N生奇素数有无限多组和相邻奇素数有无限多对.docx
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N生奇素数有无限多组和相邻奇素数有无限多对
N生奇素数有无限多组和相邻奇素数有无限多对
张天树
tianshu_zhang507@
摘要
当我们把共有一个素因子的正奇数归为一种时,数轴的正方向射线就由无限多具有种奇数点与它们之间的奇数点排列相同的相等线段组成.我们将在本文中,应用数学归纳法,并借助这样的线段及其上的奇数点,一并证明N生奇素数有无限多组和相邻奇素数有无限多对.
关键词
N生奇素数组,相邻奇素数对,数学归纳法,奇数点,数轴的正方向射线,RLSS№1~№,•μ(•s)+b(◦s)•,•υ(◦s)•,第1条RLS№1~№,♠μ(♠s)+b(◦s)♠,♠υ(◦s)♠,共存定理.
基本概念
假设n>1,1<2<... 于是,我们假定: 对于任意正奇素数Jp,n个整数0,1,...n-1属于模Jp的剩余类个数皆小于Jp,那么,上述n生奇素数组就有无限多.我们把这一猜想叫做n生奇素数猜想.例如,当n≥2和1=2时,它包含孪生素数猜想.另外,当n≥3,1=2和2=6时,它包含三生素数猜想.可以说,任何以奇素数间相同差距和有规律差距而形成的猜想,都能借鉴本文所用的方法加以证明. 显然,如果模数Jp≥J+n-1,那么,这样一组奇素数的每一个奇素数分别属于一个剩余类,于是n小于Jp.如果模数Jp≤J,那么,n可以大于Jp.例如,一组16生奇素数(13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73)对于模数J4(即11),就是10个剩余类的16个奇素数,因为有17≡61(mod11),19≡41(mod11),23≡67(mod11),29≡73(mod11),31≡53(mod11),和37≡59(mod11),再加上13,43,47,和71所属的4个. 除上面讲的一个猜想外,还有这样的一个猜想,即: 如果有一对相差2k的相邻奇素数,那么,就一定有无限多对相差2k的相邻奇素数,这儿k是一个自然数.显然,这是上述猜想的特例.当k=1时,这也就是孪生素数猜想.这个猜想,在本文中我们将一并证明. 大家都知道,在数轴正方向射线上的每一个奇数点表示一个正奇数.又,在这条射线上每两个相邻奇数点之间的距离都是相等的. 让我们用符号“•”来表示一个奇数点,无论•是在一个表达式中,还是在数轴的正方向射线上.还有就是,这数轴的正方向射线上,我们仅仅标有奇数点的符号,以便简明.请看下面的第一图. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 第一图 在表达式中,符号“•s”表示至少两个奇数点.为了从简,在下文中,从奇数点3开始的数轴的正方向射线,我们仅简称为射线. 我们把最小的正奇素数3看作是第一个奇素数,还把正奇素数J看作是第个奇素数,这儿≥1.那么,奇素数3也被写成J1.然后,我们把共有素因子J的奇数作为第种奇数. 如果一个奇数含有α个互不相同的素因子,那么,这个奇数同属于α种奇数,这儿α≥1. 在第种奇数中,仅有一个奇素数,即J,而我们把除J以外的、另外的奇数视为第种奇合数. 如果一个•被确定为一个奇合数点,那么,我们必须改变其符号•为◦.并且,用符号◦s来表示有关表达式中,至少两个已被确定的奇合数点. 在这个证明过程中,我们将按照为从小到大值的顺序,在第[≥1]种奇合数点位置上改变符号•s为◦s. 因为第种奇数是每一个奇数都乘以J的积,于是在此射线上,每连续J个奇数点中,就有一个第种奇数点. 所以,种奇数点与其它奇数点之间的任何一种相互排列,在此射线上总是呈现无限多相同格式的循环,这与它们的素合属性无关. 按照=1,2,3……的先后,我们顺次分解出此射线上的第种奇数点,并排列它们作为第二图. 