高一数学暑假作业II.docx
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高一数学暑假作业II
2019-2020年高一数学暑假作业(II)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在某几何体的三视图中,主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆,圆的半径为R,则这个几何体的体积是()
A.
πR3B.
πR3C.πR3D.
2.在空间直角坐标系中,方程x2-4(y-1)2=0表示的图形是()
A.两个点B.两条直线
C.两个平面D.一条直线和一个平面
3.长方体各面上的对角线所确定的平面个数是()
A.20B.14C.12D.6
4.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是()
A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0
5.与圆C:
x2+(y+5)2=3相切,且纵截距和横截距相等的直线共有()
A.2条B.3条C.4条D.6条
6.若l为一条直线,α、β、γ为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:
①α⊥γ,β⊥γ
α⊥β;②α⊥γ,β∥γ
α⊥β;③l∥α,l⊥β
α⊥β.
其中正确的命题有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
7.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是()
A.16πB.20πC.24πD.32π
8.将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是()
A.
B.6C.
D.
9.已知点P(2,-3)、Q(3,2),直线ax-y+2=0与线段PQ相交,则a的取值范围是()
A.a≥
B.a≤
C.
≤a≤0D.a≤
或a≥
10.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.直线l与直线3x+4y-15=0垂直,与圆x2+y2-18x+45=0相切,则l的方程是()
A.4x-3y-6=0B.4x-3y-66=0
C.4x-3y-6=0或4x-3y-66=0D.4x-3y-15=0
12.直线3x-2y+m=0和直线(m2-1)x+3y-3m+2=0的位置关系是()
A.平行B.重合C.相交D.不能确定
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)
13.已知A(-1,-2,1)、B(2,2,2),点P在z轴上,且d(P,A)=d(P,B),则点P的坐标为___________.
14.若P在坐标平面xOy内,A点坐标为(0,0,4),且d(P,A)=5,则点P组成的曲线为___________.
15.如下图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.
16.过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于x+2y+11=0的直线方程是___________.
三、解答题(共74分)
17.(本小题12分)如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:
图2
(1)A1D∥平面CB1D1;
(2)平面A1BD∥平面CB1D1.
18.(本小题12分)如图3,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=1,BC=2.
图3
(1)求证:
A1C1⊥AB;
(2)求点B1到平面ABC1的距离.
19.(本小题12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为
,求圆的方程.
20.(本小题12分)已知圆C:
(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.
(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程;
(3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.
21.(本小题12分)如图4,在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是AA1、D1C1的中点,过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l;
图4
(1)画出直线l;
(2)设l∩A1B1=P,求PB1的长;
(3)求D到l的距离.
22.(本小题14分)设有半径为3km的圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,B向北直行,A先向东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与B相遇,设A、B两人速度一定,其速度比为3∶1,问两人在何处相遇.
2016年永春一中高一年数学暑假作业(四)参考答案
1.解析:
由题意,这个几何体是球,故体积为
πR3.
答案:
D
2.解析:
由原方程可得(x+2y-2)(x-2y+2)=0,∴x+2y-2=0或x-2y+2=0.
答案:
C
3.解析:
相对两平行平面中有两组平行对角线,可以确定两个平面,这样有6个平面.又因为每个顶点对应一个符合条件的平面,这样又有8个平面,共有14个平面.
答案:
B
4.解:
设(x0,y0)是直线2x+3y-6=0上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y),则2x0+3y0-6=0.(*)
又由对称性知
∴
代入(*)式得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0.
答案:
D
5.解析:
原点在圆C外,过原点的两条切线在坐标轴上的截距也是相等的;若切线不过原点,设为x+y=a,圆心为(0,-5),半径为
∴
.
∴a=-5±
.
∴在两轴上截距相等、斜率为-1的直线又有两条,共有4条.
答案:
C
6.解析:
本题考查线面和面面的垂直平行垂直关系.
①中可由长方体的一角证明是错误的;②③易证明是正确的.
答案:
C
7.解析:
本题考查长方体和正四棱柱的关系以及球的表面积的计算.由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心即球的直径为
根据球的表面积公式,可得球的表面积为24π.
答案:
C
8.解:
设水面高度为h.由42×8π=
×(
h)2πh,
∴h=
.故选C.
答案:
C
9.解析:
直线ax-y+2=0可化为y=ax+2,斜率k=a,恒过定点A(0,2).
如图,直线与线段PQ相交,0≥k≥kAP,即
≤a≤0.
答案:
C
10.解:
圆心(3,3)到直线3x+4y-11=0的距离为d=
=2,圆的半径是3.
