北大《固定收益证券》课后习题详解.docx

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北大《固定收益证券》课后习题详解

固定收益证券第一章作业

1解:

年复利：

3

p=1000/110%=751.31

半年复利:

6

p=1000/（15%）=746.22

季复利：

12

p=1000/（12.5%）-743.65

月复利：

p=1000心10%/12）36=741.74

天复利：

p=1000/（110%/365）1095=740.85

连续复利:

p=1000/（110%/n）3n=1000/e0.3=740.82

2解：

年复利：

1000（1+川=2000二r=0.0905

半年复利:

100（1r/2）1—2000=r=0.0885

季复利：

（1r/4）32=2二r=0.0876

月利率：

（1r/12）6=2=r=0.0870

天利率：

（1r/3652920=2二r=0.0867

连续利率：

（1r/n）8n=2=r=0.0866

3解：

复利4%,年计息：

14%=er=r=ln1.04=0.0392

复利20%，年计息：

120%二er=r=ln1.2=0.1823

复利20%，季计息：

（120%/4）4=er=r=1n1.054=0.1952

复利20%,月计息：

（120%/12）12二er=r=1n（120%/12）12=0.1984

4解:

净价=10123/32=101.71875

应计利息=1000.09125/279/184

全价

100（10.09125/2）

12X

105

184

全价二净价•应计利息

解得：

x=0.029911851故买入收益率为0.029911851

同理卖出收益率为0.0277823275解：

答：

（1）设逆浮动利率债券的利率公式为X

5000*9%=3000*（LIBOR+3%+2000X

解得X=18%-1.5LIBOR

逆浮动利率债券的利率确定公式为18%-1.5monthLIBOR

（2）因为0

浮动利率债券的利率=1monthLIBOR+3%故顶为15%底为3%逆浮动利率债券的利率=18%-1.5monthLIBOR,故顶为18%底为0

6解：

5000/100*98.25=4912.5元

所以投资者购买该债券需支付的金额4912.5元7解：

浮动利率=LIBOR+1.25%=6.5%+1.25%=7.725%

半年支付的利率水平=7.725%/2=3.875%

第二章作业

1.设债券的面值是P,到期收益率为5%时的债券价格为P，到

期收益率为6%时的债券价格为p2.则

（15%）（15%）（15%）

6%P6%P6%PP

P22

（16%）（16%）（16%）

P■主=0.027

即价格下降2.72%

2.

543

FV=1003%（13%）1003%（13%）1003%（13%）

1003%（13%）21003%（13%）1003%100

=119.4

3、假定某债券面值为100元，期限为3年，票面利率为年6%，一年支付2次利息，投资者购买价格为103元，请计算在再投资收益率为年4%的情况下投资者的年收益率。

解：

103

1r/2=1.024

二（1r/2）

年实际收益率为（1r/2）2-1=4.91%

4、一个投资者按85元的价格购买了面值为100元的2年期零息债券

投资者预计这两年的通货膨胀将分别为4%和5%。

请计算该投资者

购买这张债券的真实到期收益率。

解：

8514%15%（1y）2=100

y=3.8%

5、到期收益率：

101002.5%100

105t局

t=1（1「⑵（1r/2）10解得：

r=3.88%

年有效收益率：

由于半年计息一次，所以年有效收益率

r有效二（1r/2f「3.92%

6、此债券的到期收益率即当将债券持有至到期的收益率，

根据:

40

110、

1003%100

+

1r/2）（1r/2f

解得：

r=5・2%

至第一回购日的收益率根据现在价格和回购日的回购价格:

10

110'

