第三讲整式.docx
- 文档编号:8574247
- 上传时间:2023-01-31
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:148.45KB
第三讲整式.docx
《第三讲整式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第三讲整式.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第三讲整式
第三讲整式
【基础知识回顾】
一、整式的有关概念:
:
由数与字母的积组成的代数式
1、整式:
多项式:
。
单项式中的叫做单项式的系数,所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的,多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项:
①定义:
所含相同,并且相同字母的也相同的项叫做同类项,常数项都是同类项。
②合并同类项法则:
把同类项的相加,所得的和作为合并后的,不变。
【名师提醒:
1、单独的一个数字或字母都是式。
2、判断同类项要抓住两个相同:
一是相同,二是相同,与系数的大小和字母的顺序无关。
】
二、整式的运算:
1、整式的加减:
①去括号法则:
a+(b+c)=a+,a-(b+c)=a-.
②添括号法则:
a+b+c=a+(),a-b-c=a-()
③整式加减的步骤是先,再。
【名师提醒:
在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号,特别强调:
括号前是负号去括号时括号内每一项都要。
】
2、整式的乘法:
①单项式乘以单项式:
把它们的系数、相同字母分别,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式:
用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积,即m(a+b+c)=。
③多项式乘以多项式:
先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积,即(m+n)(a+b)=。
④乘法公式:
Ⅰ、平方差公式:
(a+b)(a—b)=,
Ⅱ、完全平方公式:
(a±b)2=。
【名师提醒:
1、在多项式的乘法中有三点注意:
一是避免漏乘项,二是要避免符号的错误,三是展开式中有同类项的一定要。
2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用,要注意各自的形式特点,灵活进行运用。
】
3、整式的除法:
①单项式除以单项式,把、分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式,先用这个多项式的每一项这个单项式,再把所得的商。
即(am+bm)÷m=。
三、幂的运算性质:
1、同底数幂的乘法:
不变相加,即:
aman=(a>0,m、n为整数)
2、幂的乘方:
不变相乘,即:
(am)n=(a>0,m、n为整数)
3、积的乘方:
等于积中每一个因式分别乘方,再把所得的幂。
即:
(ab)n=(a>0,b>0,n为整数)。
4、同底数幂的除法:
不变相减,即:
am÷an=(a>0,m、n为整数)
【名师提醒:
运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误,(-a)n=(n为奇数),(-a)n=(n为偶数),二是应知道所有的性质都可以逆用,如:
已知3m=4,2n=3,则9m8n=。
】
【重点考点例析】
考点一:
代数式的相关概念。
例1(2013•凉山州)如果单项式-xa+1y3与
ybx2是同类项,那么a、b的值分别为( )
A.a=2,b=3B.a=1,b=2C.a=1,b=3D.a=2,b=2
思路分析:
根据同类项的定义(所含字母相同,相同字母的指数相同)列出方程,求出a,b的值.
解:
根据题意得:
,则a=1,b=3.
故选C.
点评:
考查了同类项,同类项定义中的两个“相同”:
相同字母的指数相同,是易混点,因此成了中考的常考点。
对应训练
1.(2013•苏州)计算-2x2+3x2的结果为( )
A.-5x2B.5x2C.-x2D.x2
1.D
考点二:
代数式求值
例2(2013•苏州)已知x-
=3,则4-
x2+
x的值为( )
A.1B.
C.
D.
思路分析:
所求式子后两项提取公因式变形后,将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值.
解:
∵x-
=3,即x2-3x=1,∴原式=4-
(x2-3x)=4-
=
.
故选D.
点评:
此题考查了代数式求值,将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键,利用了整体代入的思想.
例3(2013•湘西州)下面是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为3时,则输出的数值为1
.
思路分析:
输入x的值为3时,得出它的平方是9,再加(-2)是7,最后再除以7等于1.
解:
由题图可得代数式为:
(x2-2)÷7.当x=3时,原式=(32-2)÷7=(9-2)÷7=7÷7=1
故答案为:
1.
点评:
此题考查了代数式求值,此类题要能正确表示出代数式,然后代值计算,解答本题的关键就是弄清楚题目给出的计算程序.
对应训练
2.(2013•盐城)若x2-2x=3,则代数式2x2-4x+3的值为9
.
2.9
3.(2013•绥化)按如图所示的程序计算.若输入x的值为3,则输出的值为-3
.
3.-3
考点三:
单项式与多项式。
例4(2013•云南)下列运算,结果正确的是( )
A.m6÷m3=m2B.3mn2•m2n=3m3n3
C.(m+n)2=m2+n2D.2mn+3mn=5m2n2
思路分析:
依据同底数的幂的除法、单项式的乘法以及完全平方公式,合并同类项法则即可判断.
