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全等三角形证明经典50题(含答案)
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
A
BC
D
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE 即: 10-2<2AD<10+24 又AD是整数,则AD=5 2.已知: D是AB中点,∠ACB=90°,求证: CD= 1AB 2 A CB 3.已知: BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证: ∠1=∠2 CFD 证明: 连接BF和EF。 因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 所以∠EBF=∠BEF。 又因为∠ABC=∠AED。 所以∠ABE=∠AEB。 所以AB=AE。 在三角形ABF和三 角形AEF中, AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 所以三角形ABF和三角形AEF全等。 所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。 A 4.已知: ∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证: EF=AC12 证明: 过E点,作EG//AC,交AD延长线于G 则 ∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2 又∵CD=DE ∴⊿ADC➴⊿GDE(AAS) ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 C ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=ACDE B 5.已知: AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证: ∠B=2∠C A C BD 证明: 在AC上截取AE=AB,连接ED ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又 ∵AE=AB,AD=AD ∴⊿AED➴⊿ABD(SAS) ∴∠AED=∠B,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6.已知: AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证: AE=AD+BE 证明: 在AE上取F,使EF=EB,连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB=∠CEF=90° 因为EB=EF,CE=CE, 所以△CEB➴△CEF 所以∠B=∠CFE 因为∠B+∠D=180°, ∠CFE+∠CFA=180° 所以∠D=∠CFA 因为AC平分∠BAD 所以∠DAC=∠FAC 又因为AC=AC 所以△ADC➴△AFC(SAS) 所以AD=AF 所以AE=AF+FE=AD+BE 12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD 上。 求证: BC=AB+DC。 证明: 在BC上截取BF=BA,连接EF. ∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE➴ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB平行于CD,则: ∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D; 又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故 ⊿FCE➴ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知: AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证: ∠F=∠C EDAB//ED,AE//BD推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以: ∠C=∠F B 14.已知: AB=CD,∠A=∠D,求证: ∠B=∠C 证明: 设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD AB,DC的交点)。 则: △AED是等腰三角形。 所以: AE=DE 而AB=CD 所以: BE=CE(等量加等量,或等量减等量) 所以: △BEC BC是等腰三角形 所以: 角B=角C. 15.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证: PC-PB 16. 作B关于AD的对称点B‘,因为AD是角BAC的平分线,B'在线段AC上(在AC中间,因为AB较短) 因为PC A PC-PB D B 17.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证: AC-AB=2BE ∠BAC=180-(∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE交AC于F 因为,∠1=∠2,BE⊥AE 所以,△ABF是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C BF=CF AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE 18.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC 作AG∥BD交DE延长线于G DAGE全等BDEAG=BD=5 AGF∽CDF FC A EB AF=AG=5 所以DC=CF=2 18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证: AD⊥BC.延长AD至H交BC于H; BD=DC; 所以: ∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2; ∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2; ∠ABC=∠ACB; 所以: AB=AC; 三角形ABD全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CAD; AD是等腰三角形的顶角平分线 所以: AD垂直BC19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N. 求证: ∠OAB=∠OBA 因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度 所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA 20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB. 证明: 做BE的延长线,与AP相交于F点, ∵PA//BC P C∴∠PAB+∠CBA=180°, E又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90° D∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形 在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线 AB ∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三 角形BEC中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形 DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.(6分)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证: ∠C=2∠B 证明: 在AB上找点E,使AE=AC A∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD ∴△ADE➴△ ADC。 DE=CD,∠AED=∠C ∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B C DB 22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于 F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证: MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立 请给予证明;若不成立请说明理由. 分析: 通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC➴Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论. 解答: 解: (1)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°, DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC➴Rt△BFA, ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF; (2)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC➴Rt△BFA, ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF. 23.(7分)已知: 如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点, (1)求证: △AED≌△EBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): A (1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。 于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。 由AE=BE,所以△AED➴△EBC。 (2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。 BC 24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. F证明: 延长BA、CE,两线相交于点F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF和△BEC中 ∠FBE=∠CBE,BE=BE, ∠BEF=∠BEC ∴△BEF➴△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD和△ACF中 ∠ABD=∠ACF,AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD➴△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE BC 25、(10分)如图: DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。 求证: △AED≌△ BFC。 DEFC AB 26、(10分)如图: AE、BC交于点M,F点在AM上,A BE∥CF,BE=CF。 求证: AM是△ABC的中线。 证明: ∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF B ∴△BEM➴△CFM C E ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 27、(10分)如图: 在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。 求证: BD⊥AC。 