t=1

1003%100

+

「r回购/2j（1r回购/2）10

解得：

r回购二3.98%

16

Z

1000*（

）t

1000

1100

（1

y=6.38%

总利息为

二818.47

s（16・38%2）6T1

40

-3.19%」

利息：

1000*8%*8=640

利息的利息：

s（1+6.38%2）6-1】…一c‘

40640仃8.47

.3.19%」

资本利得：

1000-1100=-100

收益：

640+178.47-100=718.47

640

利息所占的比例为

-89.08%

718.47

利息的利息的比例为

1784724.84%

718.47

资本利得为-13.92%

8

（1）

100

550

2

1yi

%T35%

550

p1454.54

（1+10%）

100

225

1y2

二204.545

110%

100二

1y3

y3二350%

P3=

450

110%

二409

债券A最为被低估，债券C的到期收益率最高

（2）A和C

0

-200

1

450

2

550

200二

450550

+

2

1y1y

厂213%

B和C

0

-200

1

675

675

200二

1+y

y=237.5%

所以A和C组合的到期收益率为213%,B和C组合的到期收益

率为237.5%

（3）净现值A和C为836.64-200=636.64

B和C为613.64-200=413.64

比较两个组合，A、C组合的净现值大于B、C组合，但是到期收益率比B、C组合小，所以到期收益率不是一个可靠的投资决策指标。

A、C组合的收益率为213%，而A和C的收益率之加权平均为（135%+350%）/2=242.5%

组合的到期收益率并不等于其各个成分的到期收益率的简单加权平均。

9.设债券在零期的价格为P

债券以3年期的平价收益率的复利计算所得的终值应该等于每一期现金流按照相应年限对应的平价收益率所得终值之和。

即：

32

P（120%）=10（115%）10（110%）110

求得P=77.84元

10.根据P120的公式

_■（yT-H-（

1

1yjT-H,

H1

1yH）

本题中注意

T=90天=丄年；H=30天=丄年

412

故yi

6

_1=4.37%

（14.25%）\4-；

[（1十4%）12J

固定收益证券第三章作业

1、

（1）

Po

20

Z

t=1

（Vyt）t

F

（1y2。

）20

C=1000*8%

P0=862.85

F=1000

20

CF_

（1y®）"5（1%9.5）19.5

氐=903.92

19CF

P=送十石

p（1yt）t（1yJ

=866.66

（2）

yt1=yt%

同理

=944.76

：

[=985.42

.=974.53

（3）%厂y1%

=791.61

一832.90

l=796.05

2、

A:

lOOOtl广905Q]=0.905

B:

1

000山

=0.8

=800

C:

P=1

=970.5

证券价值高于证券价格说明证券价值被低估了因此存在套利机会

应该买入债券C卖空债券A和B

3、

由题意A、B、C的价格与现金流量情况如下表:

0

1

2

A

1100

100

1100

B

96

100

C

93

100

96=100*

=0.96

93=100*

=0.93

由B、C求折现因子:

由此给A定价:

100*.

+1100*

00*0.96+1100*0.93=1119

因此A被低估了，存在套利机会。

套利的办法就是购买A，卖空B、C的某种组合:

100“=100

得用=1

=11

一个可行的套利组合是购买1个A，卖空1个B，卖空11个C

4、

A、B、C的价格与现金流量情况如下表:

0

1

2

3

4

5

A

100

6

6

6

6

106

B

94

3

3

3

3

103

C

99

5

5

5

5

105

£.为债券第t年的折现因子

债券A.[I

债券B[:

叽-和

债券C眩+IDOd^二99

令二A1Oo£=B则上面三式可简化成

6A+B=100

（1）

3A+B=94

（2）

5A+B=99（3）

解方程可知三个等式互相矛盾，即债券定价有不合理。

以AB两债

券为准，得债券C定价应为98

5、

由A、B、C的价格及现金流量求折现因子:

93=100

100.2=1

+105.

92.85=5.

得：

一=0.93

.=0.84

L

...=0.75

由此给D定价:

20_+20占+120_=125.4

因此D被低估了，存在套利机会

=20

Nr=20/231

i」

卜20/231

可行的套利策略为:

买入231个D，卖空252个A，卖空20个B，卖空20个C。

6、

（1）若购买零息债券.则需购买

1面值270万元一年期的零息债券，成本为245.457万元;

2面值470万元的两年期零息债券，成本为376万元；

3面值548万元的三年期零息债券，成本为391.4364万元,

4面值612万元的四年期零息债券，成本为382.5万元.

总成本约为1395.4万元.

（2）设ABCD四种债券各自购买的数量为

ii

+12

!

+8

=270

111加12”+8^+36加470.

108

解得:

112

=548.

=612

=2

：

=3

=4IlQ=5

故购买的总成本为

2*98.7+3*103.5+4*87.9+5*110.7=1413

7、

设投资者买入ABCDE的数量分别为肪，卖出A

BCDE的数量分别为血』航伽血：

MinZ二

93.32N加+90.41Nga+86.65N（；a+108.02N［）a+112.7Nga—

91.81NAb-88.97NBb一841%—-110呱

约束条件：

100NAa+8NDaH2NEa-100NAh-8NDb-12NEb>5010賑+8氐+1地・10%期日地2200

MCa+MDa-i0DNQ-fflDh>160

际血、NCP氐、际叽、血、际％、NEb>0用excel求解线性规划问题，得到z=m.

此时N曲=0,2857）Uq=16Nga二L7857,其它均为o.