解:
A、m6÷m3=m3,选项错误;
B、正确;
C、(m+n)2=m2+2mn+n2,选项错误;
D、2mn+3mn=5mn,选项错误.
故选B.
点评:
本题主要考查了合并同类项的法则,幂的乘方的性质,单项式的乘法法则,熟练掌握运算法则是解题的关键.
对应训练
4.(2013•沈阳)下面的计算一定正确的是( )
A.b3+b3=2b6B.(-3pq)2=-9p2q2
C.5y3•3y5=15y8D.b9÷b3=b3
4.C
考点四:
幂的运算。
例5(2013•株洲)下列计算正确的是( )
A.x+x=2x2B.x3•x2=x5C.(x2)3=x5D.(2x)2=2x2
思路分析:
根据合并同类项的法则,同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案.
解:
A、x+x=2x≠2x2,故本选项错误;
B、x3•x2=x5,故本选项正确;
C、(x2)3=x6≠x5,故本选项错误;
D、(2x)2=4x2≠2x2,故本选项错误.
故选:
B.
点评:
此题考查了合并同类项的法则,同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识,解题要注意细心.
对应训练
5.(2013•张家界)下列运算正确的是( )
A.3a-2a=1B.x8-x4=x2
C.
=-2D.-(2x2y)3=-8x6y3
5.D
考点五:
完全平方公式与平方差公式
例6
(1)(2013•郴州)已知a+b=4,a-b=3,则a2-b2=12
.
(2)(2013•珠海)已知a、b满足a+b=3,ab=2,则a2+b2=5
.
思路分析:
(1)根据a2-b2=(a+b)(a-b),然后代入求解.
(2)将a+b=3两边平方,利用完全平方公式化简,将ab的值代入计算,即可求出所求式子的值.
解:
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=4×3=12.故答案是:
12.
(2)将a+b=3两边平方得:
(a+b)2=a2+2ab+b2=9,
把ab=2代入得:
a2+4+b2=9,则a2+b2=5.故答案为:
5.
点评:
此题考查了平方差公式和完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
例7(2013•张家港市二模)如图,从边长为(a+3)cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为acm,则另一边长是( )
A.(2a+3)cmB.(2a+6)cmC.(2a+3)cmD.(a+6)cm
思路分析:
根据第一个图形中,从边长为(a+3)cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形,剩余部分的面积与第三个图形的面积相等,即可求解.
解:
解:
根据第一个图:
从边长为(a+3)cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形,剩余部分的面积是:
(a+3)2-32,
设拼成的矩形另一边长是b,则ab=(a+3)2-32,
解得:
b=a+6.
故选D.
点评:
本题考查了图形的变化,正确理解:
第一个图形中,从边长为(a+3)cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形,剩余部分的面积与第三个图形的面积相等,是解题的关键.
对应训练
6.(2013•徐州)当m+n=3时,式子m2+2mn+n2的值为9
.
6.9
7.(2013•攀枝花模拟)如图
(一),在边长为a的正方形中,挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪成一个矩形(如图
(二)),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
7.A
考点六:
整式的运算
例8(2013•株洲)先化简,再求值:
(x-1)(x+1)-x(x-3),其中x=3.
思路分析:
原式第一项利用平方差公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值.
解:
原式=x2-1-x2+3x=3x-1,
当x=3时,原式=9-1=8.
点评:
此题考查了整式的混合运算-化简求值,涉及的知识有:
平方差公式,去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
例9(2013•宁波)7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足( )
A.a=
bB.a=3bC.a=
bD.a=4b
思路分析:
表示出左上角与右下角部分的面积,求出之差,根据之差与BC无关即可求出a与b的关系式.
解:
如图,左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,
∵AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,
∴AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,
∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab,
则3b-a=0,即a=3b.
故选B
点评:
此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.
对应训练
8.(2013•扬州)先化简,再求值:
(x+1)(2x-1)-(x-3)2,其中x=-2.
8.解:
原式=2x2-x+2x-1-x2+6x-9=x2+7x-10,
当x=-2时,原式=4-14-10=-20.
9.(2013•泰州)把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上,底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,若按图1摆放时,阴影部分的面积为S1;若按图2摆放时,阴影部分的面积为S2,则S1与S2的大小关系是( )
A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.无法确定
9.C
考点七:
规律探索。
例10((2013•山西)一组按规律排列的式子:
,…,则第n个式子是.
思路分析:
观察分子、分母的变化规律,总结出一般规律即可.
解:
a2,a4,a6,a8…,分子可表示为:
a2n,
1,3,5,7,…分母可表示为2n-1,
则第n个式子为:
.
故答案为:
.
点评:
本题考查了单项式的知识,属于基础题,关键是观察分子、分母的变化规律.
