数学运算典型问题分析.docx

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数学运算典型问题分析

比例问题

【例题1】有甲、乙两个项目组。

乙组任务临时加重时,从甲组抽调了甲组四分之一的组员。

此后甲组任务也有所加重,于是又从乙组调回了重组后乙组人数的十分之一。

此时甲组与乙组人数相等。

由此可以得出结论（）。

A.甲组原有16人,乙组原有11人

B.甲、乙两组原组员人数之比为16:

11

C.甲组原有11人,乙组原有16人

D.甲、乙两组原组员人数之比为11:

16

解析：

如果设甲组原有x人，乙组原有y人，则所求为x：

y。

根据条件可列方程，即11x＝16y，显然x：

y＝16：

11，故正确答案为B。

【例题2】某市现在有70万人口,如果5年后城镇人口增加4%,农村人口增加5.4%,则全市人口将增加4.8%,那么这个城市现有城镇人口（）。

A.30万B.31.2万C.40万D.41.6万

解析:

设现有城镇人口为x,原有农村h口为y,则可列二元一次方程组:

本题也可用代入法

解得x＝30，y＝40

所以，现有城镇人口为30万。

故正确答案为A.

【例题3】某服装厂生产出来的一批衬衫中大号和小号占一半。

其中25%是白色的,75%是蓝色的。

如果这批衬衫总共有100件,其中大号白色衬衫有10件,问小号蓝色衬衫有多少件?

（）

A.15B.25C.35D.40

解析:

根据已知大号白＝10件,因为大号共50件,所以,大号蓝＝40件;又因为蓝色共75件,所以,小号蓝＝35件。

故正确答案为C。

【例题4】甲乙丙三人买书共花费96元钱,已知丙比甲多花16元,乙比甲多花8元,则甲乙丙三人花的钱的比是（）。

A.3:

5:

4B.4:

5:

6C.2:

3:

4D.3:

4:

5

解析:

甲花费了（96－l6－8）3＝24元,则乙花了24＋8＝32元,丙花了24＋16=40元,所以比值为24:

32:

40＝3:

4:

5。

故正确答案为D。

比赛问题

【例题1】学校举办一次中国象棋比赛，有10名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局，比赛规则，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分。

比赛结束后，10名同学的得分各不相同，已知：

（1）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过;

（2）前两名的得分总和比第三名多20分;

（3）第四名的得分与最后四名的得分相等。

那么，排名第五的同学的得分是（）。

A.8分B.9分C.10分D.11分

解析：

本题运用代入法，经计算，正确答案为D。

【例题2】100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛（）。

A.90场B.95场C.98场D.99场

解析：

每场淘汰1人，100人最后剩两人，所以举行98场比赛。

故正确答案为C。

【例题3】赛马场的跑马道600米长，现有甲、乙、丙三匹马，甲1分钟跑2圈，乙1分钟跑3圈，丙1分钟跑4圈。

如果三匹马并排在起跑线上，同时往一个方向跑，请问经过几分钟，这三匹马自出发后第一次并排在起跑线上？

（）

A.12B.1C.6D.13

解析：

此题是一道具有迷惑性的题，“1分钟跑2圈”和“2分钟跑1圈”是不同概念，不要等同于去求最小公倍数的题。

显然1分钟之后，无论甲、乙、丙跑几圈都回到了起跑线上，故正确答案为B。

【例题4】龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米。

乌龟停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑一分钟，然后玩十五分钟，又跑二分钟，然后玩十五分钟，又跑三分钟，然后玩十五分钟……那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？

（）

A.104B.90.6C.15.6D.13.4

解析：

乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×6＝104分钟。

兔子如果不休息，则需要时间5.2÷20×60＝15.6分钟。

而兔子休息的规律是跑1、2、3……分钟后，休息15分钟。

因为15.6＝1＋2＋3＋4＋5＋0.6，所以兔子休息了5×15＝75分钟，即兔子跑到终点所需时间为15.6＋75＝90.6分钟，故正确答案为D。

乘方问题

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。

核心公式：

1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）

2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1

3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2

4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1

例1学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?

