图形的综合提高.docx
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图形的综合提高.docx
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图形的综合提高
年级
初一
学科
数学
编稿老师
郑如霞
课程标题
图形的综合提高
一校
林卉
二校
黄楠
审核
孙永涛
一、考点突破
图形的初步认识是几何的入门知识,引导我们将对周围物体形状的感性认识逐步上升为抽象的几何图形。
这部分内容的概念较多,在学习时要多结合图形,加深对概念的理解,抓住其本质属性,认识它们之间的区别和联系。
同时应加强几何语言的训练,体会几何语言的严密性。
二、重难点提示
重点:
两条直线的相交和平行的位置关系,以及相交、平行的综合应用。
难点:
垂直、平行的性质和判定的综合应用。
能力提升类
例1将图
(1)中a×b的矩形剪去一些小矩形得图
(2),图(3),请分别求出各图形的周长,其中EF=c。
一点通:
把原题图
(2)中的CD、EF、GH平移到AB上,DE、FG和AH移到BC上,把图(3)中的CD、IJ平移到AB上,DE、FG、HI和JA平移到BC上,即可得出各图形的周长。
解:
原矩形图
(1)的周长为2(a+b);图
(2)的周长为2(a+b);图(3)的周长为2(a+b+c)
点评:
本题考查求不同图形的周长。
采用平移的方法,将分开的长度平移到某条已知的直线上,再计算。
例2如图,已知AB∥CD,∠1=∠2。
试问∠BEF=∠EFC吗?
为什么?
一点通:
已知AB∥CD,在两平行线之间建立联系,不妨连接BC,再考虑平行线的性质解题.或者根据逆向思维,若要证明∠BEF=∠EFC,只需证明EB∥CF,根据已知条件证明。
解:
∠BEF=∠EFC。
证明:
连结BC。
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD。
又∵∠1=∠2,
∴∠EBC=∠FCB,
∴EB∥CF,
∴∠BEF=∠EFC。
点评:
本题即使在两平行线间出现拐角,也不采用作平行线的方法,而是连接BC,使已知的平行线被第三条直线所截。
综合运用类
例3一位父亲有一块正方形的土地,他把其中的
留给自己,其余的平均分给他的四个儿子,如图所示,他想使每个儿子获得的土地面积相等,形状相同,这位父亲应该怎么分?
一点通:
父亲和四个儿子分割一个正方形,父亲留
,则所剩的三个小正方形每一个再分割为四个相等的小正方形,并且让出一个小正方形,土地面积就会相等。
所让的三个小正方形必有一条棱重合才能为一体,故如图所分就可使形状相同。
解:
点评:
本题应多考虑正方形的特点,取正方形两边中点的连线可以平分正方形的面积。
例4如图,AB∥EF,设∠C=90°,那么x、y和z之间有怎样的关系呢?
一点通:
当两平行线间出现拐角时,过拐点作某直线的平行线,根据平行公理,三条直线两两平行,再考虑平行线的性质定理解题。
解:
过点C、D分别作直线CM∥AB,DN∥AB,
∵AB∥EF,
∴CM∥EF,DN∥EF,CM∥DN,
∴∠B=∠BCM=x,∠E=∠EDN=z,∠NDC=∠MCD,
∵∠CDE=∠CDN+∠EDN=y,∠BCD=∠BCM+∠DCM=90°,
∴x+y=∠BCM+∠CDE=∠BCM+∠CDN+∠EDN
=∠BCM+∠DCM+∠EDN=90°+z,
∴x+y-z=90°。
点评:
两平行线间有两个拐点,分别过拐点作平行线,若出现N个拐点,是否可以考虑作N条平行线?
例5如图在△ABC中,过A点的中线能把三角形分成面积相同的两部分。
你能过AB边上的一点E作一条直线EF,使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗?
一点通:
平分三角形面积,应多考虑用等面积法解题,同时应考虑夹在两条平行线间的垂线段相等。
基本图形参考如下。
解:
如图,连接EC,过点A作AD∥EC,与BC的延长线交于点D,取BD的中点F,连接EF,直线EF平分△ABC的面积.