39152127333945515763697581879399105117129 •••◦••◦••◦•◦◦••◦◦•◦••◦•◦◦•◦◦••◦◦•◦••◦◦•◦•◦◦•◦◦◦•◦••◦••◦•◦◦◦◦◦◦•◦ №1•◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦… №2•◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦… №3•◦◦◦◦◦◦◦◦… ◦ №4•◦◦◦◦◦… №5•.◦◦◦◦… 第二图 按照种奇数点与其它奇数点之间的相同排列,我们把排列相同、彼此等长的最短线段看作是这种奇数点的循环段. 我们用字符串RLS№1~№来表示一条第种奇数点的循环段,并且用RLSS№1~№来表示至少两条这样的循环段. 如果一个•被肯定为一个奇素数点,那么,这个•在此射线上和/或表达式中就被改写成一个♠.并且,符号♠s在表达式中表示至少两个奇素数点.例如,在第1条RLS№1~№4上,几种奇数点之间的互相排列,请看下面的第三图. 在第1条RLS№1~№4上奇素数点&奇合数点之间的排列状况 ♠♠♠○♠♠○♠♠○♠○○♠♠○○♠○♠♠○♠○○♠○○♠♠○○♠○♠♠○○♠○♠○○♠○○○♠○ 31527395163758799 ♠♠○♠♠○♠○○○○○○♠○♠○○♠♠○○○○♠♠○○♠○○♠○♠○○♠○○♠♠○○○○♠♠○♠ 111123135147159171183195 ♠○○○○○♠○○○○○♠○♠♠○♠○○♠♠○○○○♠○○♠○○♠○○♠♠○○♠○♠♠○○○○♠○ 207219231243255267279291 ○○○○○♠○♠♠○♠○○○○○○♠○○♠○○○♠♠○♠○○♠○○○♠○○♠○○♠○♠○○♠○○○ 303315327339351363375387 ♠○♠○○○♠○○○○♠♠○○○○♠♠○○♠○♠○○♠○○○♠○♠♠○♠○○○○○♠○○○♠○♠○ 399411423435447459471483 ○○♠○♠○○♠○○○○○♠♠○○○○○○○○♠○○♠○○○○♠○○♠○○♠♠○○♠○○○○♠○○ 495507519531543555567579591 ♠○○♠♠○○♠○○♠○♠♠○○○○○♠○○○○♠♠○♠○○♠○○♠♠○○○○○♠○♠○○♠○○○ 603615627639651663675687 ♠○○○○♠○○○♠○○○○○♠○○♠○○♠○○♠○♠○○○♠○○♠○♠○○○♠○♠○○○○○○♠ 699711723735747759771783 ○○○○♠○○○○○♠♠○○○○♠♠○♠♠○○○○♠○○○○○○♠○♠♠○♠○○○♠○○♠○♠♠○ 795807819831843855867879 ♠○○○○○○○○○♠○♠○○○♠○○○○♠○○○♠○♠○○♠○○♠○○○○○○♠○♠○○♠○○♠ 891903915927939951963975 ○○○♠○○♠○○○○○♠○♠○○♠♠○○○○♠♠○○♠○○○○♠♠○○○○♠♠○○♠○○○○○○ 987999101110231035104710591071 ○○♠○♠♠○♠○○♠○○♠○○○♠○○♠○○♠○○○○○○○○○○♠♠○○○○♠○○○♠○○○○ 108310951107111911311143115511671179 ♠○○♠○○♠○○○♠○○○○○♠○♠○○♠○○♠♠○○♠○○○○○♠○○○○♠○○○○○○○○♠ 11911203121512271239125112631275 ♠○♠○○♠♠○○♠○♠♠○♠○○○○○♠♠○○♠○○○○○○○○○○○○○○○○♠○○♠○○♠○ 12871299131113231335134713591371 ○○♠○○○○○○○○♠○○○○♠○○○○○○♠○♠♠○♠○○♠○○○♠○♠♠○○♠○○○○○♠○ 13831395140714191431144314551467 ○○○♠♠○♠♠○♠○○♠○○○○○♠○○○○○♠○○○♠○○○○○♠○○♠○♠○○♠○○○♠○♠ 14791491150315151527153915511563 ○○○♠○♠○○○○○○♠○♠○○♠♠○♠○○♠♠○○♠○○○○♠○○○○○○○○○♠○○♠○♠♠ 