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机械能守恒定律分类例题全面
第五章机械能守恒定律
第1课时 追寻守恒量 功
基础知识归纳
1.追寻守恒量
(1)能量:
简称“ 能 ”.物质运动的一般量度.任何物质都离不开运动.对运动所能做的最一般的量度就是能量,不同的能量对应于不同形式的运动,能量分为 机械能 、 内能 、 电能 、 磁能 、 化学能 、 原子能 等.当物质的运动形式发生转变时,能量形式同时也发生转变.自然界的一切过程都服从能量转化和守恒定律,物体要对外界做功,就必须消耗本身的能量或从别处得到能量的补充.因此,一个物体的能量愈大,它对外界就有可能做更多的功.
2.功的概念
(1)定义:
一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生一段 位移 ,就说这个力做了 功 .
(2)做功的两个必要条件:
a. 力 ;b. 物体在力的方向上发生位移 .
(3)功是 过程量 ,即做功必定对应一个过程(位移),应明确是哪个力在哪个过程中对哪个物体做功.
3.功的计算
(1)功的一般计算公式:
W=Flcosα
(2)条件:
适用于 恒力 所做的功;
4.正负功的意义
5.作用力与反作用力的功
作用力与反作用力同时存在,作用力做功时,反作用力可能做功,也可能 不做功 ,可能做正功,也可能做 负功 ;不要以为作用力与反作用力大小相等,方向相反,就一定有作用力、反作用力的功,数值相等,一正一负.
6.总功的求法
(1)先求外力的合力F合,再应用功的公式求出总功:
W=F合lcosα ;
(2)先分别求出各外力对物体所做的功W1、W2、W3、…,总功即这些功的代数和:
.
重点难点突破
一、判断力是否做功及其正负的方法
1.看力F与l夹角α——常用于恒力做功的情形.
2.看力F与v方向夹角α——常用于曲线运动情形.
若α为锐角做正功,若α为直角则不做功,若α为钝角则做负功.
二、求变力所做的功
1.化变力做功为恒力做功
(1)分段计算功,然后用求和的方法求变力所做的功.
(2)用转换研究对象的方法求变力所做的功.
2.若F是位移l的线性函数时,先求平均值
=
,由W=
lcosα求其功.
例如:
用铁锤把小铁钉钉入木板,设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比,已知铁锤第一次将钉子钉进d,如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同,那么,第二次进入木板的深度是多少?
[
,所以d′=(
-1)d]
3.作出变力变化的F-l图象,图象与位移轴所围的“面积”即为变力所做的功.
三、分析摩擦力做功
不论是静摩擦力,还是滑动摩擦力,既可以对物体做正功,也可以对物体做负功,还可能不对物体做功.力做功是要看哪个力对哪个物体在哪个过程中做的功,而不是由力的性质来决定.力做正功还是做负功要看这个力是动力还是阻力.摩擦力可以是动力也可以是阻力,也可能与位移方向垂直.
典例精析
1.基本概念的应用
【例1】如图所示,小物体A位于光滑的斜面上,斜面位于光滑的水平地面上,从地面上看,在小物体沿斜面下滑的过程中,斜面对小物体的作用力( )
A.垂直于接触面,做功为零B.垂直于接触面,做功不为零
C.不垂直于接触面,做功为零D.不垂直于接触面,做功不为零
【拓展1】如图所示,质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上,物体与斜面间的动摩擦因数为μ,现使斜面水平向左匀速移动距离l.
(1)斜面对物体的弹力做的功为()
A.0B.mglsinθcos2θ
C.-mglcosθsinθD.mglsinθcosθ
(2)摩擦力对物体做的功为(物体与斜面相对静止)()
A.0B.μmglcosθC.-mglcosθsinθD.mglsinθcosθ
(3)重力对物体做的功(A)
A.0B.mglC.mgltanθD.mglcosθ
(4)斜面对物体做的总功是多少?