∵S△ACE=S△DCE(同底等高)
∴S△ACE-S△COE=S△DCE-S△COE
∴即S△AOE=S△DOC,
∵EF平分△BED的面积,
∴EF平分△ABC的面积。
点评:
根据等面积关系,可以使某些作图题较快地得到解答。
思维拓展类
例6如图
(1),MA1∥NA2,则∠A1+∠A2=_________度。
如图
(2),MA1∥NA3,则∠A1+∠A2+∠A3=_________度。
如图(3),MA1∥NA4,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=__度。
如图(4),MA1∥NA5,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=____度。
从上述结论中你发现了什么规律?
如图(5),MA1∥NAn,则∠A1+∠A2+∠A3+……+∠An=___度。
一点通:
分别过拐点作已知直线的平行线,根据平行线的性质解题。
解:
(1)∠A1+∠A2=180°;
(2)如图b,过点A2作PA2∥MA1,∠A1+∠A2+∠A3=360°;
(3)如图c,分别过点A2、A3作PA2∥MA1,QA3∥MA1,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°;
(4)∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°;
根据上述结论,可以发现规律:
(5)∠A1+∠A2+∠A3+……+∠An=(n-1)∙180°。
点评:
本题为找规律类问题,可以根据前四个计算的结果,发现规律。
例7如图,直线AC∥BD,直线AB分别与它们相交于点A,B,三条直线把平面分成①②③④⑤⑥六个部分(每个部分不包括边界)。
当动点P落在某个部分时,连结PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角。
(1)当动点P落在第①部分时,求证:
∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠PAC,∠APB,∠PBD三者之间的数量关系是;
(3)当动点P落在第③部分时,∠PAC,∠APB,∠PBD三者之间的数量关系是;
(4)当动点P落在第④部分时,∠PAC,∠APB,∠PBD三者之间的数量关系是。
一点通:
分别过拐点作已知直线的平行线,根据平行线的性质解题或者根据三角形外角等于与其不相邻的两个内角和,判断三个角的数量关系。
解:
(1)如下图,过点P作PQ∥AC,
∵AC∥BD,
∴PQ∥BD,
∴∠PAC=∠APQ,∠PBD=∠BPQ,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)如下图,当动点P落在第②部分时,∠PAC,∠APB,∠PBD三者之间的数量关系:
∠PAC+∠APB+∠PBD=360°;
(3)如下图,当动点P落在第③部分时,∠PAC,∠APB,∠PBD三者之间的数量关系:
∠PAC-∠PBD=∠APB;
(4)如下图,当动点P2落在第④部分时,∠P2AC,∠AP2B,∠P2BD三者之间的数量关系:
∠P2BD=∠P2AC+∠AP2B。
点评:
本题根据点P的不同位置,∠PAC,∠APB,∠PBD三者之间的数量关系在发生变化,同学们可以根据变化的情况分析点P落在第⑤、⑥部分时三个角之间的数量关系是什么。
1.正确理解垂线段及点到直线的距离,距离一定代表长度;
2.正确辨别同位角、内错角、同旁内角,掌握规律与技巧;
3.正确识别截线与被截直线,从而准确判断两直线平行;
4.区分平行线的判定和性质、确定平行线性质成立的条件;
5.应用两直线平行的性质和判定解题是关键,要熟悉定理。
问题:
如图①②所示,将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起,像图①②那样放置。
(1)若∠BOC=60°,如图①,猜想∠AOD的度数。
(2)若∠BOC=70°,如图②,猜想∠AOD的度数。
(3)猜想∠AOD和∠BOC的关系,并写出理由。
一点通:
两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起,已知∠BOC=60°,可以求出∠AOC,再把所求的角用已知角的和或差表示。
解:
(1)∵∠AOB=90°,∠BOC=60°,
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-60°=30°。
又∵∠COD=90°,
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=30°+90°=120°。
(2)∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD=360°,
∠AOB=90°,∠COD=90°,∠BOC=70°,
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-∠BOC=360°-90°-90°-70°=110°。
(3)由
(1)知∠AOD+∠BOC=120°+60°=180°,
由
(2)知∠AOD+∠BOC=110°+70°=180°,
故由
(1),
(2)可猜想:
∠AOD+∠BOC=180°。
点评:
本题也可以作为旋转图形考虑,旋转的两个三角形对应角相等,同时旋转的角度相等,即∠AOC=∠BOD。
(答题时间:
50分钟)
一、选择题
1.如图,若两条平行线EF,MN与直线AB、CD相交,则图中共有同旁内角的对数为()
A.4B.8C.12D.16
2.一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点,再从B出发向南偏西15°方向走到C点,那么∠ABC等于()
A.75°B.105°C.45°D.135°
3.已知,OA⊥OC,且∠AOB:
∠AOC=2:
3,则∠BOC的度数为()
A.30°B.150°C.30°或150°D.90°
4.如图,DH∥EG∥BC,DC∥EF,那么与∠EFB相等的角(不包括∠EFB)的个数为()
A.2个B.3个C.4个D.5个
5.∠1和∠2是两直线
被直线
所截得到的同旁内角,若
∥
,则下列说法正确的是()
A.∠1=∠2B.∠1+∠2=90°
C.