15751587159916111623163516471659 ○○○○○○○○○○♠○♠♠○○○○♠○○○○○♠♠○○○○♠○○○♠○○♠○○♠○○♠○○○○○ 167116831695170717191731174317551767 ○○○♠○○♠○♠♠○○○○○♠○○○○♠○○○○○♠○○○♠○○○○○○○♠○○○○○○♠○○♠ 17791791180318151827183918511863 ○♠♠○♠♠○○○○♠○○○○○♠○○♠○○♠○○○○○○○○♠♠○○○○○○○♠♠○○○○○○○ 18751887189919111923193519471959 ○○○♠○○♠○○○♠○○♠○♠♠○♠○○○♠○○♠○○○○♠♠○○○○♠○○○○○○♠○○○○♠ 19711983199520072019203120432055 ○○♠○○○○○♠♠○♠♠○○○○♠○○○○○♠♠○○○○○○○♠♠○○♠○♠♠○○○○♠○○○♠ 20672079209121032115212721392151 ○○○○○○○○♠○○○○○○○○○○○♠○♠○○♠○○○♠○○○○○○○♠♠○♠○○○♠○○○○ 216321752187219922112223223522472259 ○○○♠♠○♠○○○♠○○♠○○♠○○○○○○○♠♠ 2271228322952307 第三图 注解: “♠”表示一个奇素数点;“○”表示一个奇合数点.第1条RLS№1在奇数点7结束;第1条RLS№1~№2在奇数点31结束;第1条RLS№1~№3在奇数点211结束;第1条RLS№1~№4在奇数点2311结束. 理所当然,第1条RLS№1~№从奇数点3开始.在每一条RLS№1~№中,有∏J个奇数点,这儿≥1,又,∏J=J1*J2*…*J. 不容置疑,一条RLS№1~№(+1)由连续的J+1条RLSS№1~№组成,并且,它们一一相连. 因为没有哪一种奇合数点重合第1条RLS№1~№左边的奇数点1,那么,根据对种奇数点循环段的定义,就没有哪一种奇合数点重合第2条RLS№1~№左边最近的那个奇数点.第2条RLS№1~№左边最近的那个奇数点就是第1条RLS№1~№上最右边的那个奇数点.因此,第1条RLS№1~№上最右边的那个奇数点总是一个奇素数点.也就是2∏J+1总是一个奇素数. 以从1开始的连续自然数给依次排列的每一条RLS№1~№+y上的每一个奇数点编上一个序号,也就是在依次排列的每一条RLS№1~№+y上从左到右的每一个奇数点被标记上依次从小到大的一个自然数,这儿y≥0. 那么,在一条RLS№1~№+y的J+y条RLSS№1~№(+y-1)上,共有同一个序数的J+y个奇数点中,必有一个第+y种奇数点. 此外,在第1条RLS№1~№+y右边的依次的每一条RLS№1~№+y的J+y条RLSS№1~№(+y-1)上,共有同一个序数的J+y个奇数点中,必有一个第+y种奇合数点. 奇素数点J1,J2…J-1和J在第1条RLS№1~№上,而在第1条RLS№1~№右边顺次排列的每一条RLS№1~№上,在与J1,J2…J-1和J相同的序号上,有个奇合数点.所以说,第1条RLS№1~№与其它的RLSS№1~№相比较,是一条特殊的RLS№1~№. 在此射线上,当变换第1至第种奇合数点位置上的•s为•s后,如果两个•s被μ个•s和b个◦s分开,且不考虑它们的排列状况,那么,表这样一种组合形式为•μ(•s)+b(◦s)•,这儿μ≥0,b≥0. 如果一组•μ(•s)+b(◦s)•的μ+2个•s全部被确定为奇素数点,那么,这组•μ(•s)+b(◦s)•被改写成一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠.进而,如果它位于连续J个奇数点中,且对于奇素数J,μ+2个♠s表示的μ+2个奇素数与模J所得剩余类的数目是小于J,那么,这样的一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠就是一组n生奇素数,这儿n=μ+2. 