∴圆上的点到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有3个.
答案:
C
11.解:
由直线l与直线3x+4y-15=0垂直,则可设l的方程是4x-3y+b=0.
由圆x2+y2-18x+45=0,知圆心O′(9,0),半径r=6,
∴
=6,|36+b|=30.
∴b=-6或b=-66.
故l的方程为4x-3y-6=0或4x-3y-66=0.
答案:
C
12.解析:
因为3×3-2(m2-1)=0,m无解,可得3×3≠2(m2-1),即两直线斜率不相等,所以这两条直线不平行或重合,由两直线相交的条件,可得两直线相交.
答案:
C
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)
13.解:
∵P在z轴上,
∴设P点坐标为(0,0,z).
又∵|PA|=|PB|,
∴利用距离公式得z=3.
答案:
(0,0,3)
14.解析:
考查两点距离公式的应用和探究问题的能力.设P(x,y,0),则d(P,A)=
,因为|PA|=5,所以x2+y2+16=25,即x2+y2=9.所以P点在xOy坐标面上形成一个以(0,0)为圆心,以3为半径的圆.
答案:
以(0,0)为圆心,以3为半径的圆
15.解析:
可以考虑用一个与原来全等的几何体,倒过来拼接到原几何体上,得到一个底面半径为r,母线长为(a+b)的圆柱,其体积为πr2(a+b),故所求体积为
πr2(a+b).
答案:
πr2(a+b)
16.解:
圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心为(3,-2).
设所求直线斜率为k,则k=
.
∴方程为y+2=
(x-3),即x+2y+1=0.
答案:
x+2y+1=0
三、解答题(共74分)
17.
证明:
(1)∵A1B1∥CD且A1B1=CD,
∴四边形A1B1CD是平行四边形,
故A1D∥B1C.
又B1C
平面CB1D1且A1D
平面CB1D1,
∴A1D∥平面CB1D1.
(2)由
(1)A1D∥平面CB1D1,同理可得A1B∥平面CB1D1,又A1D∩A1B=A1,且A1D和A1B都在平面A1BD内,所以平面A1BD∥平面CB1D1.
18.
(1)证明:
连结A1B,则A1B⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1,
∴AB1⊥平面A1BC1.
∴AB1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥BB1,
∴A1C1⊥平面ABB1.
∴A1C1⊥AB.
(2)解:
由
(1)知AB⊥AC,∵AB⊥AC1,
又∵AB=1,BC=2,
∴AC=
AC1=2.
∴
=1.
设所求距离为d,
∴
.
∴
S△ABC1·d=
·A1C1.
∴
·1·d=
·
·
.
∴d=
.
19.解:
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
∵圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,
∴圆心在x+2y=0上.
∴a+2b=0.①
∵圆被直线截得的弦长为
∴(
)2+(
)2=r2.②
由点A(2,3)在圆上,得(2-a)2+(3-b)2=r2.③
联立①②③,解得
∴圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
20.
解:
(1)已知圆C:
(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线过点P、C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
(2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的方程为y-2=
(x-2),即x+2y-6=0.
(3)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0.
圆心到直线l的距离为
,圆的半径为3,弦AB的长为
.
21.
解:
(1)连结DM并延长交D1A1的延长线于Q.连结NQ,则NQ即为所求的直线l.
(2)设QN∩A1B1=P,△A1MQ≌△MAD,
∴A1Q=AD=A1D1,A1是QD1的中点.
∴A1P=
D1N=
.∴PB1=
a.
(3)作D1H⊥l于H,连结DH,可证明l⊥平面DD1H,则DH⊥l,则DH的长就是D到l的距离.
在Rt△QD1N中,两直角边D1N=
D1Q=2a,斜边QN=
∴D1H·QN=D1N·D1Q,即D1H=
DH=
∴D1到l的距离为
.
22.解:
如图,建立平面直角坐标系,由题意可设A、B两人速度分别为3V千米/小时、V千米/小时,再设出发x0小时,在点P改变方向,又经过y0小时,在点Q处与B相遇,
则P、Q两点坐标为(3Vx0,0)、(0,Vx0+y0).
由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3Vx0)2+(Vx0+y0)2=(3Vy0)2,
即(x0+y0)(5x0-4y0)=0.
∵x0+y0>0,
∴5x0=4y0.①
将①代入kPQ=
得kPQ=
.
又已知PQ与圆O相切,直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置.
设直线y=
x+b与圆O:
x2+y2=9相切,则有
=3,
∴b=
.
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