高三数学公开课教案数形结合函数人教版.docx
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高三数学公开课教案数形结合函数人教版
2019-2020年高三数学公开课教案数形结合函数人教版
教学目的:
通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。
情感与技能目标:
培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。
提高学生观察、分析问题能力和实践动手能力。
教学重点:
“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。
教学难点:
“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。
教学手段:
多媒体辅助教学
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。
“数”与“形”是一对矛盾,它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
在高中阶段较多的是“以形助数”。
一般地说:
“形”是具有形象,直观的特点,易于从整体上定性地分析问题,“由数想形”便于寻求思路,化难为易;“数”则具有严谨,准确的特点,能够严格论证和定量求解,“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。
“数无形时少直观,形无数时难人微",华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。
数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.
一练习:
1.(04天津)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,]时,f(x)=sinx,则f()的值为(D)
A.-B.C.-D.
解析:
依据偶函数与周期函数的特征,可以画出y=f(x)的简图
∴f(π)=f(π)=
2.设函数f(x)=,若f(x0)>1,则x0的取值范围是(D)
A.(-1,1)B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
3.(05上海理16)设定义域为为R的函数,则关于x的方程
f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解的充要条件是(C)
(A)b<0且c>0;(B)b>0且c<0;
(C)b<0且c=0;(D)b≥0且c=0。
解析:
f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的
实数解的充要条件是f2(x)+bf(x)+c=0有一根为0故c=0且b<0
4.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex在[-1,1]上是单调函数,则a的取值范围是________.
解析令
解得
.
易知,.
由图可知,当时,函数在
上是单调函数的充要条件是,
即.
二.例题解析
例题1.求函数y=的最大值和最小值。
解:
函数y=可视为:
点A(-2,0)与点P(sinx,cosx)的连线的斜率
则y的最值即为kAP的最值。
而点P为单位圆上的一个动点,则当直线Ap与单位圆相切时kAP取得最值。
设直线AP的方程为:
y=k(x+2),由圆心到直线的距离为1,
则有:
解之得:
k=±,
故y的最大值为:
最小值为:
-
小结:
从数的形和构:
入手,由数想形。
建立坐标系,引入参数,化静为动,以动求解。
构造几何模型来求解。
例题2.(xx全国卷19)已知c>0设
P:
函数y=cx在R上单调递减;Q:
不等式x+∣x—2c∣>1的解集为R.
如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围。
解:
则c∈(0,]∪[1,+∞)
小结:
例题3:
已知关于x的方程x2+(-2m)x+m2-1=0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间[0,2]内,求m的取值范围。
解:
令f(x)=x2+(-2m)x+m2-1,由f(x)=0的两根落在区间[0,2]内,
x=-∈[0,2](对称轴)x=-∈[0,2](对称轴)
则有f(-)<0(顶点)△>0(判别式)
f(0)≥0(端点)f(0)≥0(端点)
f
(2)≥0(端点)f
(2)≥0(端点)
0≤-+2m≤4
即为-(-m)2+m2-1<0
m2-1≥0
4+(-2m)2+m2-1≥0解之得:
{m|1≤m<}
小结:
“以形辅数”,化难为易。
转化为熟悉的几何模型来求解
思考题:
(06上海春21)设函数f(x)=|x2-4x-5|
(1)在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像;
(2)集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;
(3)当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.
21.解:
(1)
(2)方程f(x)=5的解分别是2-,0和2+,由于f(x)在(-∞,1]和[-1,2]和[5,+∞)上单调递增,因此A=(-∞,2-]∪[2+,+∞).
由于2+<6,2->-2,∴BA
(3)[解法一]当x∈[-1,5]时,f(x)=-x2+4x+5
g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)
=x2+(k-4)x+(3k-5)
=(x-)2,
∵k>2,∴<1,又-1≤x≤5,
①当-1≤<1,即2 取x=,g(x)min== ∵16≤(k-10)2<64,∴(k-10)2-64<0,则g(x)min>0 ②当<-1,既k>6时,取x=-1,g(x)min=2k>0 由①②可知,当k>2时,g(x)>0,x∈[-1,5] 因此,在[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方. [解法二]当x∈[-1,5]时,f(x)=-x2+4x+5 ,得x2+(k-4)x+(3k-5)=0, 令△=(k-4)2-4(3k-5)=0,解得k=2或k=18, 在区间[-1,5]上,当k=2时,y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8); 当k=18时,y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点。 如图可知,由于直线y=k(x+3)过点(-3,0),当k>2时,直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到,因此在区间[-1,5]上,y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方。 小结 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识、数形的转化,可以培养思维的灵活性、形象性。 通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化。 一.数形结合的信息转化的三个途径: (1)建立坐标系,引入参数,化静为动,以动求解; (2)转化为熟悉的几何模型来求解; (3)构造几何模型来求解。 二.常用的数学模型: (1)一元二次函数的图像; (2)一元一次函数的图形; (3)定比分点公式;(4)斜率公式; (5)两点间的距离公式;(6)点到直线的距离公式 课后练习 1.(05福建理5)函数f(x)axb的图象如图,其中 a、b为常数,则下列结论正确的是(B) Aa>1,b<0;B0 本题考查指数形函数的性质,分类讨论,的思想和解 决问题的能力,考查数形结合的思想,也可由图用特 值法求解。 2.(05广东9)在同一平面直角坐标系中,函数 和的图象关于直线对称.现将的图象沿轴向左平移2个 单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线(如图2所示),则函 数的表达式为(A) A. B. C. D. 本题主要考查分段函数的图像、图像平移、反函数、采用排除法,关键是取恰当的点,本题取端点。 3.