如果一对•υ(◦s)•的两个•s被确定为奇素数点,那么,这对•υ(◦s)•被改写成一对♠υ(◦s)♠,这儿υ≥0. 当μ=0时,一组•μ(•s)+b(◦s)•就是一对•b(◦s)•,另外,一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠就是一对♠b(◦s)♠,这儿b≥0. 让μ+b=m,一组•μ(•s)+b(◦s)•可以写成一组•m(•s◦s)•,同样地一组♠μ(•s)+b(◦s)♠可以写成一组♠m(•s◦s)♠. 在变换第1至第种奇合数点位置上的•s为•s后,在第1RLS№1~№上的J-h被确定为奇素数点,这儿>h≥0,而,在此射线上J的右边有无限多•s,并且,每一个•在素合属性上,都是一个尚未确定的奇数点.无论如何,在J右边的每个•表示的一个奇数的每一个素因子都是大于J的. 根据一组•μ(•s)+b(◦s)•中的任意一个•被确定为一个◦,即可否定这组•μ(•s)+b(◦s)•.又,根据一对•υ(◦s)•中的任一个•被确定为一个◦,即可否定这对•υ(◦s)•.如果一组•μ(•s)+b(◦s)•永远不能被否定,那么它就是一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠.同样地,如果一对•υ(◦s)•永远不能被否定,那么它就是一对♠υ(◦s)♠. 从种奇数点循环段的定义,我们能够推断出: 在变换第1至第种奇合数点位置上的•s为•s后,如果在第1条RLS№1~№上,J右边的连续J个奇数点中有一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠,那么在第1条RLS№1~№右边顺次排列的每一条RLS№1~№上,在与♠μ(♠s)+b(◦s)♠有相同的序号上,一定是一组•μ(•s)+b(◦s)•. 毫无疑问,其逆命题也是成立的.也就是说,在变换第1至第种奇合数点位置上的•s为•s后,如果在第1条RLS№1~№右边顺次排列的每一条RLS№1~№上,在连续J个奇数点中,有一一相同序号的各组•μ(•s)+b(◦s)•,那么,在第1条RLS№1~№上,与任意这样一组•μ(•s)+b(◦s)•有一一相同的序号上,一定是一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠,这儿k=1,2,…μ+2. 当然,这组♠μ(♠s)+b(◦s)♠的每一个♠和每一组•μ(•s)+b(◦s)•的每一个•表示的一个奇数的每一个素因子都是大于J的. 总之,在变换第1至第种奇合数点位置上的•s为•s后,在第1条RLS№1~№上J右边的一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠和在第1条RLS№1~№右边顺次排列的RLSS№1~№上,与这组♠μ(♠s)+b(◦s)♠有一一相同序号上的无限多组•μ(•s)+b(◦s)•共存在这条射线上. 我们把上述结论叫做: 在这射线上,一组♠μ(♠s)+b(◦s)♠和无限多组•μ(•s)+b(◦s)•的共存定理,或简称它为共存定理. 为了方便去观看,在示意图上,任意一条RLS№1~№(+1)的J+1条RLSS№1~№可以一一被折叠.例如,在有差异的两条RLSS№1~№3上的第1、第2、第3种奇数点,请看下列的第四图. №: 151015№: 151015 3♠♠♠◦••◦••◦•◦◦••C◦◦◦◦••◦••◦•◦◦•• ◦◦•◦••◦•◦◦•◦◦••◦◦•◦••◦•◦◦•◦◦•• ◦◦•◦••◦◦•◦•◦◦•◦◦◦•◦••◦◦•◦•◦◦•◦ ◦◦•◦••◦••◦•◦◦◦•◦◦•◦••◦••◦•◦◦◦• ◦◦•◦•◦◦••◦•◦◦••◦◦•◦•◦◦••◦•◦◦•• ◦◦•◦◦•◦••◦•◦◦••◦◦•◦◦•◦••◦•◦◦•• ◦◦•◦••◦••◦◦◦◦••211◦◦•◦••◦••◦◦◦◦••D 第四图 图解: 在变换第1、第2、第3种奇合数点位置上的•s为•s后,每一个♠表示一个已确定的奇素数点;每一个•表示一个尚未确定素合属性的奇数点;每一个◦表示一个已确定的奇合数点.