第四章持续期与凸性

1、有效持续期为

P-P105.5100

Deffective/P/102.55.37%

y_-y1

所以有效持续期为5.37%。

2、根据1的结果，D=5.37%

△P=D*1%=5.37%

P'=102.5*（1+5.37%）=1086

债券价格为108元

3、（不会）参考答案：

因为是浮动利率债券，所以比率持续期接近

0.5。

4、5.49%*98.63*2=10.79

债券价格的变化为10.79

5、设N3为持有3年期零息债券的数目，N20为持有20年期债券数目

投资者权益在初始状态下的金额持续期为3*200-185*9=-1065为了让资产组合与负债在持续期上匹配，并且要保证权益价值，因此建立下面的策略

100N3+100N20=20000

3N3+20N20-185*9=0

N3=137.35,N20=62.65

即投资者应当持有3年期零息债券数量为137.35个单位，价值13735，持有20年期零息债券数量为62.65个单位，价值为6265。

6.已知，一年期零息债券的到期收益率为5.02%时，价值为51.60，到

期收益率为4.98%时，价值为51.98。

TQ=△金额/PDe=（P-P'\y+-y-）/P

在到期收益率为5%时，Q=De,（5%为中点）

△金额=P-P'\y+-y-

代入，得△金额=（51.98-51.6）/（5.02%-4.98%）=950

•••△金额=950*1%=9.5

7已知，一年期零息债券的到期收益率为5.02%时，价值为51.60,到期收益率为5.06%时，价值为51.40。

同理，得△金额=51.60-51.4/5.06%-5.02%=500

•••△金额=500*1%=5

8.当到期收益率为5.02时

r=D1-D2/A=9.5-5/0.04%=112.5%

9、D=15.4210100025.7615250-39.98461300-30118.605

3D=90355.8

又V14%=770.051000645.04250-573.211300二186137

Vn%=186137-90355.8=95781.2

所以解得

V17%=186137+90355.8=267192.8

资产负债表资产净值与利率的关系图如下：

二0.4110001.04250-2.901300二-3100

11

931009=13950

22

V14%=770.051000645.04250-573.211300=186137

V11%二95781.2-13950=81831.2

V17%二267192.8-13950二253242.8

资产负债表资产净值与利率的关系图如下：

11%14%17%

10、1）

20001000

1.131.17

-2015.79

2）设两年期零息债券投资X,十年期投资y比例，则有:

x=2000/1.12=2.9282

y1000/1.17

所以根据x+y=1，得到x=74.4%;y=25.6%3）利率突然上升，组合亏损11、

（1）、一年期的即期收益率为「1=943一1

94.3

两年期的即期收益率

伽笃竺二105.403

21「1

解得r2=7%三年期的即期收益率为

-1二7.5%

1+b

（2）、01%（1

解得°fi,2=8.01%

3

100^1+6%）（1+0£,2X1+0f2,3）=100X1+7.5%）

解得of2,3-8.51%

9%FV9%FVFV

3"

17.5%

（3）、99.56

（4）、100=叽2

k）16%17%2

解得FV=90.35

93.69

p=J%FV9%FV

1+6%（1+7%）

P=FV9%FV

93.69

（1+r）

解得r:

7%

（5）、

770777

1%+（1%術（十3]1_+y1（為）]*『）

2

（i+y）

107

3

（i+y）

1%=2.61

（6）2.61%

（7）因为凸性的存在，在市场利率下降时，债券价格会上升，但上升的幅度比单单通过持续期估计的价格上升幅度来得大；而如果市场利率上升，债券价格下降的幅度，要小于单单通过持续期估计的价格下降的幅度。

第六章

1•由于期货合约的价格为95.25美元，因此，暗含的单利利率为（100-95.25）%=4.75%。

在

到期日利率变成了5.25%，期货合约的价格为94.75美元。

融资者出售期货合约，因此可以赚取1250美元，即

（95.25-94.75）*2500=1250美元

或者（525-475）*25=1250美元

投资者在期货合约到期日可以获得这笔钱。

在2005年12月，融资者可以按照当期利率5.25%，借入100万美元，期限为90天。

90天

之后他支付本息1013125美元，即

1000000（1+0.0525（90）/360）=1013125

而在2005年12月融资者收到的资金为1001000美元，其中1000美元是卖出欧洲美元期货

合约获得的收入，即

1000000+1000=1001000美元

有效利率（基于360天）为4.744%,即

1001000（1+r（90）/360）=1013125

r=4.744%

2.