°D.
°
6.如图,已知
∥
,
°,
°,则
()
A.55°B.60°C.65°D.70°
7.如图,如果AB∥CD,CD∥EF,那么∠BCE等于()
A.∠1+∠2B.∠2-∠1C.
°-∠2+∠1D.
°-∠1+∠2
8.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐弯的∠A是120°,第二次拐弯的∠B是150°,第三次拐弯的角是∠C,这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C的大小为()
A.120°B.130°C.140°D.150°
二、填空题
9.如图,若
°
°
°,∠2=°
10.如图,AB∥CD,∠A=48°,∠C=29°,则∠AEC=
11.如图,AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+……+∠2n=
12.如图,D是AB上一点,CE∥BD,CB∥ED,EA⊥BA于点A,若∠ABC=38°,则∠AED=°
三、解答题
13.如图,DB∥FG∥EC,∠ACE=36°,AP平分∠BAC,∠PAG=12°,求∠ABD的度数。
14.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,试判断ED与FB的位置关系,并说明为什么?
15.两条平行直线上各有n个点,用这n对点按如下的规则连接线段;
①平行线之间的点在连线段时,可以有共同的端点,但不能有其它交点;
②符合①要求的线段必须全部画出;
图1展示了当n=1时的情况,此时图中三角形的个数为0;
图2展示了当n=2时的一种情况,此时图中三角形的个数为2;
(1)当n=3时,请在图3中画出使三角形个数最少的图形,此时图中三角形的个数是多少个;
(2)试猜想当有n对点时,按上述规则画出的图形中,最少有多少个三角形?
(3)当n=2011时,按上述规则画出的图形中,最少有多少个三角形?
16.如图,在四边形ABCD中,∠A=104°-∠2,∠ABC=76°+∠2,BD⊥CD于D,EF⊥CD于F,能辨认∠1=∠2吗?
试说明理由。
一、选择题
1.D2.C3.C4.C5.C6.C7.C8.D
二、填空题
9.115°,65°10.77°11.(2n-1)180°12.52°
三、解答题
13.解:
∵FG∥EC,
∴∠GAC=∠ACE=36°,
∴∠PAC=∠PAG+∠GAC=36°+12°=48°。
又∵AP平分∠BAC,
∴∠BAP=∠PAC=48°,
∴∠BAG=∠BAP+∠PAG=48°+12°=60°。
∵DB∥FG,
∴∠ABD=∠BAG=60°。
14.解:
BF、DE互相平行;
理由:
如图;
∵∠3=∠4,
∴BD∥CF;
∴∠5=∠BAF;
又∵∠5=∠6,
∴∠BAF=∠6;
∴AB∥CD;
∴∠2=∠EHA;
又∵∠1=∠2,即∠1=∠EHA,
∴BF∥DE。
15.
(1)
4个
(2)当有
对点时,最少可以画2(n-1)个三角形
(3)2×(2011-1)=4020个
答:
当n=2011时,最少可以画4020个三角形。
16.解:
能辨认∠1=∠2
证明:
因为由已知∠A=104°-∠2,∠ABC=76°+∠2,
所以∠A+∠ABC=104°-∠2+76°+∠2=180°,
所以AD∥BC,
∠1=∠DBC,因为BD⊥DC,EF⊥DC,
所以BD∥EF,
所以∠2=∠DBC,
所以∠1=∠2。
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