A．256人B．250人C．225人D．196人（2002年A类真题）

解析：

方阵问题的核心是求最外层每边人数。

根据四周人数和每边人数的关系可以知：

每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：

60÷4+1=16（人）

整个方阵共有学生人数：

16×16=256（人）。

所以，正确答案为A。

例2参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。

问参加团体操表演的运动员有多少人？

分析：

如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。

从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：

去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1

·····

·····

·····

·····

·····

解析：

方阵问题的核心是求最外层每边人数。

原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17

方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289（人）

下面几道习题供大家练习：

1.小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。

如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是：

A．1元B．2元C．3元D．4元

2.某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人；第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。

仪仗队总人数为多少？

答案：

1.C2.500人

“工程”问题

例1.一篇文章,现有甲乙丙三人,如果由甲乙两人合作翻译,需要10小时完成,如果由乙丙两人合作翻译,需要12小时完成,现在先由甲丙两人合作翻译4小时,剩下的再由乙单独翻译,需要12小时才能完成。

则这篇文章如果全部由乙单独翻译,需要（）小时能够完成。

A.l5B.18C.20D.25

解析:

设干完所有的工作甲需要x小时,乙需要Y小时,丙需要z小时。

根据题意,可知:

故正确答案为A。

例2.甲乙两名工人8小时共加工736个零件,甲加工的速度比乙加工的速度快30%,问乙每小时加工多少个零件?

（）

A.30个B.35个C.40个D.45个

解析:

用方程法解答,设乙加工速度为x,则甲加工速度为x（l＋30%）＝1.3x,由题意得出:

（x＋l.3x）×8＝736,解得x＝40,故正确答案为C。

例3.两个运输队,第一队有320人,第二队有280人,现因任务变动,要求第二队的人数是第一队人数的2倍,需从第一队抽调多少人到第二队?

（）

A.80人B.100人C.120人D.l40人

解析:

由题意可知,调动后第一队应有（320＋280）÷3＝200人,所以应调120人去第二队。

故正确答案为C。

例4.甲、乙两厂生产同一种玩具,甲厂生产的玩具数量每个月保持不变,乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍，已知1月份两厂共生产玩具105件，2月份共生产110件。

乙厂的月产量第一次超过甲厂是在几月份？

（）

A.3月份B.5月份C.6月份D.第二年8月份

解析：

由题意可知，乙厂1月份生产的数量5件，并且每月产量是一个以2为公比的等比数列，故可在6月份超过甲厂。

故正确答案为C。

例5.一个工厂有若干个车间，为了调查产品的质量情况，采用简单随机抽样的方法，从全厂某天生产的3630件产品中抽取150件产品作样本进行质量检查。

若第一车间这一天生产了440件产品，那么从该车间抽取的产品件数为（）。

A.16B.18C.27D.32

解析：

从3630中抽取150件进行检查，3630÷150=24.2件，相当于从每24.2件产品中抽一件进行检查，那么440÷24.2＝18.18件，故正确答案为B。

“利润”问题

利润问题多是商业中的百分数问题。

成本、定价、利润、打折是常用的词汇，他们分别代表什么呢？

举个离子大家就非常清楚了。

例如一张桌子的买入价或做这张桌子所需要的钱，就是成本。

如果这张桌子的成本是100元，以120元的价格售出，这120元就是这张桌子的定价，定价与成本的差，即120-100=20，这20元就是利润。

利润就是挣的钱。

利润占成本的百分数就是利润率。

商店有时减价出售商品，我们把它称为“打折”，几折就是百分之几十。

如果某种商品打“八折”出售，就是按原价的80%出售；如果某商品打“八五”折出售，就是按原价的85%出售。

利润问题中，还有一种利息和利率的问题，它也属于百分数应用题。

本金是存入银行的钱。

利率是银行公布的，是把本金看做单位“1”，按百分之几或千分之几付给储户的。

利息是存款到期后，除本金外，按利率付给储户的钱。

本息和是本金与利息的和。

这一问题常用的公式有：

定价=成本+利润

利润=成本×利润率

定价=成本×（1+利润率）

利润率=利润÷成本

利润的百分数=（售价-成本）÷成本×100%

售价=定价×折扣的百分数

利息=本金×利率×期数

本息和=本金×（1+利率×期数）

【例题1】某商品按20%的利润定价，又按八折出售，结果亏损4元钱。

这件商品的成本是多少元？

A.80B.100C.120D.150

【答案】B。

【解析】现在的价格为（1+20%）×80%=96%，故成本为4÷（1-96%）=100元。

【例题2】某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的八五折出售8个，按定价每个减价35元出售12个，所能获得的利润一样。

这种商品每个定价多少元？

（）

A.100B.120C.180D.200

【答案】D。

【解析】每个减价35元出售可获得利润（45-35）×12=120元，则如按八五折出售的话，每件商品可获得利润120÷8=15元，少获得45-15=30元，故每个定价为30÷（1-85%）=200元。