各力对物体做的总功是多少?
2.变力做功的求解
【例2】如图所示,以初速度v0竖直向上抛出一个质量为m的小球,小球上升的最大高度为h1,空气阻力的大小恒为F,则小球从抛出至回到出发点下方h2处,合外力对小球做的功为多少?
(2)空气阻力做功与路径有关.
【拓展2】如图所示,用恒力F通过光滑的定滑轮把静止在水平面上的物体(大小可忽略)从位置A拉到位置B,物体的质量为m,定滑轮离水平地面的高度为h,物体在位置A、B时细绳与水平方向的夹角分别为θ1和θ2,求绳的拉力对物体做的功.
3.摩擦力做功的分析
【例3】物块从光滑曲面上的P点自由滑下,通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点,若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来,使传送带随之运动,如图所示,再把物块放到P点自由滑下,则( )
A.物块将仍落在Q点
B.物块将会落在Q点的左边
C.物块将会落在Q点的右边
D.物块有可能落不到地面上
第2课时 功 率
基础知识归纳
1.功率的概念2.功率的计算
(1)功率的计算公式:
P=
(2)平均功率与瞬时功率:
P=
=F
cosα=Fvcosα
α=0°时,P=Fv
3.机械的额定功率与实际功率
重点难点突破
一、功率的计算
1.平均功率即某一过程的功率,其计算既可用P=
,也可用P=F
cosα.
2.瞬时功率即某一时刻的功率,其计算只能用P=Fvcosα.
二、机车的启动问题
发动机的额定功率是指牵引力的功率,而不是合外力的功率.P=Fv中,F指的是牵引力.在P一定时,F与v成反比;在F一定时,P与v成正比.
1.在额定功率下启动
对车在水平方向上受力分析如图,由公式P=Fv和F-Ff=ma知,由于P恒定,随着v的增大,F必将减小,a也必将减小,汽车做加速度不断减小的加速运动,直到F=Ff时,a=0,这时v达到最大值vm=
=
可见,在恒定功率下启动的加速一定不是匀加速.这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算,不能用W=Fl计算(因为F为变力).其速度—时间图象如图所示.
2.以恒定加速度a启动
由公式P=Fv和F-f=ma知,由于a恒定,所以F恒定,汽车做匀加速运动,而随着v的增大,P也将不断增大,直到P达到额定功率Pm,功率不能再增大了.这时匀加速运动结束,此时速度为v′=
<
=vm,此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了,由于机车的功率不变,速度增大,牵引力减小,从而加速度也减小,直到F=Ff时,a=0,这时速度达到最大值vm=
.
可见,恒定牵引力的加速,即匀加速运动时,功率一定不恒定.这种加速过程发动机做的功只能用W=F·l计算,不能用W=P·t计算(因为P为变化功率).其速度—时间图象如图所示.
要注意两种加速运动过程的最大速度的区别.
三、求变力做功问题
1.功率的计算
【例1】(2009·宁夏)质量为m的物体静止在光滑水平面上,从t=0时刻开始受到水平力的作用.力的大小F与时间t的关系如图所示,力的方向保持不变,则( )
A.3t0时刻的瞬时功率为
B.3t0时刻的瞬时功率为
C.在t=0到3t0这段时间内,水平力的平均功率为
D.在t=0到3t0这段时间内,水平力的平均功率为
【拓展1】从空中以40m/s的初速度沿着水平方向抛出一个重为10N的物体,不计空气阻力,取g=10m/s2,求:
(1)在抛出后3s内重力的功率;
(2)在抛出后3s末重力的功率(设3s时未落地).
【例2】质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车,在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s.若汽车从静止开始做匀加速直线运动,加速度大小为2m/s2,运动中的阻力不变.求:
(1)汽车所受阻力的大小;
(2)3s末汽车的瞬时功率;
(3)汽车做匀加速运动的时间;
(4)汽车在匀加速运动中牵引力所做的功.