在这图中,线段3(211)是第1条RLS№1~№3;线段CD是第1条RLS№1~№3右边依次排列的任一条RLS№1~№3. 证明 在下文中,我们将用数学归纳法并借助RLSS№1~№及其上的奇数点同步地证明: n生奇素数有无限多组和相邻奇素数有无限多对. 1.当=1时,在第1条RLS№1上J1的右边仅有一组♠♠.并且,这组♠♠也是一对♠υ1(◦s)♠,即孪生奇素数点5和7,这儿υ1=0. 当=2时,在第1条RLS№1~№2上J2的右边有♠◦♠♠◦♠♠◦♠◦◦♠♠.在连续Js个奇数点中,这些奇数点含有几组♠μ2(♠s)+b2(◦s)♠,它们中,也包括几对♠υ2(◦s)♠,这儿μ2≤6,b2≤5,J1≤Js≤J5,及υ2≤2. 很明显,这些♠υ2(◦s)♠包含孪生奇素数对. 当=3时,在第1条RLS№1~№3上J3的右边,既在连续Jf个奇数点中有若干组♠μ3(♠s)+b3(◦s)♠,又有若干对♠υ3(◦s)♠,这儿μ2≤μ3≤41,b2≤b3≤58,Js≤Jf≤J27=101,及υ2≤υ3=0、1、2、3、4、5、6. 显然,这些♠μ3(♠s)+b3(◦s)♠包含若干组♠μ2(♠s)+b2(◦s)♠,这些♠υ3(◦s)♠包含全部♠υ2(◦s)♠对. 对于在第1条RLS№1~№3上的♠υ3(◦s)♠,υ3有不同的值,当υ3为不同值时,我们举(11、13),(13、17),(23、29),(89、97),(139、149),(199、211)及(113、127)为例.也请参看前面的第三图. 当=4时,在第1条RLS№1~№4上J4的右边,既在连续Ja个奇数点中有若干组♠μ4(♠s)+b4(◦s)♠,又有若干对♠υ4(◦s)♠,这儿μ3≤μ4≤337,b3≤b4≤813,Jf≤Ja≤J189=1151,及υ3≤υ4=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11及16. 显然这些♠μ4(♠s)+b4(◦s)♠包含若干组♠μ3(♠s)+b3(◦s)♠,这些♠υ4(◦s)♠包含全部♠υ3(◦s)♠对. 对于在第1条RLS№1~№4上的♠υ4(◦s)♠,υ4有不同的值,当υ4为不同值时,我们举(17、19),(19、23),(31、37),(89、97),(139、149),(211、223),(293、307),(1831、1847),(1259、1277),(887、907),(1669、1693),(2179、2203)及(1327、1461)为例.请再参看前面的第三图. 2.当=β≥4时,假设: 在第1条RLS№1~№上J的右边,既在连续Jb个奇数点中有若干组♠μ(♠s)+b(◦s)♠,又有若干对♠υ(◦s)♠,这儿μ≥μ4,b≥b4,υ≥υ4,Jb≥Ja,及J≥J4. 另外,这些♠μ(♠s)+b(◦s)♠包含了第1条RLS№1~№ψ上J1右边任意一组n生奇素数点,并且,这些♠υ(◦s)♠包含了在第1条RLS№1~№ψ上任意一对相邻奇素数点,这儿ψ<β. 让我们假设: 在第1条RLS№1~№ψ上J1右边任意一组n生奇素数点为♠μp(♠s)+bq(◦s)♠;以及在第1条RLS№1~№ψ上任意一对相邻奇素数点是♠υδ(◦s)♠,这儿μp≥μ4,bq≥b4,及υδ≥υ4. 3.当=η>β时,证明: 在第1条RLS№1~№上J的右边,既在连续Jc个奇数点中有若干组♠μ(♠s)+b(◦s)♠,又有若干对♠υ(◦s)♠,这儿μ≥μ,b≥b,υ≥υ,Jc≥Jb,及J>J.而且,这些♠μ(♠s)+b(◦s)♠必须包含需要我们去证明的一组♠μp(♠s)+bq(◦s)♠,并且,这些♠υ(◦s)♠必须包含需要我们去证明的一对♠υδ(◦s)♠. 证明.因为在第1条RLS№1~№上J的右边,连续Jb个奇数点中有一组♠μp(♠s)+bq(◦s)♠.那
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- 素数 无限 相邻