【例题3】一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元？

（）

A.1000B.1024C.1056D.1200

【答案】C。

【解析】设乙店进货价为x元，可列方程20%x-20%×（1-12%）x=24，解得x=1000，故甲店定价为1000×（1-12%）×（1+20%）=1056元。

平均数问题

这里的平均数是指算术平均数，就是n个数的和被个数n除所得的商，这里的n大于或等于2。

通常把与两个或两个以上数的算术平均数有关的应用题，叫做平均数问题。

平均数应用题的基本数量关系是：

总数量和÷总份数=平均数

平均数×总份数=总数量和

总数量和÷平均数=总份数

解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。

例1：

在前面3场击球游戏中，某人的得分分别为130、143、144。

为使4场游戏得分的平均数为145，第四场他应得多少分？

（）

【答案】C。

解析：

4场游戏得分平均数为145，则总分为145×4=580，故第四场应的580-130-143-144=163分。

例2：

李明家在山上，爷爷家在山下，李明从家出发一每分钟90米的速度走了10分钟到了爷爷家。

回来时走了15分钟到家，则李是多少？

（）

A.72米/分B.80米/分C.84米/分D90米/分

【答案】A。

解析：

李明往返的总路程是90×10×2=1800（米），总时间为10+15=25均速度为1800÷25=72米/分。

例3：

某校有有100个学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均60分，女生平均70分，则男生比女生多多少人？

（）

A.30B.32C.40D.45

【答案】C。

解析：

总得分为63×100=6300，假设女生也是平均60分，那么100个学生共的6000分，这样就比实得的总分少300分。

这是女生平均每人比男生高10分，所以这少的300分是由于每个女生少算了10分造成的，可见女生有300÷10=30人，男生有100-30=70人，故男生比女生多70-30=40人。

以下为习题供大家练习：

1、5个数的平均数是102。

如果把这5个数从小到大排列，那么前3个数的平均数是70，后3个数的和是390。

中间的那个数是多少？

（）

A.80B.88C.90D.96

2、甲、乙、丙3人平均体重47千克，甲与乙的平均体重比丙的体重少6千克，甲比丙少3

千克，则乙的体重为（）千克。

A.46B.47C.43D.42

3、一个旅游团租车出游，平均每人应付车费40元。

后来又增加了8人，这样每人应付的车

费是35元，则租车费是多少元？

（）

A.320B.2240C.2500D.320

浓度问题

【例题1】取甲种硫酸300克和乙种硫酸250克，再加水200克，可混合成浓度为50％的硫酸;而取甲种硫酸200克和乙种硫酸150克，再加上纯硫酸200克，可混合成浓度为80％的硫酸。

那么，甲、乙两种硫酸的浓度各是多少？

（）

A.75％，60％B.68％，63％C.71％，73％D.59％，65％

解析，设甲、乙两种硫酸的浓度分别是x、y。

那么300x＋250y＝750×50％;200x＋150y＋200＝550×80％，求得x＝75％，y＝60％。

故正确答案A.

【例题2】两个要同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是3:

1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是4:

1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？

（）

A.31:

9B.7:

2C.31:

40D.20:

11

【例题3】现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。

若从甲中取2100克，乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3％，若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的消毒溶液的浓度为5％，则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为（）