(05重庆3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且f (2)0,则使得f(x)<0的x的取值范围是(D) A(∞,2);B(2,∞); C(∞,2)⋃(2,∞);D(2,2)。 解析: 4.(05浙江理8)已知k<-4,则函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是(A) (A)1(B)-1(C)2k+1(D)-2k+1 本题考查含参二次函数的最值、二倍角公式、换元法、转化的思想、数形结合的思想,运算能力。 5.方程sinx=的解的个数为(C) A.1B.2C.3D.4 6.若函数f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),若f(x)=0的两根分别在区间(1,2)和(2,3)内,则以下不等式中正确的是(B) A.f (1)f (2)>0 B.f (1)f (2)<0 C.f (1)f(3)<0 D.f (2)f(3)>0 7.已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且 的内角满足,则的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 解析由于函数是一个抽象函数,因此可根据函数有关性质由题 意构造出符合条件的一个特殊函数图象,如图5所示,由图象及三角形 内角范围可知: 或,故选D. 8.(05北京理13)对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); ③>0;④ . 当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是②③. 9.当不等式中恰好有一个解时,实数的值是____. 提示抛物线和直线相切.方程 有相等的两实根, . 10.若不等式的解集是,求实数的取值范围. 解析作函数,的图象(如图6). 由图6知,要使的解集是,应有. 11.(xx年湖北卷)已知向量a=(x2,x+1),b=(1–x,t). 若函数f(x)=a·b在区间(–1,1)上是增函数,求t的取值范围. 解: 依定义f(x)=x2(1–x)+t(x+1)=–x3+x2+tx+t.=–3x2+2x+t. 若f(x)在(–1,1)上是增函数,则在(–1,1)上可设≥0. ∵的图象是开口向下的抛物线, ∴当且仅当=t–1≥0,且=t–5≥0时, 在(–1,1)上满足>0,即f(x)在(–1,1)上是增函数.故t的取值范围是t≥5. 评析: 本小题通过向量的运算给出函数表达式,主要考查平面向量数量积的计算方法,利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力. 12.已知两点P(0,1)和Q(2,3),如果二次函数f(x)=x2+ax+2的图象与线段PQ有两个不同的公共点,求实数a的取值范围。 13.已知f(x)=2x2-2ax+3在[-1,1]上的最小值是f(a). (Ⅰ)求f(a)的表达式; (Ⅱ)当a∈[-2,0]时,求函数g(a)=的值域. 14.(05辽宁22)函数在区间(0,+∞)内可导,导函数是减函数,且设是曲线在点()得的切线方程,并设函数 (Ⅰ)用、、表示m; (Ⅱ)证明: 当 ; (Ⅲ)若关于的不等式 上恒成立,其中a、b为实数,求b的取值范围及a与b所满足的关系. 解: 本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力. (Ⅰ)解: (Ⅱ)证明: 令 因为递减,所以递增,因此,当; 当.所以是唯一的极值点,且是极小值点, 可知的最小值为0,因此即 (Ⅲ)解法一: ,是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立. 对任意成立的 充要条件是 另一方面,由于满足前述题设中关于函数的条件,利用(II)的结果可知, 的充要条件是: 过点(0,)与曲线相切的直线的斜率大于, 该切线的方程为 于是的充要条件是 综上,不等式对任意成立的充要条件是 ① 显然,存在a、b使①式成立的充要条件是: 不等式② 有解、解不等式②得③ 因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数在a与b所满足的关系. (Ⅲ)解法二: 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 令,于是对任意成立的充要条件是 由 当时当时,,所以,当时,取最小值.因此成立的充要条件是,即 综上,不等式对任意成立的 充要条件是① 显然,存在a、b使①式成立的充要条件是: 不等式② 有解、解不等式②得 因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数在a与b所满足的关系. 数形结合(函数) 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。 “数”与“形”是一对矛盾,它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。 在高中阶段较多的是“以形助数”。 一般地说: “形”是具有形象,直观的特点,易于从整体上定性地分析问题,“由数想形”便于寻求思路,化难为易;“数”则具有严谨,准确的特点,能够严格论证和定量求解,“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。 “数无形时少直观,形无数时难人微",华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。 数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性. 一练习: 1.(04天津)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当 x∈[0,]时,f(x)=sinx,则f()的值为() A.-B.C.-D. 2.设函数f(x)=,若f(x0)>1,则x0的取值范围是() A.(-1,1)B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.(05上海理16)设定义域为为R的函数,则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解的充要条件是() Ab<0且c>0;Bb>0且c<0;Cb<0且c=0;Db≥0且c=0。 4.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex在[-1,1]上是单调函数,则a的取值范围是_____. 二.例题解析 例题1.求函数y=的最大值和最小值。 解: 小结: 例题2.(xx全国卷19)已知c>0设 P: 函数y=cx在R上单调递减;Q: 不等式x+∣x—2c∣>1的解集为R. 如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围。 解: 小结: 例题3: 已知关于x的方程x2+(-2m)x+m2-1=0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间[0,2]内,求m的取值范围。 解: 小结: 思考题: (06上海春21)设函数f(x)=|x2-4x-5| (1)在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像; (2)集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明; (3)当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方. 小结 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识、数形的转化,可以培养思维的灵活性、形象性。 通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化。 一.数形结合的信息转化的三个途径: 二.常用的数学模型: 课后练习 1.(05福建理5)函数f(x)axb的图象如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是()
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