例11(2013•淄博)如下表,从左到右在每个小格中都填入一个整数,使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等,则第2013个格子中的整数是-2
.
-4
a
b
c
6
b
-2
…
思路分析:
根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值,再根据第9个数是-2可得b=-2,然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环,在用2013除以3,根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解.
解:
∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,
∴-4+a+b=a+b+c,解得c=-4,a+b+c=b+c+6,解得a=6,
所以,数据从左到右依次为-4、6、b、-4、6、b,
第9个数与第三个数相同,即b=-2,
所以,每3个数“-4、6、-2”为一个循环组依次循环,
∵2013÷3=671,∴第2013个格子中的整数与第3个格子中的数相同,为-2.
故答案为:
-2.
点评:
此题主要考查了数字变化规律,仔细观察排列规律求出a、b、c的值,从而得到其规律是解题的关键.
例12(2013•烟台)将正方形图1作如下操作:
第1次:
分别连接各边中点如图2,得到5个正方形;第2次:
将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形…,以此类推,根据以上操作,若要得到2013个正方形,则需要操作的次数是( )
A.502B.503C.504D.505
思路分析:
根据正方形的个数变化得出第n次得到2013个正方形,则4n+1=2013,求出即可.
解:
∵第1次:
分别连接各边中点如图2,得到4+1=5个正方形;
第2次:
将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到4×2+1=9个正方形…,
以此类推,根据以上操作,若第n次得到2013个正方形,则4n+1=2013,
解得:
n=503.
故选:
B.
点评:
此题主要考查了图形的变化类,根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键.
对应训练
10.(2013•淮安)观察一列单项式:
1x,3x2,5x2,7x,9x2,11x2,…,则第2013个单项式是4025x2
.
10.4025x2
11.(2013•玉林)一列数a1,a2,a3,…,其中a1=
,
(n为不小于2的整数),则a100=( )
A.
B.2C.-1D.-2
11.A
12.(2013•十堰)如图,是一组按照某种规律摆放成的图案,则图5中三角形的个数是( )
A.8B.9C.16D.17
12.C
【聚焦山东中考】
1.(2013•济宁)如果整式xn-2-5x+2是关于x的三次三项式,那么n等于( )
A.3B.4C.5D.6
1.C
2.(2013•东营)下列运算正确的是( )
A.a3-a2=aB.a2•a3=a6C.(a3)2=a6D.(3a)3=9a3
2.C
3.(2013•烟台)下列各运算中,正确的是( )
A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6C.a4÷a2=a3D.(a+2)2=a2+4
3.B
4.(2013•日照)下列计算正确的是( )
A.(-2a)2=2a2B.a6÷a3=a2C.-2(a-1)=2-2aD.a•a2=a2
4.C
5.(2013•威海)若m-n=-1,则(m-n)2-2m+2n的值是( )
A.3B.2C.1D.-1
5.A
6.(2013•威海)下列运算正确的是( )
A.3x2+4x2=7x4B.2x3•3x3=6x3
C.x6+x3=x2D.(x2)4=x8
6.D
7.(2013•泰安)下列运算正确的是( )
A.3x3-5x3=-2xB.6x3÷2x-2=3x
C.(
x3)2=
x6D.-3(2x-4)=-6x-12
7.C
8.(2013•临沂)下列运算正确的是( )
A.x2+x3=x5B.(x-2)2=x2-4C.2x2•x3=2x5D.(x3)4=x7
8.C
9.(2013•聊城)把地球看成一个表面光滑的球体,假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝,然后把钢丝加长,使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm,那么钢丝大约需要加长( )
A.102cmB.104cmC.106cmD.108cm
9.A
10.(2013•日照)如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是( )
A.M=mnB.M=n(m+1)C.M=mn+1D.M=m(n+1)
10.D
11.(2013•日照)已知m2-m=6,则1-2m2+2m=-11
.
11.-11
12.(2013•滨州)观察下列各式的计算过程:
5×5=0×1×100+25,
15×15=1×2×100+25,
25×25=2×3×100+25,
35×35=3×4×100+25,
…
请猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为100n(n-1)+25
.
12.100n(n-1)+25
13.(2013•潍坊)当n等于1,2,3…时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示,则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于n2+4n
.(用n表示,n是正整数)
13.n2+4n
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2013•丽水)化简-2a+3a的结果是( )
A.-aB.aC.5aD.-5a
1.B
2.(2013•徐州)下列各式的运算结果为x6的是( )
A.x9÷x3B.(x3)3C.x2•x3D.x3+x3
2.A
3.(2013•连云港)计算a2•a4的结果是( )
A.a6B.a8C.2a6D.2a8
3.A
4.(2013•重庆)计算3x3÷x2的结果是( )
A.2x2B.3x2C.3xD.3
4.D
5.(2013•遵义)计算(-
ab2)3的结果是( )
A.-
a3b6B.-
a3b5C.-
a3b5D.-
a3b6
5.D
6.(2013•佛山)多项式1+2xy-3xy2的次数及最高次项的系数分别是( )
A.3,-3B.2,-3C.5,-3D.2,3
6.A
7.(2013•遂宁)下列计算错误的是( )
A.-|-2|=-2B.(a2)3=a5
C.2x2+3x2=5x2D.