【拓展2】一汽车的额定功率P0=6×104W,质量m=5×103kg,在水平直路面上行驶时阻力是车重的0.1倍.若汽车从静止开始以加速度a=0.5m/s2做匀加速直线运动,求:
(g取
10m/s2)
(1)汽车保持加速度不变的时间;
(2)汽车实际功率随时间变化的关系;
(3)此后汽车运动所能达到的最大速度.
3.求变力做功问题
【例3】卡车在平直公路上从静止开始加速行驶,经时间t前进距离l,速度达到最大值vm.设此过程中发动机功率恒为P,卡车所受阻力为Ff,则这段时间内,发动机所做的功为( )
A.PtB.FflC.Pt-FflD.Ffvmt
第3课时 动能及动能定理
基础知识归纳
2.动能定理
动能定理给出了力对物体所做的 总功 与物体 动能变化 之间的关系,即外力对物体做的总功,对应着物体动能的变化,变化的多少由做功的多少来量度.
3.求功的三种方法
(1)根据功的公式W=Flcosα(只能求 恒力的功 ).
(2)根据功率求功:
W=Pt(P应是 恒定功率或平均功率 ).
(3)根据动能定理求功:
W=
mv
-
mv
(W为 合外力总功 ).
重点难点突破
一、可以从以下几个方面全面理解动能的概念
2.动能是状态量,描述的是物体在某一时刻的运动状态.一定质量的物体在运动状态(瞬时速度)确定时,Ek有唯一确定的值.速度变化时,动能不一定变化,但动能变化时,速度一定变化.
3.动能具有相对性.由于瞬时速度与参考系有关,所以Ek也与参考系有关,在一般情况下,如无特殊说明,则认为取大地为参考系.
4.物体的动能不会发生突变,它的改变需要一个过程,这个过程就是外力对物体做功的过程或物体对外做功的过程.
5.具有动能的物体能克服阻力做功,物体的质量越大,运动速度越大,它的动能也就越大,能克服阻力对外做的功就越多.
典例精析
1.对动能的理解
【例1】下列说法正确的是( )
A.做直线运动的物体动能不变,做曲线运动的物体动能变化
B.物体的速度变化越大,物体的动能变化也越大
C.物体的速度变化越快,物体的动能变化也越快
D.物体的速率变化越大,物体的动能变化也越大
【拓展1】关于物体的动能,下列说法中正确的是()
A.物体速度变化,其动能一定变化
B.物体所受的合外力不为零,其动能一定变化
C.物体的动能变化,其运动状态一定发生改变
D.物体的速度变化越大,其动能一定变化也越大
2.动能定理的简单应用
【例2】如图所示,AB为1/4圆弧轨道,半径为R=0.8m,BC是水平轨道,长l=3m,BC间的动摩擦因数为μ=1/15.今有质量m=1kg的物体,自A点从静止起下滑到C点刚好停止.求物体在轨道AB段克服阻力所做的功.
A.-4000JB.-3800JC.-5000JD.-4200J
【例3】一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳PQ提升井中质量为m的物体,如图所示,绳的P端拴在车后的挂钩上.设绳的总长不变,绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时,车在A点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为H.提升时,车向左加速运动,沿水平方向从A经过B驶向C.设A到B的距离也为H,车过B点时速度为vB.求车由A移到B的过程中,绳Q端的拉力对物体做的功是多少?
【拓展3】电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体.绳的拉力不能超过120N,电动机的功率不能超过1200W,要将此物体由静止起用最快的方式将物体吊高90m(已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升),所需时间为多少?
(g取10m/s2)
【例4】质量为m=2kg的物体,在水平面上以v1=6m/s的速度匀速向西运动,若有一个F=8N方向向北的恒力作用于物体,在t=2s内物体的动能增加了多少?
