.2或D.2或1 答案 C 解析 若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, 又∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2, ∴|PF1|=,|PF2|=,∴=; 若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, ∴|PF1|2+(6-|PF1|)2=20, 又|PF1|>|PF2|,∴|PF1|=4,|PF2|=2,∴=2. 综上,知=或2. 3.已知函数f(x)=满足f(a)=3,则f(a-5)的值为( ) A.log23B.C.D.1 答案 C 解析 分两种情况分析,① 或者②,①无解,由②得a=7, 所以f(a-5)=22-3+1=,故选C. 4.已知变量x,y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k等于( ) A.-B.C.0D.-或0 答案 D 解析 不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形,只有直线y=kx+1与直线x=0垂直(如图①)或直线y=kx+1与直线y=2x垂直(如图②)时,平面区域才是直角三角形. 由图形可知斜率k的值为0或-. 5.设0(ax)2的解集中的整数恰有3个,则( ) A.-11.
0,
2时,Tn-Sn>0,即Tn>Sn;
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