假定在0时点，2.5年期国债的到期收益率为5%，6个月回购协议的利率为4%（基于360的计息规则）。

债券价格为883854.29美元。

1000000/（1.025）（1.025）（1.025）（1.025）（1.025）=883854.29

在0时点：

订立6个月的回购协议，借入资金883854.29美元，以100万美元面值的债券为抵押品。

同时，在市场上购买面值100万美元的债权，价格为883854.29美元，并以此作为抵押品。

净现金流量为0。

6个月之后：

偿还回购协议的借款，并支付利息：

-883854.29（1+4%*180/360）=-901531.376

美元；同时得到面值为100万美元的债券，期限为2年。

（1+y）（1+y）=1000000\901531.376

y=5.32%

3、方案一：

T=0，买入期货合约，价格为X；卖标的债券得95元，并把所得的钱借出;

T=0.5，买标的债券支付X+100*7%/2收回借出的钱，得本息95+95*5%/2

如果不存在套利机会，则

X+100*7%/2=95+95*5%/2

X=93.875

方案二：

T=0，卖出期货合约，价格为Y;

借钱95元，期限为6个月；

T=0.5，买入债券支付丫+100*3.5%

偿还本息95+95*4.5%

如果不存在套利机会，则

Y+100*3.5%=95+95*4.5%

Y=95.775

所以，期货交易的合理区间为93.875—95.775

如果该债券的期货价格为97元，超过合理定价区间，则存在套利机会,

T=0，卖出期货合约，价格为97元；

借入资金95元购买债券；

T=0.5卖出债券得97+100*3.5%=100.5

偿还本息95+95*5%/2=99.275

净收益为100.5-99.275=1.225

4、

（1）净利率变动1个百分点，则债券组合价值波动3.2个百分点

（2）互换现金流（持续四年）

4.25%

你自己VA公司B

互换之所以降低了风险价值。

是因为它降低了组合的持续期。

你已经把期限较长，持续修正

期为3.2年的资产组合，转换成了偿还期只有6个月的资产。

实际上，你的违约风险也降低

了。

第八早

18年期票面利率

6%的债权的转化系数为

1.0

16年期票面利率

5.4%的债券的转换系数为

0.949，即

P厂6%1、32

1001002

2.75

（13%）t

100

32

（13%）

二0.949

支付18年期债券的损失为3,即102-105=-3

支付16年期债权的收益为0.751,即卩102x0.949-96.05=0.751

所以，应该交付期限为16年、票面利率为5.5%的债权。

第七章

1、根据100=961R1

求得一年期零息债券的到期收益率巳=4.17%两年期零息债券一年后的期望价值设为P

根据无套利定理有

901R1=93P+971-P

解得P=13

16

期权价格c=gi0P=0.54

1+R1

2、

Ho-Lee模型

d厂tdtd

q+\dt+a^dt4+（入+人）力+2"dt

勺/+（台+久2办

+&出一6印〜〜一一©+（召+占）dl-2cr\水

解下面方程:

两年期的零息债券价格变化的二项树图

11001

—X+—

100

100

100

1.0688.75

216%10.5%2

16%1-0.5%

解得：

1=0.3%

6%

6.8%

5.8%

6%122

6%〔2

6%12「2

3年期零息债券的市场价格是83.34元，那么三年期的二项式树

图节点为

Pud

Puu

Pd

17.3%2

100

16.3%2

100

15.3%2

°・5Rd°・5Rd

16.8%

°・5Puu0・5Pud

15.8%

0.5Pu0.5Pd

P二83.34ud

V6%

解得2=0.2%

三年期的利率树图为

6%

6.8%

5.8%

7.5%

6.5%

5.5%

第八章

（1）C=SN（d1）-Ke_rtN（d2）

S=7K=6.5r=5%］二了冷T=1/6

代入得C=2.01故公司选择权的价值为2.01元，100股的期权价值为201元。

⑵P{S（t）>K}=P{Z>^-d1}=N（d1-oVt）=N（d2）P（S（t）>K}-0.835

（3）根据B-S公式的推论，避险组合的权重即为△值

de孑、

*丁二N（dJ=（k8554

ds

习题8.2

7%

6%

6%

8%

4%

解：

在时点2,市场利率分别是8%,6%,4%。

如果是8%,固定利率支付方最后支付额的现值二（100000+600）/

1.08=9814.81而浮动利率最后支付额的现值=10800/1.08=10000。

期权价值为0。

如果是10%，固定利率支付方最后支付额的现值二（100000+600）/

1.06=10000;而浮动利率最后支付额的现值=10600/1.06=10000。

期权价值为0.

如果是4%,固定利率支付方最后支付额的现值二（100000+600）/

1.04=10192.3;而浮动利率最后支付额的现值=10400/1.04=10000。

期权价值为192.3。

在时点1，市场利率分别是7%,5%.

如果是7%,剩下的固定利率支付方支付额的现值=600/

1.07+0.5（10600/1.08+10600/1.06）/1.07=9820