第4课时 动能定理的应用
基础知识归纳
1.用动能定理求变力的功
在某些问题中,由于F的大小或方向变化,不能直接用 W=Flcosα 求解力的功,可用动能定理求解,求出物体 动能 变化和其他 恒力 的功,即可由ΔEk=W1+W2+…+Wn求得其中变力的功.
2.物体系的动能定理问题
物体间的一对相互作用力的功可以是 正值 ,也可以是 负值 ,还可以是 零 .因此几个物体组成的系统所受的合外力的功不一定等于系统动能的 变化量 .
3.动能定理分析复杂过程问题
物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程),此时可以 分段 考虑,也可对 全程 考虑,对整个过程列式可使问题简化.
重点难点突破
一、用动能定理求解变力做功的注意要点
1.分析物体受力情况,确定哪些力是恒力,哪些力是变力.
2.找出其中恒力做的功及变力做的功.
3.分析物体初、末状态,求出动能变化量.
4.运用动能定理求解.
二、用动能定理解决问题时,所选取的研究对象可以是单个物体,也可以是多个物体组成的系统.当选取物体系统作为研究对象时,应注意以下几点:
1.当物体系统内的相互作用是杆、绳间的作用力,或是静摩擦力,或是刚性体元之间相互挤压而产生的力,作用力与反作用力的总功等于零,这时列动能定理方程时可只考虑物体系统所受的合外力的功即可.
2.当物体系统内的相互作用力是弹簧、橡皮条的作用力,或是滑动摩擦力,作用力与反作用力的总功不等于零,这时列动能定理方程时不但要考虑物体系统所受的合外力的功,还要考虑物体间的相互作用力的功.
3.物体系统内各个物体的速度不一定相同,列式时要分别表达不同物体的动能.
三、多过程问题的求解策略
1.分析物体运动,确定物体运动过程中不同阶段的受力情况,分析各个力的功.
2.分析物体各个过程中的初、末速度,在不同阶段运用动能定理求解,此为分段法.这种方法解题时需分清物体各阶段的运动情况,列式较多.
3.如果能够得到物体全过程初、末动能的变化,及全过程中各力的功,对全过程列一个方程即可,此方法较为简洁.
典例精析
1.用动能定理求解变力做功
【例1】如图所示,竖直平面内放一直角杆AOB,杆的水平部分粗糙,动摩擦因数μ=0.2,杆的竖直部分光滑.两部分各套有质量均为1kg的小球A和B,A、B球间用细绳相连.此时A、B均处于静止状态,已知:
OA=3m,OB=4m.若A球在水平拉力F的作用下向右缓慢地移动1m(取g=10m/s2),那么
(1)该过程中拉力F做功多少?
(2)若用20N的恒力拉A球向右移动1m时,A的速度达到了2m/s,则此过程中产生的内能为多少?
【拓展1】剑桥大学物理学家海伦·杰尔斯基研究了各种自行车特技的物理学原理,并通过计算机模拟探寻特技动作的极限,设计了一个令人惊叹不已的高难度动作—“爱因斯坦空翻”,并在伦敦科学博物馆由自行车特技运动员(18岁的布莱士)成功完成.“爱因斯坦空翻”简化模型如图所示,质量为m的自行车运动员从B点由静止出发,经BC圆弧,从C点竖直冲出,完成空翻,完成空翻的时间为t.由B到C的过程中,克服摩擦力做功为W,空气阻力忽略不计,重力加速度为g,试求:
自行车运动员从B到C至少做多少功?
2.对系统运用动能定理
【例2】如图所示,跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m,物体A在水平面上.A由静止释放,当B沿竖直方向下落h时,测得A沿水平面运动的速度为v,这时细绳与水平面的夹角为θ,试分析计算B下降h过程中,A克服地面摩擦力做的功.(滑轮的质量和摩擦均不计)
3.多过程问题的求解
【例3】如图所示,AB是倾角为θ的粗糙直轨道,BCD是光滑的圆弧轨道,AB恰好在B点与圆弧相切,圆弧半径为R.一个质量为m的物体(可以看做质点)从直轨道上的P点由静止释放,结果它能在两轨道间做往返运动.已知P点与圆弧的圆心O等高,物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ.求:
(1)物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程;
(2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E时,对圆弧轨道的压力;
(3)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D,释放点距B点的距离L′应满足什么条件?