=2
7.B
8.(2013•盘锦)下列计算正确的是( )
A.3mn-3n=mB.(2m)3=6m3C.m8÷m4=m2D.3m2•m=3m3
8.D
9.(2013•达州)甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算( )
A.甲B.乙C.丙D.一样
9.B
10.(2013•黄冈)矩形AB=a,AD=b,AE=BF=CG=DH=c,则图中阴影部分面积是( )
A.bc-ab+ac+b2B.a2+ab+bc-ac
C.ab-bc-ac+c2D.b2-bc+a2-ab
10.C
11.(2013•保康)如图,边长为(a+2)的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为2,则另一边长是( )
A.2B.a+4C.2a+2D.2a+4
12.C
13.(2013•新华区一模)定义运算a⊕b=a(1-b),下面给出了这种运算的四个结论:
①2⊕(-2)=6;
②若a+b=0,则(a⊕a)+(b⊕b)=2ab;
③a⊕b=b⊕a;
④若a⊕b=0,则a=0或b=1.
其中结论正确的有( )
A.①②B.①②③C.②③④D.①②④
13.D
二、填空题
14.(2013•晋江市)计算:
2a2+3a2=5a2
.
14.5a2
15.(2013•天津)计算a•a6的结果等于a7
.
15.a7
16.(2013•上海模拟)计算:
6x2y3÷2x3y3=.
16.
17.(2013•同安区一模)“比a的2倍大
的数”用代数式表示是.
17.
18.(2013•义乌市)计算:
3a•a2+a3=4a3
.
18.4a3
19.(2013•铁岭)某商店压了一批商品,为尽快售出,该商店采取如下销售方案:
将原来每件m元,加价50%,再做两次降价处理,第一次降价30%,第二次降价10%.经过两次降价后的价格为0.945
元(结果用含m的代数式表示)
19.0.945m
20.(2013•贵港)若ab=-1,a+b=2,则式子(a-1)(b-1)=-2
.
20.-2
21.(2013•沈阳)如果x=1时,代数式2ax3+3bx+4的值是5,那么x=-1时,代数式2ax3+3bx+4的值是3
.
21.3
22.(2013•苏州)按照如图所示的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值为20
.
22.20
21.(2013•泰州)若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是1
.
21.1
22.(2013•晋江市)若a+b=5,ab=6,则a-b=±1
.
22.±1
23.((2013•永州)定义
为二阶行列式.规定它的运算法则为
=ad-bc.那么当x=1时,二阶行列式
的值为0
.
23.0
24.(2013•雅安)已知一组数2,4,8,16,32,…,按此规律,则第n个数是2n
.
24.2n
25.(2013•云南)下面是按一定规律排列的一列数:
,…那么第n个数是.
25.
26.(2013•孝感)如图,古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如:
称图中的数1,5,12,22…为五边形数,则第6个五边形数是51
.
26.51
27.(2013•青岛)要把一个正方体分割成8个小正方体,至少需要切3刀,因为这8个小正方体都只有三个面是现成的.其他三个面必须用三刀切3次才能切出来.那么,要把一个正方体分割成27个小正方体,至少需用刀切6
次;分割成64个小正方体,至少需要用刀切9
次.
27.6,9
三、解答题
28.(2013•宜昌)化简:
(a-b)2+a(2b-a)
28.解:
原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2.
29.(2013•宁波)先化简,再求值:
(1+a)(1-a)+(a-2)2,其中a=-3.
29.解:
原式=1-a2+a2-4a+4=-4a+5,
当a=-3时,原式=12+5=17.
30.(2013•三明)先化简,再求值:
(a+2)(a-2)+4(a+1)-4a,其中a=
-1.
30.解:
原式=a2-4+4a+4-4a=a2,
当a=
-1时,原式=(
-1)2=2-2
+1=3-2
.
31.(2013•邵阳)先化简,再求值:
(a-b)2+a(2b-a),其中a=-
,b=3.
31.解:
原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2,
当b=3时,原式=9.
32.(2013•娄底)先化简,再求值:
(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)÷2xy,其中x=-1,y=
.
32.解:
原式=x2-y2-2x2+4y2=-x2+3y2,
当x=-1,y=
时,原式=-1+1=0.
33.(2013•义乌市)如图1所示,从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形,
(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1和S2;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第三讲 整式 第三
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)