三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDBA相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC C 28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF证明: 在△ABD与△ACD中AB=AC BD=DC AD=AD A ∴△ABD➴△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△ BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD➴△FCD ∴BF=FCBC 29、(12分)如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB。 求证: B AF=DE。 因为AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为角DCB=角ABF AB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以 CD AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M 恰好在一条直线上. 证: ∵AB平行CD(已知) ∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等) ∵M在BC的中点 (已知) ∴EM=FM(中点定义) 在△BME和△CMF中 BE=CF(已知) ∠B=∠C(已证) EMFM(已证) ∴△BME全等与△CMF(SAS) ∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等) ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质) ∴E,M,F在同一直线上 31.已知: 点A、F、E、C在同一条直线上, AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证: △ABE➴△CDF. 证明: ∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF ∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF ∴⊿ABE➴⊿CDF(SAS) 32.已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是 DC、BC的中点,求证: AE=AF。 连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等 腰△两底角相等得: 角ABC=角ADC在结合已知条件证得: AC △ADE≌△ABF 得AE=AF B 33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC. 又因为 D AC是公共边,所以AAS==>三角形ADC全等于三角形 AC ABC. 所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC 三角形 DEC全等于三角形BEC 所以∠5=∠6B 34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证: △ABC≌△DEF. 因为D,C在AF上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB平行DE,BC平行EF 所以角A+角EDF,角BCA=角F(两直线平行,内错角相等) 然后SSA(角角边)三角形全等 35.已知: 如图,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证: BE=CD. 证明: 因为AB=AC, 所以∠EBC=∠DCB A 因为BD⊥AC,CE⊥AB 所以∠BEC=∠CDB BC=CB(公共边) 则有三角形EBC全等于三角形DCB 所以BE=CD 36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。 求证: DE=DF. AAS证△ADE≌△ADF BDC 37.已知: 如图,AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,AD⊥AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的长? A 角C=角E=90度 角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE D △ABC≌△DAE B AD=AB=5 38.如图: AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为A E、F,ME=MF。 求证: MB=MC 证明∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 ∴∠B=∠C 又∵ME=MF,△BEM和△CEM是直角三角形 ∴△BEM全等于△CEM ∴MB=MC BMC 39.如图,给出五个等量关系: ①AD=BC②AC=BD③CE=DE④∠D=∠C⑤ ∠DAB=∠CBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结 论(只需写出一种情况),并加以证明.已知: 求证: 证明: AB 已知1,2 求证4 因为AD=BCAC=BD,在四边形ADBC中,连AB 所以△ADB全等于△BCA 所以角D=角C 以4,5为条件,1为结论。 即: 在四边形ABCD中,∠D=∠C,∠A=∠B,求证: AD=BC 因为∠A+∠B+∠C+∠D=360 ∠D=∠C,∠A=∠B, 所以2(∠A+∠D)=360°, ∠A+∠D=180°, 所以AB//DC 40.在△ABC中,∠ACB=90︒,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ①∆ADC≌ ∆CEB;②DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, (1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. (1)证明: ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°, 而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E, ∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE. 在Rt△ADC和Rt△CEB中, {∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB, ∴Rt△ADC➴Rt△CEB(AAS), ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=DC+CE=BE+AD; (2)不成立,证明: 在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB, ∴△ADC➴△CEB(AAS), ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=CE-CD=AD-BE; 41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。 求证: (1)EC=BF; (2)EC⊥BF F (1)证明;因为AE垂直AB 所以角EAB=角EAC+角 CAB=90度 因为AF垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=ABAF=AC E 所以三角形EAC和三角形FAB全等 所以EC=BF 角ECA=角F (2) (2)延长FB与EC的延长线交于点G 因为角ECA=C 角F(已证) 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所 以EC垂直BF 42.如图: BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。 求证: (1)AM=AN; (2) AM⊥AN。 证明: (1) ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°, ∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△ ABM➴△NAC ∴AM=AN (2) ∵△ABM➴△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN BC 43.如图,已知 ∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证: BC∥EF 连接BF、CE, 证明△ABF全等于△DEC(SAS), 然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF 44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗? 请说明理由 在AB上取点N,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC平行BD 所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD 45、(10分)如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE.求证: BE∥CF. 证明: ∵AD是中线 ∴BD=CD ∵DF=DE,∠BDE=∠CDF ∴△ BDE➴△CDF ∴∠BED=∠CFD ∴BE‖CF 46、(10分)已知: 如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE=BF.求证: AB∥CD. 证明: ∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠DEC=∠AFB=90°, 在D Rt△DEC和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD, ∴Rt△DEC➴Rt△BFA, ∴∠C=∠A, ∴AB∥CD. B 47、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证: AB=CD AD BC 【待定】 48、(10分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE 的大小与位置关系,并证明你的结论. 结论: CE>DE。 当∠AEB越小,则DE越小。 证明: C 过D作AE平行线与AC交于F,连接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且△DFB为等腰三角形。 RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB<90° ∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90° △ DFB中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AEBAFB中,∠FBA=90°-∠DBF<45° ∠AFB=90°- ∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CEAF=DE ∴CE>DE 49、(10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证: AE=DE. 先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCBA 在证明△ABE≌△DCE 得出AE=DE 50.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证: ∠ADC=∠BDE. 证明: 作CG平分∠ACB交AD于G ∵∠ACB=90° ∴∠ACG=∠DCG=45° ∵∠ACB=90°AC=BC ∴∠B=∠BAC=45° ∴∠B=∠DCG=∠ACG ∵CF⊥AD ∴∠ACF+∠DCF=90° ∵∠ACF+∠CAF=90° AEB ∴∠CAF=∠DCF ∵AC=CB∠ACG=∠B 图9 ∴△ACG➴△CBE ∴CG=BE ∵∠DCG=∠BCD=BD ∴△CDG➴△BDE ∴∠ADC=∠BDE Attheend,XiaoBiangivesyouapassage.Minandoncesaid,"peoplewholearntolearnareveryhappypeople.".Ineverywonderfullife,learningisaneternaltheme.Asaprofessionalclericala
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