(1)有些力在物体运动全过程中不是始终存在的,导致物体的运动包含几个物理过程,物体运动状态、受力情况均发生变化,因而在考虑外力做功时,必须根据不同情况,分别对待.
(2)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程,解题时,可以分段考虑,也可视为一个整体过程,应用动能定理求解.
(3)对过程运用“整体法”或“隔离法”并不影响解题结果,要看研究问题的方便而定.
【拓展2】如图甲所示,物体在离斜面底端4m处由静止滑下,若动摩擦因数均为0.5,
斜面倾角为37°,斜面与平面间由一小段圆弧连接,求物体能在水平面上滑行多远?
【例4】质量为M的木块放在水平台面上,台面比水平地面高出h=0.20m,木块离台的右端L=1.7m.质量为m=
M的子弹以v0=180m/s的速度水平射向木块,并以v=90m/s的速度水平射出,木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为l=1.6m,求木块与台面间的动摩擦因数μ.
第5课时 势能 机械能守恒定律
基础知识归纳
1.重力势能
(1)定义:
由物体与地球之间的相互吸引和相对位置所决定的能叫 重力势能 .
(2)公式:
.
(3)说明:
①重力势能是 标量 .
②重力势能是 相对 的,是相对零势能面而言的,只有选定零势能面以后,才能具体确定重力势能的量值,故Ep=mgh中的h是物体相对零势能面的距离.一般我们取地面为零势能面.
③重力势能可正,可负,可为零.若物体在零势能面上方,重力势能为 正 ;物体在零势能面下方,重力势能为 负 ;物体处在零势能面上,重力势能为 零 .
④重力势能属于 物体和地球 共有.通常所说“物体的重力势能”实际上是一种不严谨的习惯说法.
⑤重力势能是相对的,但重力势能的变化却是 绝对 的,即与零势能面的选择无关.
4.弹性势能
(1)定义:
发生弹性形变的物体,由其各部分间的弹力和相对位置所决定的能,称为 弹性势能 .
5.机械能
(1)定义:
机械能是物体 动能、重力势能、弹性势能 的统称,也可以说成物体动能和势能的总和.
(2)说明
①机械能是 标量 ,单位为 焦耳(J) .
②机械能中的势能只包括 重力势能和弹性势能 ,不包括其他各种势能.
6.机械能守恒定律
(1)内容:
在只有重力或弹力做功的物体系统内, 动能与势能可以相互转化,而总的机械能保持不变 .
(2)表达式:
.
重点难点突破
一、重力做功的特点
1.重力做功与路径无关,只与物体的始末位置的高度差和重力大小有关.
2.重力做功的大小WG=mgh,h为始末位置的高度差.
3.重力做正功,物体重力势能减少;重力做负功,物体重力势能增加.
二、机械能守恒定律的条件和机械能守恒定律的常用数学表达式
1.守恒条件:
只有重力或弹力做功,只发生动能和势能的转化.分析一个物理过程是不是满足机械能守恒,关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功,这些力做功是什么形式的能转化成什么形式的能,如果只是动能和势能的转化,而没有其他形式的能发生转化,则机械能守恒,如果没有力做功,不发生能的转化,机械能当然也不会发生变化.
2.常用数学表达式:
第一种:
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2,从守恒的角度表明物体运动过程中,初状态和末状态机械能相等.
第二种:
ΔEk=-ΔEp,从转化的角度表明动能的增加量等于势能的减少量.
