届一轮复习北师大版理 综合法分析法与反证法 教案.docx
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届一轮复习北师大版理 综合法分析法与反证法 教案.docx
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届一轮复习北师大版理综合法分析法与反证法教案
1.综合法
(1)定义:
从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.
(2)框图表示:
→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示要证明的结论).
2.分析法
(1)定义:
从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法.
(2)框图表示:
→→→…→.
3.反证法
我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
反证法的证题步骤是:
(1)作出否定结论的假设;
(2)进行推理,导出矛盾;
(3)否定假设,肯定结论.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( × )
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( × )
(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a
(4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( × )
(5)在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.( √ )
(6)证明不等式+<+最合适的方法是分析法.( √ )
1.若a,b,c为实数,且a
A.ac2
C.
答案 B
解析 a2-ab=a(a-b),
∵a0,∴a2>ab.①
又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,②
由①②得a2>ab>b2.
2.(2016·北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒,每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
答案 B
解析 取两个球往盒子中放有4种情况:
①红+红,则乙盒中红球数加1;
②黑+黑,则丙盒中黑球数加1;
③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1;
④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1.
因为红球和黑球个数一样,所以①和②的情况一样多.③和④的情况完全随机,③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的,所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.
3.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
答案 D
解析 a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0.
4.如果a+b>a+b,则a、b应满足的条件是__________________________.
答案 a≥0,b≥0且a≠b
解析 ∵a+b-(a+b)=(a-b)+(b-a)
=(-)(a-b)
=(-)2(+).
∴当a≥0,b≥0且a≠b时,(-)2(+)>0.
∴a+b>a+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.
5.(2016·青岛模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≤f(),已知函数y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为________.
答案
解析 ∵f(x)=sinx在区间(0,π)上是凸函数,且A、B、C∈(0,π).
∴≤f()=f(),
即sinA+sinB+sinC≤3sin=,
∴sinA+sinB+sinC的最大值为.
题型一 综合法的应用
例1 (2016·重庆模拟)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
证明
(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
思维升华
(1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.
对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足:
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f
(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.
(1)若函数f(x)为理想函数,证明:
f(0)=0;
(2)试判断函数f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)=(x∈[0,1])是不是理想函数.
(1)证明 取x1=x2=0,则x1+x2=0≤1,
∴f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0.
又对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0,
∴f(0)≥0.于是f(0)=0.
(2)解 对于f(x)=2x,x∈[0,1],
f
(1)=2不满足新定义中的条件②,
∴f(x)=2x(x∈[0,1])不是理想函数.
对于f(x)=x2,x∈[0,1],显然f(x)≥0,且f
(1)=1.
对任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,
f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)
=(x1+x2)2-x-x=2x1x2≥0,
即f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
∴f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数.
对于f(x)=,x∈[0,1],显然满足条件①②.
对任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,
有f2(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]2=(x1+x2)-(x1+2+x2)=-2≤0,
即f2(x1+x2)≤[f(x1)+f(x2)]2.
∴f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),不满足条件③.
∴f(x)=(x∈[0,1])不是理想函数.
综上,f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数,
f(x)=2x(x∈[0,1])与f(x)=(x∈[0,1])不是理想函数.
题型二 分析法的应用
例2 已知函数f(x)=tanx,x∈,若x1,x2∈,且x1≠x2,求证:
[f(x1)+f(x2)]>f.
证明 要证[f(x1)+f(x2)]>f,
即证明(tanx1+tanx2)>tan,
只需证明>tan,
只需证明>.
由于x1,x2∈,故x1+x2∈(0,π).
所以cosx1cosx2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0,
故只需证明1+cos(x1+x2)>2cosx1cosx2,
即证1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2,
即证cos(x1-x2)<1.
由x1,x2∈,x1≠x2知上式显然成立,
因此[f(x1)+f(x2)]>f.
引申探究
若本例中f(x)变为f(x)=3x-2x,试证:
对于任意的x1,x2∈R,均有≥f.
证明 要证明≥f,
即证明
≥
-2·,
因此只要证明
-(x1+x2)≥
-(x1+x2),
即证明
≥
,
因此只要证明
≥
,
由于x1,x2∈R时,
>0,
>0,
由基本不等式知
≥
显然成立,故原结论成立.
思维升华
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.
(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原命题得证.
(2016·重庆月考)设a>0,b>0,2c>a+b,求证:
(1)c2>ab;
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