A.3％，6％B.3％，4％C.2％，6％D.4％，6％

解析：

应用代入法，假设为A，（2100×3％＋700×6％）÷2800＝3.75％，所以排除掉，同理B也可以排除，只有C是符合的，故正确答案为C。

【例题4】甲容器中有浓度为4％的盐水250克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。

现从乙中取出750克盐水，放入甲容器中混合成浓度为8％的盐水。

问乙容器中的盐水浓度约是多少？

（）

A.9.78％B.10.14％C.9.33％D.11.27％

解析：

设乙容器中盐水尝试是x，由溶质不变，可得250×4％＋750x＝（250＋750）×8％，解得x≈9.33％，故正确答案为C。

年龄问题

年龄问题是日常生活中一种十分常见的问题，也是公务员考试数学运算部分中的常见题型。

它的主要特点是：

时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。

年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。

解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。

解答年龄问题的一般方法：

几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差－小年龄

几年前的年龄=小年龄－大小年龄差÷倍数差

【例题1】甲对乙说：

当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。

乙对甲说：

当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁，甲乙现在各有：

A．45岁，26岁B．46岁，25岁C．47岁，24岁D．48岁，23岁

【答案】B。

【解析】甲、乙二人的年龄差为（67－4）÷3=21岁，故今年甲为67－21=46岁，乙的年龄为45－21=25岁。

【例题2】爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。

当爸爸的年龄是哥哥的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸34岁。

现在爸爸的年龄是多少岁？

A．34B．39C．40D．42

【答案】C。

【解析】解法一：

用代入法逐项代入验证。

解法二，利用“年龄差”是不变的，列方程求解。

设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为：

x、y和z。

那么可得下列三元一次方程：

x+y+z=64；x-（z-9）=3[y-（z-9）]；y-（x-34）=2[z-（x-34）]。

可求得x=40。

【例题3】1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。

2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。

问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?

A．34岁，12岁B．32岁，8岁C．36岁，12岁D．34岁，10岁

【答案】C。

【解析】抓住年龄问题的关键即年龄差，1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍，则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄，2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍，此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄，根据年龄差不变可得

3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄

3×1998年乙的年龄=2×（1998年乙的年龄+4）

1998年乙的年龄=4岁

则2000年乙的年龄为10岁。

以下是几道习题供大家练习：

1.爸爸在过50岁生日时，弟弟说：

“等我长到哥哥现在的年龄时，我和哥哥的年龄之和等于那时爸爸的年龄”，那么哥哥今年多少岁？

A.18B.20C.25D.28

2.甲、乙两人的年龄和正好是80岁，甲对乙说：

“我像你现在这么大时，你的年龄正好是我的年龄的一半。

”甲今年多少岁？

（）

A.32B.40C.48D.45

3.父亲与儿子的年龄和是66岁，父亲的年龄比儿子年龄的3倍少10岁，那么多少年前父亲的年龄是儿子的5倍？

（）

A.10B.11C.12D.13

排列组合问题

排列组合问题是公务员考试当中经常考察的一种题型，也是很多考生理解的不是很清晰的一类题型，所以通过几篇文章详细分析一下排列组合问题的解题思路和解题方法，希望对考生的备考有所帮助。

解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。

下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一、合理分类与准确分步法（利用计数原理）

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（）

A．120种B．96种C．78种D．72种

分析：

由题意可先安排甲，并按其分类讨论：

1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。

解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。

二、特殊元素与特殊位置优待法

对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：

先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

例2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）

（A）280种（B）240种（C）180种（D）96种

分析：

由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有种不同的选法，所以不同的选派方案共有=240种，选B。

三、插空法、捆绑法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

例3、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？

分析：

先将其余四人排好有A=24种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有C=10种方法，这样共有24*10=240种不同排法。

对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。

时钟问题

时钟问题的关键点：

时针每小时走30度

分针每分钟走6度

分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。

请看例题：

【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：

A．1次B．2次C．3次D．4次

【解析】

时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：

根据角度差/速度差=分钟数，可得90/5．5=16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5=49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。

经验证，选B可以。

【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为

A．10点15分

B．10点19分

C．10点20分

D．10点25分

【解法1】

时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以答案为A。

【解法2】常规方法

设此时刻为X分钟。

则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ—3）+10×30度。

所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。

统筹问题

公务员考试中的统筹问题是操作性比较强的简单的线形规划问题，一般都很容易想。

一般地，考试中的统筹问题可分为以下两种：

（一）发挥专长型

例1.甲地有89吨货物运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨，大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟货物耗油9升，运完这些货物最少耗油多少升？

A.181B.186C.194D.198

解析：

答案A。

大卡车每吨货物要耗油14÷7=2升，小卡车每吨货物要耗油9÷4=2.25升，则应尽量用大卡车运货，故可安排大卡车运11趟，小卡车运3趟，可正好运完89吨货物，耗油11×14+3×9=181升。

例2.某制衣厂两个制衣小组生产同一规格的上衣和裤子，甲组每月18天时间生产上衣，12天时间生产裤子，每月生产600套上衣和裤子；乙组每月用15天时间生产上衣，15天时间生产裤子，每月生产600套上衣和裤子。

如果两组合并，每月最多可以生产多少套上衣和裤子？

A.1320B.1280C.1360D.1300

解析：

答案A。

由题意知：

甲生产裤子速度快，乙生产上衣比较快，那么就先发挥所长，即乙用一个月可生产上衣1200套，而甲生产1200套裤子只需24天，剩下6天甲单独生产，可生产120套，故，最多可生产1200+120=1320套。

例3.全公司104人