第三种:
ΔE1=-ΔE2,从转移的角度表明物体1的机械能增加量等于物体2的机械能的减少量.
三、应用机械能守恒定律解题的基本步骤
1.根据题意,选取研究对象(物体或相互作用的物体)和初、末状态.
2.分析研究对象在运动过程中所受各力的做功情况,判断是否符合机械能守恒定律的条件.
3.若符合机械能守恒定律成立的条件,先要选取合适的零势能的参考平面,确定研究对象在运动过程的初、末状态的机械能.
4.根据机械能守恒定律列方程,代入数值求解,并对结果做出必要的说明或讨论.
典例精析
1.重力做功的特点
【例1】沿着高度相同、坡度不同、粗糙程度也不同的斜面向上拉同一物体到顶端,以下说法正确的是( )
A.沿坡度小、长度大的斜面上升克服重力做的功多
B.沿长度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多
C.沿坡度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功少
D.上述几种情况重力做功同样多
【拓展1】一质量为5kg的小球从5m高处下落,碰撞地面后弹起,每次弹起的高度比下落高度低1m,求小球从下落到停在地面的过程中重力总共做了多少功?
(取g=9.8m/s2)
2.机械能守恒的条件及其应用
【例2】如图所示,一轻质弹簧固定于O点,另一端系一重物,将重物从与悬挂点等高的地方无初速度释放,让其自由摆下,不计空气阻力,重物在摆向最低点的位置的过程中( )
A.重物重力势能减小B.重物重力势能与动能之和增大
C.重物的机械能不变D.重物的机械能减少
【拓展2】关于物体的机械能是否守恒的叙述,下列说法正确的是(D)
A.做匀速直线运动的物体,机械能一定守恒
B.做匀变速直线运动的物体,机械能一定守恒
C.外力对物体所做的功等于零时,机械能一定守恒
D.物体若只有重力做功,机械能一定守恒
【例3】如图使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点B上升,那么需给它最小速度为多大时,才能使它达到轨道的最高点A?
第6课时 机械能守恒定律的应用
重点难点突破
一、机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用
对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决,而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦,但是反过来,能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决,在这个意义上讲,动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍.故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中.
对系统应用机械能守恒定律时,一般用多物体中增加的能量之和等于减少的能量之和来求解,即E增=E减.
4.对一些绳子突然绷紧,物体间碰撞等问题,机械能一般不守恒,除非题目特别说明或暗示,完全非弹性碰撞过程机械能不守恒.
典例精析
1.机械能守恒定律与圆周运动的综合
【例1】如图所示,光滑的倾斜轨道与半径为R的光滑圆形轨道相连接,质量为m的小球在倾斜轨道上由静止释放,要使小球恰能通过圆形轨道的最高点,小球释放点离圆形轨道最低点多高?
通过轨道最低点时球对轨道压力多大?
(2)过程分析,利用机械能守恒定律求解几个状态之间的关系.
【拓展1】半径为R的圆桶固定在小车上,有一光滑小球静止在圆桶的最低点,如图所示.小车以速度v向右匀速运动.当小车遇到障碍物突然停止,小球在圆桶中上升的高度可能为(ACD)
A.等于
B.大于
C.小于
D.等于2R
2.系统机械能是否守恒的判断
【例2】如图物块、斜面和水平面都是光滑的,物块从静止开始沿斜面下滑过程中,物块机械能是否守恒?
系统机械能是否守恒?
【拓展2】质量均为m的a、b两球固定在轻杆的两端,杆可绕点O在竖直面内无摩擦转动,两球到点O的距离L1>L2,如图所示.将杆拉至水平时由静止释放,则在a下降过程中(C)
A.杆对a不做功B.杆对b不做功
C.杆对a做负功D.杆对b做负功
3.系统机械能守恒的应用
【例3】如图所示,质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B,直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴.AO、BO的长分别为2L和L.开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方.让该系统由静止开始自由转动,求:
(1
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